Η συμπλήρωση τετραγώνων είναι μια χρήσιμη τεχνική που θα σας βοηθήσει να βάλετε τις τετραγωνικές εξισώσεις σε μια τακτοποιημένη μορφή, κάτι που τα καθιστά εύκολα ορατά ή ακόμα και επίλυση. Μπορείτε να συμπληρώσετε τετράγωνα για να δημιουργήσετε πιο περίπλοκους τετραγωνικούς τύπους ή ακόμα και να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις. Αν θέλετε να μάθετε πώς να το κάνετε, ακολουθήστε αυτά τα βήματα.
Βήμα
Μέρος 1 από 2: Μετατροπή συνηθισμένων εξισώσεων σε τετραγωνικές συναρτήσεις
Βήμα 1. Γράψτε την εξίσωση
Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να λύσετε την ακόλουθη εξίσωση: 3x2 - 4x + 5.
Βήμα 2. Αφαιρέστε τους συντελεστές των τετραγωνικών μεταβλητών από τα δύο πρώτα μέρη
Για να βγάλουμε τον αριθμό 3 από τα δύο πρώτα μέρη, αρκεί να βγάλουμε τον αριθμό 3 και να τον βάλουμε έξω από τις αγκύλες, διαιρώντας κάθε μέρος με 3. 3x2 διαιρούμενο με το 3 είναι x2 και 4x διαιρούμενο με 3 είναι 4/3x. Έτσι, η νέα εξίσωση γίνεται: 3 (x2 - 4/3x) + 5. Ο αριθμός 5 παραμένει εκτός της εξίσωσης επειδή δεν διαιρείται με τον αριθμό 3.
Βήμα 3. Χωρίστε το δεύτερο μέρος με 2 και τετραγωνίστε το
Το δεύτερο μέρος ή αυτό που είναι γνωστό ως b στην εξίσωση είναι 4/3. Διαιρέστε με δύο. 4/3 2, ή 4/3 x 1/2, ισούται με 2/3. Τώρα, τετραγωνίστε αυτό το τμήμα τετραγωνίζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος. (2/3)2 = 4/9. Σημειώστε το.
Βήμα 4. Προσθέστε και αφαιρέστε αυτά τα μέρη από την εξίσωση
Θα χρειαστείτε αυτό το επιπλέον μέρος για να επιστρέψετε την εξίσωση σε ένα τέλειο τετράγωνο. Ωστόσο, πρέπει να τα αφαιρέσετε από την υπόλοιπη εξίσωση για να τα προσθέσετε. Αν και, φαίνεται ότι επιστρέφετε στην αρχική σας εξίσωση. Η εξίσωση σας μοιάζει με αυτήν: 3 (x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.
Βήμα 5. Αφαιρέστε το τμήμα που αφαιρέσατε από τις αγκύλες
Δεδομένου ότι έχετε έναν συντελεστή 3 εκτός παρενθέσεων, δεν μπορείτε να εξάγετε μόνο -4/9. Πρέπει πρώτα να το πολλαπλασιάσετε με το 3. -4/9 x 3 = -12/9, ή -4/3. Εάν έχετε συντελεστή 1 στο τμήμα x2, τότε μπορείτε να παραλείψετε αυτό το βήμα.
Βήμα 6. Αλλάξτε το τμήμα στις αγκύλες σε ένα τέλειο τετράγωνο
Τώρα, υπάρχουν 3 (x2 -4/3x +4/9) σε αγκύλες. Έχετε ήδη προσπαθήσει να πάρετε το 4/9, το οποίο είναι στην πραγματικότητα ένας άλλος τρόπος για να ολοκληρώσετε το τετράγωνο. Μπορείτε λοιπόν να το ξαναγράψετε ως: 3 (x - 2/3)2Το Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να διαιρέσετε το δεύτερο μισό και να εξαλείψετε το τρίτο. Μπορείτε να ελέγξετε την εργασία σας πολλαπλασιάζοντάς την και βγάζοντας τα πρώτα τρία μέρη της εξίσωσης.
-
3 (x - 2/3)2 =
Ολοκληρώστε το τετράγωνο βήμα 6Bullet1 - 3 (x - 2/3) (x -2/3) =
- 3 [(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3 (x2 - 4/3x + 4/9)
Βήμα 7. Συνδυάστε τις σταθερές
Τώρα υπάρχουν δύο σταθερές ή αριθμοί που δεν έχουν μεταβλητές. Τώρα, έχετε 3 (x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να προσθέσετε -4/3 και 5 για να πάρετε 11/3. Τα προσθέτετε εξισώνοντας τους παρονομαστές: -4/3 και 15/3, και στη συνέχεια αθροίζετε τους αριθμούς έτσι ώστε να πάρετε το 11 και να αφήσετε τον παρονομαστή 3.
-
-4/3 + 15/3 = 11/3.
Ολοκληρώστε το τετράγωνο βήμα 7Bullet1
Βήμα 8. Γράψτε την εξίσωση σε τετραγωνική μορφή
Εχετε κάνει. Η τελική εξίσωση είναι 3 (x - 2/3)2 +11/3 Μπορείτε να εξαλείψετε τον συντελεστή 3 διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης για να πάρετε (x - 2/3)2 +11/9 Έχετε γράψει με επιτυχία την εξίσωση σε τετραγωνική μορφή, δηλαδή α (x - h)2 +κ, όπου k αντιπροσωπεύει μια σταθερά.
