3 τρόποι επίλυσης λογαρίθμων

2024 Συγγραφέας: Jason Gerald | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-15 08:12

Οι λογάριθμοι μπορεί να φαίνονται δύσκολο να επιλυθούν, αλλά η επίλυση προβλημάτων λογαρίθμου είναι στην πραγματικότητα πολύ πιο απλή από ό, τι νομίζετε, επειδή οι λογάριθμοι είναι απλώς ένας άλλος τρόπος γραφής εκθετικών εξισώσεων. Μόλις ξαναγράψετε τον λογάριθμο σε μια πιο οικεία μορφή, θα πρέπει να είστε σε θέση να τον λύσετε όπως θα κάνατε με οποιαδήποτε άλλη συνηθισμένη εκθετική εξίσωση.

Βήμα

Πριν ξεκινήσετε: Μάθετε να εκφράζετε εκθετικά λογαριθμικές εξισώσεις

Βήμα 1. Κατανοήστε τον ορισμό του λογάριθμου

Πριν λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις, πρέπει να καταλάβετε ότι οι λογάριθμοι είναι βασικά ένας άλλος τρόπος γραφής εκθετικών εξισώσεων. Ο ακριβής ορισμός έχει ως εξής:

• y = log_σι (Χ)

  Αν και μόνο αν: σι^y = x

• Θυμηθείτε ότι το b είναι η βάση του λογάριθμου. Αυτή η τιμή πρέπει να πληροί τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

  • β> 0
  • b δεν είναι ίσο με 1
• Στην εξίσωση, το y είναι ο εκθέτης και το x είναι το αποτέλεσμα του υπολογισμού του εκθετικού που αναζητείται στον λογάριθμο.

Βήμα 2. Εξετάστε τη λογαριθμική εξίσωση

Όταν εξετάζετε την εξίσωση του προβλήματος, αναζητήστε τη βάση (b), τον εκθέτη (y) και τον εκθετικό (x).

• Παράδειγμα:

  5 = log₄(1024)

  • β = 4
  • y = 5
  • x = 1024

Βήμα 3. Μετακινήστε το εκθετικό στη μία πλευρά της εξίσωσης

Μετακινήστε την τιμή της εκτίμησής σας, x, στη μία πλευρά του σημείου ίσων.

• Για παράδειγμα:

  1024 = ?

Βήμα 4. Εισαγάγετε την τιμή του εκθέτη στη βάση του

Η βασική σας τιμή, b, πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον ίδιο αριθμό τιμών που αντιπροσωπεύει ο εκθέτης y.

• Παράδειγμα:

  4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

  Αυτή η εξίσωση μπορεί επίσης να γραφτεί ως: 4⁵

Βήμα 5. Ξαναγράψτε την τελική σας απάντηση

Θα πρέπει τώρα να μπορείτε να ξαναγράψετε τη λογαριθμική εξίσωση ως εκθετική εξίσωση. Ελέγξτε ξανά την απάντησή σας, βεβαιωθείτε ότι και οι δύο πλευρές της εξίσωσης έχουν την ίδια τιμή.

• Παράδειγμα:

  4⁵ = 1024

Μέθοδος 1 από 3: Εύρεση της τιμής του Χ

Βήμα 1. Διαχωρίστε τη λογαριθμική εξίσωση

Εκτελέστε έναν αντίστροφο υπολογισμό για να μετακινήσετε το μέρος της εξίσωσης που δεν είναι λογαριθμική εξίσωση στην άλλη πλευρά.

• Παράδειγμα:

  κούτσουρο₃(x + 5) + 6 = 10

  • κούτσουρο₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  • κούτσουρο₃(x + 5) = 4

Βήμα 2. Ξαναγράψτε αυτήν την εξίσωση σε εκθετική μορφή

Χρησιμοποιήστε αυτό που γνωρίζετε ήδη για τη σχέση μεταξύ λογαριθμικών εξισώσεων και εκθετικών εξισώσεων και ξαναγράψτε τις σε εκθετική μορφή που είναι απλούστερη και ευκολότερη στην επίλυση.

