Αυτό είναι ένα άρθρο σχετικά με τον τρόπο παραγοντισμού ενός πολυώνυμου κύβου. Θα διερευνήσουμε τον τρόπο παραμετροποίησης χρησιμοποιώντας τις ομαδοποιήσεις καθώς και τη χρήση παραγόντων από ανεξάρτητους όρους.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 2: Factoring by Grouping
Βήμα 1. Ομαδοποιήστε το πολυώνυμο σε δύο μέρη
Η ομαδοποίηση ενός πολυωνύμου σε δύο μισά θα σας επιτρέψει να σπάσετε κάθε τμήμα ξεχωριστά.
Ας υποθέσουμε ότι χρησιμοποιούμε ένα πολυώνυμο: x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. Χωρίστε σε (x3 + 3x2) και (- 6x - 18).
Βήμα 2. Βρείτε τους ίδιους παράγοντες σε κάθε ενότητα
- Από (x3 + 3x2), μπορούμε να δούμε ότι ο ίδιος παράγοντας είναι x2.
- Από (- 6x - 18), μπορούμε να δούμε ότι ο ίσος συντελεστής είναι -6.
Βήμα 3. Πάρτε τους ίσους παράγοντες και από τους δύο όρους
- Αφαιρέστε τον παράγοντα x2 από το πρώτο μέρος, παίρνουμε x2(x + 3).
- Λαμβάνοντας τον συντελεστή -6 από το δεύτερο μέρος, παίρνουμε -6 (x + 3).
Βήμα 4. Εάν καθένας από τους δύο όρους έχει τον ίδιο παράγοντα, μπορείτε να συνδυάσετε τους παράγοντες μαζί
Θα πάρετε (x + 3) (x2 - 6).
Βήμα 5. Βρείτε την απάντηση κοιτάζοντας τις ρίζες της εξίσωσης
Αν έχετε x2 στις ρίζες της εξίσωσης, θυμηθείτε ότι τόσο οι θετικοί όσο και οι αρνητικοί αριθμοί θα ικανοποιήσουν την εξίσωση.
Οι απαντήσεις είναι -3, 6 και -√6
Μέθοδος 2 από 2: Factoring χρησιμοποιώντας δωρεάν όρους
Βήμα 1. Αναδιατάξτε την εξίσωση στη μορφή aX3+bX2+cX+δ
Ας υποθέσουμε ότι χρησιμοποιούμε ένα πολυώνυμο: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Βήμα 2. Βρείτε όλους τους παράγοντες του "d"
Η σταθερά "d" είναι ένας αριθμός που δεν έχει μεταβλητές, όπως "x", δίπλα του.
Οι παράγοντες είναι αριθμοί που μπορούν να πολλαπλασιαστούν μαζί για να πάρουν έναν άλλο αριθμό. Σε αυτή την περίπτωση, οι συντελεστές του 10, που είναι "d", είναι: 1, 2, 5 και 10
Βήμα 3. Βρείτε έναν παράγοντα που κάνει το πολυώνυμο ίσο με το μηδέν
Πρέπει να καθορίσουμε ποιοι παράγοντες καθιστούν το πολυώνυμο ίσο με το μηδέν όταν αντικαθιστούμε παράγοντες σε κάθε "x" στην εξίσωση.
-
Ξεκινήστε με τον πρώτο παράγοντα, που είναι 1. Αντικαταστήστε το "1" για κάθε "x" στην εξίσωση:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0.
- Θα πάρετε: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Δεδομένου ότι το 0 = 0 είναι μια αληθινή πρόταση, γνωρίζετε ότι το x = 1 είναι η απάντηση.
Βήμα 4. Κάντε μερικές ρυθμίσεις
Εάν x = 1, μπορείτε να αναδιατάξετε τη δήλωση για να φαίνεται ελαφρώς διαφορετική χωρίς να αλλάξετε τη σημασία της.