Μέρος 2 από 2: Επίλυση Τετραγωνικών Εξισώσεων
Βήμα 1. Γράψτε τις ερωτήσεις
Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να λύσετε την ακόλουθη εξίσωση: 3x2 + 4x + 5 = 6
Βήμα 2. Συνδυάστε τις υπάρχουσες σταθερές και τοποθετήστε τις στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης
Σταθερή είναι κάθε αριθμός που δεν έχει μεταβλητή. Σε αυτό το πρόβλημα, η σταθερά είναι 5 στα αριστερά και 6 στα δεξιά. Εάν θέλετε να μετακινήσετε το 6 προς τα αριστερά, πρέπει να αφαιρέσετε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης κατά 6. Το υπόλοιπο είναι 0 στη δεξιά πλευρά (6-6) και -1 στην αριστερή πλευρά (5-6). Η εξίσωση γίνεται: 3x2 + 4x - 1 = 0.
Βήμα 3. Εξάγετε τον συντελεστή της τετραγωνικής μεταβλητής
Σε αυτό το πρόβλημα, 3 είναι ο συντελεστής x2Το Για να πάρετε τον αριθμό 3, απλώς βγάλτε τον αριθμό 3 και διαιρέστε κάθε μέρος με το 3. Έτσι, 3x2 3 = x2, 4x 3 = 4/3x, και 1 3 = 1/3. Η εξίσωση γίνεται: 3 (x2 + 4/3x - 1/3) = 0.
Βήμα 4. Διαιρέστε με τη σταθερά που μόλις εξαγάγατε
Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να αφαιρέσετε τον συντελεστή 3. Δεδομένου ότι έχετε ήδη διαιρέσει κάθε μέρος με 3, μπορείτε να αφαιρέσετε τον αριθμό 3 χωρίς να επηρεάσετε την εξίσωση. Η εξίσωση σας γίνεται x2 + 4/3x - 1/3 = 0
Βήμα 5. Χωρίστε το δεύτερο μέρος με 2 και τετραγωνίστε το
Στη συνέχεια, πάρτε το δεύτερο μέρος, 4/3 ή μέρος β και διαιρέστε το με 2. 4/3 2 ή 4/3 x 1/2, ισούται με 4/6 ή 2/3. Και τα 2/3 τετραγωνισμένα στα 4/9. Μόλις το τετραγωνίσετε, θα πρέπει να το γράψετε στην αριστερή και δεξιά πλευρά της εξίσωσης επειδή προσθέτετε ένα νέο μέρος. Πρέπει να το γράψετε και στις δύο πλευρές για να το ισορροπήσετε. Η εξίσωση γίνεται x2 + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
Βήμα 6. Μετακινήστε την αρχική σταθερά στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης και προσθέστε την στο τετράγωνο του αριθμού σας
Μετακινήστε την αρχική σταθερά, -1/3, προς τα δεξιά, κάνοντας το 1/3. Προσθέστε το τετράγωνο του αριθμού σας, 4/9 ή 2/32Το Βρείτε έναν κοινό παρονομαστή για να προσθέσετε 1/3 και 4/9 πολλαπλασιάζοντας τα πάνω και τα κάτω κλάσματα του 1/3 επί 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Τώρα προσθέστε 3/9 και 4/9 για να πάρετε 7/9 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Η εξίσωση γίνεται: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 μετά x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.
Βήμα 7. Γράψτε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ως τέλειο τετράγωνο
Δεδομένου ότι έχετε ήδη χρησιμοποιήσει τον τύπο για να βρείτε το κομμάτι που λείπει, το σκληρό μέρος παραλείφθηκε. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να βάλετε το x και τη μισή τιμή του δεύτερου συντελεστή σε παρένθεση και να το τετραγωνίσετε, για παράδειγμα: (x + 2/3)2Το Σημειώστε ότι η συνένωση ενός τέλειου τετραγώνου θα αποφέρει τρία μέρη: x2 + 4/3 x + 4/9. Η εξίσωση γίνεται: (x + 2/3)2 = 7/9.
Βήμα 8. Τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών
Στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, η τετραγωνική ρίζα του (x + 2/3)2 είναι x + 2/3. Στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, θα λάβετε +/- (√7)/3. Η τετραγωνική ρίζα του παρονομαστή, 9, είναι 3 και η τετραγωνική ρίζα του 7 είναι 7. Θυμηθείτε να γράψετε +/- επειδή η τετραγωνική ρίζα μπορεί να είναι θετική ή αρνητική.
Βήμα 9. Μετακινήστε τις μεταβλητές
Για να μετακινήσετε τη μεταβλητή x, απλώς μετακινήστε τη σταθερά 2/3 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Τώρα, έχετε δύο πιθανές απαντήσεις για το x: +/- (√7)/3 - 2/3. Αυτές είναι οι δύο απαντήσεις σας. Μπορείτε να το αφήσετε ή να βρείτε την τιμή της τετραγωνικής ρίζας του 7 εάν πρέπει να γράψετε μια απάντηση χωρίς τετραγωνική ρίζα.
Συμβουλές
- Φροντίστε να γράψετε +/- στο κατάλληλο μέρος, διαφορετικά θα λάβετε μόνο μία απάντηση.
- Ακόμη και αφού γνωρίζετε τον τετραγωνικό τύπο, εξασκηθείτε στην ολοκλήρωση του τετραγώνου τακτικά είτε αποδεικνύοντας τον τετραγωνικό τύπο είτε επιλύοντας ορισμένα προβλήματα. Με αυτόν τον τρόπο, δεν θα ξεχάσετε τη μέθοδο όταν τη χρειάζεστε.