• Παράδειγμα:

  κούτσουρο₃(x + 5) = 4

  • Συγκρίνετε αυτήν την εξίσωση με τον ορισμό του [ y = log_σι (Χ)], τότε μπορείτε να συμπεράνετε ότι: y = 4; b = 3; x = x + 5
  • Ξαναγράψτε την εξίσωση ως: β^y = x
  • 3⁴ = x + 5

Βήμα 3. Βρείτε την τιμή του x

Μόλις απλοποιηθεί αυτό το πρόβλημα σε μια βασική εκθετική εξίσωση, θα πρέπει να μπορείτε να το λύσετε όπως κάθε άλλη εκθετική εξίσωση.

• Παράδειγμα:

  3⁴ = x + 5

  • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  • 81 = x + 5
  • 81 - 5 = x + 5 - 5
  • 76 = x

Βήμα 4. Γράψτε την τελική σας απάντηση

Η τελική απάντηση που παίρνετε όταν βρείτε την τιμή του x είναι η απάντηση στο αρχικό σας πρόβλημα λογάριθμου.

• Παράδειγμα:

  x = 76

Μέθοδος 2 από 3: Εύρεση της τιμής του Χ χρησιμοποιώντας τον κανόνα λογαριθμικής προσθήκης

Βήμα 1. Κατανοήστε τους κανόνες για την προσθήκη λογαρίθμων

Η πρώτη ιδιότητα των λογαρίθμων γνωστή ως "κανόνας λογαριθμικής προσθήκης" δηλώνει ότι ο λογάριθμος ενός προϊόντος είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων των δύο τιμών. Γράψτε αυτόν τον κανόνα σε μορφή εξίσωσης:

• κούτσουρο_σι(m * n) = log_σι(m) + log_σι(ν)

• Θυμηθείτε ότι πρέπει να ισχύουν τα ακόλουθα:

  • m> 0
  • n> 0

Βήμα 2. Χωρίστε τον λογάριθμο στη μία πλευρά της εξίσωσης

Χρησιμοποιήστε αντίστροφους υπολογισμούς για να μετακινήσετε τμήματα της εξίσωσης έτσι ώστε ολόκληρη η λογαριθμική εξίσωση να βρίσκεται στη μία πλευρά, ενώ τα άλλα συστατικά να βρίσκονται στην άλλη πλευρά.

• Παράδειγμα:

  κούτσουρο₄(x + 6) = 2 - ημερολόγιο₄(Χ)

  • κούτσουρο₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - ημερολόγιο₄(x) + log₄(Χ)
  • κούτσουρο₄(x + 6) + log₄(x) = 2

Βήμα 3. Εφαρμόστε τον κανόνα λογαριθμικής προσθήκης

Εάν υπάρχουν δύο λογάριθμοι που αθροίζονται σε μια εξίσωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα του λογάριθμου για να τα συνδυάσετε.

• Παράδειγμα:

  κούτσουρο₄(x + 6) + log₄(x) = 2

  • κούτσουρο₄[(x + 6) * x] = 2
  • κούτσουρο₄(Χ² + 6x) = 2

Βήμα 4. Ξαναγράψτε αυτήν την εξίσωση σε εκθετική μορφή

Θυμηθείτε ότι οι λογάριθμοι είναι απλώς ένας άλλος τρόπος γραφής εκθετικών εξισώσεων. Χρησιμοποιήστε τον λογαριθμικό ορισμό για να ξαναγράψετε την εξίσωση σε μια μορφή που μπορεί να λυθεί.

• Παράδειγμα:

  κούτσουρο₄(Χ² + 6x) = 2

  • Συγκρίνετε αυτήν την εξίσωση με τον ορισμό του [ y = log_σι (Χ)], μπορείτε να συμπεράνετε ότι: y = 2; b = 4; x = x² + 6x
  • Ξαναγράψτε αυτήν την εξίσωση έτσι ώστε: β^y = x
  • 4² = x² + 6x

Βήμα 5. Βρείτε την τιμή του x

Μόλις αυτή η εξίσωση μετατραπεί σε κανονική εκθετική εξίσωση, χρησιμοποιήστε ό, τι γνωρίζετε για τις εκθετικές εξισώσεις για να βρείτε την τιμή του x όπως θα κάνατε συνήθως.