Το "x = 1" είναι το ίδιο με το "x - 1 = 0". Απλώς αφαιρείτε με "1" από κάθε πλευρά της εξίσωσης
Βήμα 5. Πάρτε τον ριζικό παράγοντα της εξίσωσης από την υπόλοιπη εξίσωση
"(x - 1)" είναι η ρίζα της εξίσωσης. Ελέγξτε αν μπορείτε να υπολογίσετε την υπόλοιπη εξίσωση. Βγάλτε τα πολυώνυμα ένα προς ένα.
- Μπορείτε να προσδιορίσετε (x - 1) από το x3; Οχι. Αλλά μπορείτε να δανειστείτε -x2 της δεύτερης μεταβλητής, τότε μπορείτε να την παραγοντίσετε: x2(x - 1) = x3 - Χ2.
- Μπορείτε να συνυπολογίσετε (x - 1) από το υπόλοιπο της δεύτερης μεταβλητής; Οχι. Πρέπει να δανειστείτε λίγο από την τρίτη μεταβλητή. Πρέπει να δανειστείτε 3x από -7x. Αυτό θα δώσει το αποτέλεσμα -3x (x -1) = -3x2 + 3x
- Δεδομένου ότι πήρατε 3x από -7x, η τρίτη μεταβλητή γίνεται -10x και η σταθερά είναι 10. Μπορείτε να το συνυπολογίσετε; Ναί! -10 (x -1) = -10x + 10.
- Αυτό που κάνετε είναι να ορίσετε τη μεταβλητή έτσι ώστε να μπορείτε να συνυπολογίσετε (x - 1) από ολόκληρη την εξίσωση. Αναδιατάσσετε την εξίσωση σε κάτι σαν αυτό: x3 - Χ2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, αλλά η εξίσωση εξακολουθεί να ισούται με x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Βήμα 6. Συνεχίστε την αντικατάσταση με παράγοντες του ανεξάρτητου όρου
Κοιτάξτε τον αριθμό που υπολογίσατε χρησιμοποιώντας (x - 1) στο βήμα 5:
- Χ2(x - 1) - 3x (x - 1) - 10 (x - 1) = 0. Μπορείτε να το αναδιατάξετε για να διευκολύνετε ξανά τον συντελεστή: (x - 1) (x2 - 3x - 10) = 0.
- Εδώ, πρέπει μόνο να συντελεστεί (x2 - 3x - 10). Το αποτέλεσμα του factoring είναι (x + 2) (x - 5).
Βήμα 7. Η απάντησή σας είναι οι παραμετροποιημένες ρίζες της εξίσωσης
Μπορείτε να ελέγξετε αν η απάντησή σας είναι σωστή, συνδέοντας κάθε απάντηση, ξεχωριστά, στην αρχική εξίσωση.
- (x - 1) (x + 2) (x - 5) = 0. Αυτό θα δώσει τις απαντήσεις 1, -2 και 5.
- Συνδέστε το -2 στην εξίσωση: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Συνδέστε το 5 στην εξίσωση: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Συμβουλές
- Δεν υπάρχει πολυώνυμο κύβου που δεν μπορεί να ληφθεί υπόψη χρησιμοποιώντας πραγματικούς αριθμούς, επειδή κάθε κύβος έχει πάντα μια πραγματική ρίζα. Ένα πολυώνυμο κύβου όπως το x3 Το + x + 1 που έχει παράλογη πραγματική ρίζα δεν μπορεί να ληφθεί υπόψη σε πολυώνυμο με ακέραιους ή λογικούς συντελεστές. Αν και μπορεί να ληφθεί υπόψη από τον τύπο κύβου, δεν μπορεί να μειωθεί ως ακέραιο πολυώνυμο.
- Ένα πολυώνυμο κύβων είναι το προϊόν τριών πολυωνύμων με τη δύναμη ενός ή του προϊόντος ενός πολυωνύμου με τη δύναμη ενός και ενός πολυωνύμου με τη δύναμη δύο που δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη. Για καταστάσεις όπως η τελευταία, χρησιμοποιείτε μακρά διαίρεση αφού βρείτε το πρώτο πολυώνυμο ισχύος για να πάρετε το δεύτερο πολυώνυμο ισχύος.
