Υπάρχουν αρκετές μαθηματικές συναρτήσεις που χρησιμοποιούν κορυφές. Ένα γεωμετρικό σχήμα έχει αρκετές κορυφές, ένα σύστημα ανισοτήτων έχει μία ή περισσότερες κορυφές και μια παραβολή ή τετραγωνική εξίσωση έχει επίσης κορυφές. Πώς να βρείτε κορυφές εξαρτάται από την κατάσταση, αλλά εδώ είναι μερικά πράγματα που πρέπει να γνωρίζετε για την εύρεση κορυφών σε κάθε σενάριο.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 5: Εύρεση του αριθμού των Vertexes σε ένα σχήμα
Βήμα 1. Μάθετε τον τύπο του Euler
Ο τύπος του Όιλερ, όπως αναφέρεται στη γεωμετρία ή στα γραφήματα, δηλώνει ότι για οποιοδήποτε σχήμα που δεν εφάπτεται στον εαυτό του, ο αριθμός των ακμών συν τον αριθμό των κορυφών, μείον τον αριθμό των ακμών, θα είναι πάντα ίσος με δύο.
-
Εάν είναι γραμμένος με τη μορφή εξίσωσης, ο τύπος μοιάζει με αυτόν: F + V - E = 2
- Το F αναφέρεται στον αριθμό των πλευρών.
- Το V αναφέρεται στον αριθμό κορυφών ή κορυφών
- Το Ε αναφέρεται στον αριθμό των πλευρών
Βήμα 2. Αλλάξτε τον τύπο για να βρείτε τον αριθμό των κορυφών
Εάν γνωρίζετε τον αριθμό των πλευρών και των ακμών που έχει ένα σχήμα, μπορείτε να υπολογίσετε γρήγορα τον αριθμό των κορυφών χρησιμοποιώντας τον τύπο του Όιλερ. Αφαιρέστε το F και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης και προσθέστε το Ε και στις δύο πλευρές, αφήνοντας το V στη μία πλευρά.
V = 2 - F + E
Βήμα 3. Εισαγάγετε τους γνωστούς αριθμούς και λύστε
Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε σε αυτό το σημείο είναι να συνδέσετε τον αριθμό των πλευρών και των άκρων στην εξίσωση πριν προσθέσετε ή αφαιρέσετε κανονικά. Η απάντηση που παίρνετε είναι ο αριθμός των κορυφών και έτσι λύνεται το πρόβλημα.
-
Παράδειγμα: Για ένα ορθογώνιο που έχει 6 πλευρές και 12 ακμές…
- V = 2 - F + E
- V = 2 - 6 + 12
- V = -4 + 12
- V = 8
Μέθοδος 2 από 5: Εύρεση Vertexes σε ένα σύστημα γραμμικής ανισότητας
Βήμα 1. Σχεδιάστε τη λύση του συστήματος γραμμικών ανισοτήτων
Σε ορισμένες περιπτώσεις, η σχεδίαση λύσεων όλων των ανισοτήτων στο σύστημα μπορεί να εμφανίσει οπτικά μερικές ή ακόμα και όλες τις κορυφές. Ωστόσο, αν δεν μπορείτε, πρέπει να βρείτε αλγεβρικά την κορυφή.
Εάν χρησιμοποιείτε αριθμομηχανή γραφικών για να σχεδιάσετε την ανισότητα, μπορείτε να σύρετε προς τα πάνω στην οθόνη προς το σημείο κορυφής και να βρείτε έτσι τις συντεταγμένες της
Βήμα 2. Μετατρέψτε την ανισότητα σε εξίσωση
Για να λύσετε ένα σύστημα ανισοτήτων, πρέπει να μετατρέψετε προσωρινά τις ανισότητες σε εξισώσεις για να βρείτε την τιμή του Χ και y.
-
Παράδειγμα: Για ένα σύστημα ανισοτήτων:
- y <x
- y> -x + 4
-
Αλλάξτε την ανισότητα σε:
- y = x
- y> -x + 4
Βήμα 3. Υποκατάσταση μιας μεταβλητής σε άλλη μεταβλητή
Αν και υπάρχουν άλλοι τρόποι επίλυσης Χ και y, η αντικατάσταση είναι συχνά ο ευκολότερος τρόπος. Εισαγάγετε τιμή y από τη μία εξίσωση στην άλλη, που σημαίνει "αντικατάσταση" y σε άλλη εξίσωση με την τιμή του Χ.
-
Παράδειγμα: Εάν:
- y = x
- y = -x + 4
-
Έτσι y = -x + 4 μπορεί να γραφτεί ως:
x = -x + 4
Βήμα 4. Λύστε την πρώτη μεταβλητή
Τώρα που έχετε μόνο μία μεταβλητή στην εξίσωση, μπορείτε εύκολα να λύσετε τη μεταβλητή, Χ, όπως και σε άλλες εξισώσεις: με πρόσθεση, αφαίρεση, διαίρεση και πολλαπλασιασμό.
-
Παράδειγμα: x = -x + 4
- x + x = -x + x + 4
- 2x = 4
- 2x / 2 = 4/2
- x = 2
Βήμα 5. Λύστε τις υπόλοιπες μεταβλητές
Εισαγάγετε μια νέα τιμή για Χ στην αρχική εξίσωση για να βρείτε την τιμή του y.
-
Παράδειγμα: y = x
y = 2
Βήμα 6. Ορίστε τις κορυφές
Η κορυφή είναι η συντεταγμένη που περιέχει την τιμή Χ και y που μόλις ανακάλυψες.