• Παράδειγμα:

  4² = x² + 6x

  • 4 * 4 = x² + 6x
  • 16 = x² + 6x
  • 16 - 16 = x² + 6x - 16
  • 0 = x² + 6x - 16
  • 0 = (x - 2) * (x + 8)
  • x = 2; x = -8

Βήμα 6. Γράψτε τις απαντήσεις σας

Σε αυτό το σημείο, θα πρέπει να έχετε την απάντηση στην εξίσωση. Γράψτε την απάντησή σας στον προβλεπόμενο χώρο.

• Παράδειγμα:

  x = 2

• Σημειώστε ότι δεν μπορείτε να δώσετε αρνητική απάντηση για τον λογάριθμο, ώστε να απαλλαγείτε από την απάντηση x - 8.

Μέθοδος 3 από 3: Εύρεση της τιμής του Χ χρησιμοποιώντας τον κανόνα της λογαριθμικής διαίρεσης

Βήμα 1. Κατανοήστε τον κανόνα λογαριθμικής διαίρεσης

Με βάση τη δεύτερη ιδιότητα των λογαρίθμων, γνωστή ως "κανόνας λογαριθμικής διαίρεσης", ο λογάριθμος μιας διαίρεσης μπορεί να ξαναγραφεί αφαιρώντας τον λογάριθμο του παρονομαστή από τον αριθμητή. Γράψτε αυτήν την εξίσωση ως εξής:

• κούτσουρο_σι(m/n) = log_σι(μ) - ημερολόγιο_σι(ν)

• Θυμηθείτε ότι πρέπει να ισχύουν τα ακόλουθα:

  • m> 0
  • n> 0

Βήμα 2. Χωρίστε τη λογαριθμική εξίσωση στη μία πλευρά

Πριν λύσετε τις λογαριθμικές εξισώσεις, πρέπει να μεταφέρετε όλες τις λογαριθμικές εξισώσεις στη μία πλευρά του σημείου ίσων. Το άλλο μισό της εξίσωσης πρέπει να μετακινηθεί στην άλλη πλευρά. Χρησιμοποιήστε αντίστροφους υπολογισμούς για να το λύσετε.

• Παράδειγμα:

  κούτσουρο₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)

  • κούτσουρο₃(x + 6) - ημερολόγιο₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - ημερολόγιο₃(x - 2)
  • κούτσουρο₃(x + 6) - ημερολόγιο₃(x - 2) = 2

Βήμα 3. Εφαρμόστε τον κανόνα λογαριθμικής διαίρεσης

Εάν υπάρχουν δύο λογάριθμοι σε μια εξίσωση, και ο ένας από αυτούς πρέπει να αφαιρεθεί από τον άλλο, μπορείτε και πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα διαίρεσης για να φέρει μαζί αυτούς τους δύο λογάριθμους.

• Παράδειγμα:

  κούτσουρο₃(x + 6) - ημερολόγιο₃(x - 2) = 2

  κούτσουρο₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

Βήμα 4. Γράψτε αυτήν την εξίσωση σε εκθετική μορφή

Αφού παραμείνει μόνο μία λογαριθμική εξίσωση, χρησιμοποιήστε τον λογαριθμικό ορισμό για να τον γράψετε σε εκθετική μορφή, εξαλείφοντας το ημερολόγιο.

• Παράδειγμα:

  κούτσουρο₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

  • Συγκρίνετε αυτήν την εξίσωση με τον ορισμό του [ y = log_σι (Χ)], μπορείτε να συμπεράνετε ότι: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  • Ξαναγράψτε την εξίσωση ως: β^y = x
  • 3² = (x + 6) / (x - 2)

Βήμα 5. Βρείτε την τιμή του x

Μόλις η εξίσωση γίνει εκθετική, θα πρέπει να μπορείτε να βρείτε την τιμή του x όπως θα κάνατε συνήθως.

• Παράδειγμα:

  3² = (x + 6) / (x - 2)

  • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  • 9x - 18 = x + 6
  • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  • 8x = 24
  • 8x / 8 = 24 /8
  • x = 3

Βήμα 6. Γράψτε την τελική σας απάντηση

Εξετάστε και ελέγξτε ξανά τα βήματα υπολογισμού σας. Μόλις βεβαιωθείτε ότι η απάντηση είναι σωστή, γράψτε την.

• Παράδειγμα:

  x = 3