Παράδειγμα: (2, 2)
Μέθοδος 3 από 5: Εύρεση του Vertex on a Parabola Using the Axis of Symmetry
Βήμα 1. Προσδιορίστε την εξίσωση
Ξαναγράψτε την τετραγωνική εξίσωση σε μορφή συντελεστή. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να υπολογίσετε μια τετραγωνική εξίσωση, αλλά όταν τελειώσετε, θα έχετε δύο ομάδες σε αγκύλες, οι οποίες όταν τις πολλαπλασιάσετε μαζί, θα πάρετε την αρχική εξίσωση.
-
Παράδειγμα: (χρησιμοποιώντας ανάλυση)
- 3x2 - 6x - 45
- Εξάγει τον ίδιο συντελεστή: 3 (x2 - 2x - 15)
- Συντελεστές πολλαπλασιασμού a και c: 1 * -15 = -15
- Βρίσκει δύο αριθμούς που όταν πολλαπλασιάζονται ισούται με -15 και των οποίων το άθροισμα ισούται με την τιμή b, -2. 3 * -5 = -15; 3 - 5 = -2
- Αντικαταστήστε τις δύο τιμές στην εξίσωση 'ax2 + kx + hx + c: 3 (x2 + 3x - 5x - 15)
- Factoring κατά ομαδοποίηση: f (x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
Βήμα 2. Βρείτε το χ-τομή της εξίσωσης
Όταν η συνάρτηση x, f (x), ισούται με 0, η παραβολή τέμνει τον άξονα x. Αυτό θα συμβεί όταν οποιοσδήποτε συντελεστής είναι ίσος με 0.
-
Παράδειγμα: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
- +3 = 0
- - 5 = 0
- = -3; = 5
- Έτσι, οι ρίζες είναι: (-3, 0) και (5, 0)
Βήμα 3. Βρείτε το μεσαίο σημείο
Ο άξονας συμμετρίας της εξίσωσης θα βρίσκεται ακριβώς στη μέση μεταξύ των δύο ριζών της εξίσωσης. Πρέπει να γνωρίζετε τον άξονα συμμετρίας γιατί οι κορυφές βρίσκονται εκεί.
Παράδειγμα: x = 1; αυτή η τιμή βρίσκεται ακριβώς στη μέση του -3 και του 5
Βήμα 4. Συνδέστε την τιμή του x στην αρχική εξίσωση
Συνδέστε την τιμή x του άξονα συμμετρίας στην εξίσωση της παραβολής. Η τιμή y θα είναι η τιμή y της κορυφής.
Παράδειγμα: y = 3x2 - 6x - 45 = 3 (1) 2 - 6 (1) - 45 = -48
Βήμα 5. Γράψτε τα σημεία κορυφής
Μέχρι αυτό το σημείο, οι τελευταίες υπολογισμένες τιμές των x και y θα δώσουν τις συντεταγμένες της κορυφής.
Παράδειγμα: (1, -48)
Μέθοδος 4 από 5: Εύρεση του Vertex σε μια παραβολή με συμπλήρωση τετραγώνων
Βήμα 1. Ξαναγράψτε την αρχική εξίσωση σε μορφή κορυφής
Η φόρμα "κορυφή" είναι μια εξίσωση γραμμένη στη μορφή y = a (x - h)^2 + k, και το σημείο κορυφής είναι (η, κ) Το Η αρχική τετραγωνική εξίσωση πρέπει να ξαναγραφεί σε αυτήν τη μορφή και γι 'αυτό, πρέπει να συμπληρώσετε το τετράγωνο.
Παράδειγμα: y = -x^2 - 8x - 15
Βήμα 2. Λάβετε τον συντελεστή α
Αφαιρέστε τον πρώτο συντελεστή, a από τους δύο πρώτους συντελεστές της εξίσωσης. Αφήστε τον τελευταίο συντελεστή c σε αυτό το σημείο.
Παράδειγμα: -1 (x^2 + 8x) - 15
Βήμα 3. Βρείτε την τρίτη σταθερά μέσα στις αγκύλες
Η τρίτη σταθερά πρέπει να περικλείεται σε αγκύλες έτσι ώστε οι τιμές στις αγκύλες να σχηματίζουν ένα τέλειο τετράγωνο. Αυτή η νέα σταθερά είναι ίση με το τετράγωνο του μισού συντελεστή στη μέση.
-
Παράδειγμα: 8/2 = 4; 4 * 4 = 16; έτσι ώστε,
- -1 (x^2 + 8x + 16)
- Θυμηθείτε ότι οι διεργασίες που εκτελούνται εντός των παρενθέσεων πρέπει να εκτελούνται και εκτός των παρενθέσεων:
- y = -1 (x^2 + 8x + 16) - 15 + 16
Βήμα 4. Απλοποιήστε την εξίσωση
Δεδομένου ότι το σχήμα μέσα στις αγκύλες είναι τώρα ένα τέλειο τετράγωνο, μπορείτε να απλοποιήσετε το σχήμα μέσα στις αγκύλες σε παραμετροποιημένη μορφή. Ταυτόχρονα, μπορείτε να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε τιμές εκτός των παρενθέσεων.
Παράδειγμα: y = -1 (x + 4)^2 + 1
Βήμα 5. Βρείτε τις συντεταγμένες με βάση την εξίσωση κορυφής
Θυμηθείτε ότι η κορυφαία μορφή της εξίσωσης είναι y = a (x - h)^2 + k, με (η, κ) που είναι οι συντεταγμένες της κορυφής. Τώρα έχετε πλήρεις πληροφορίες για να εισαγάγετε τιμές στα h και k και να λύσετε το πρόβλημα.
- k = 1
- h = -4
- Στη συνέχεια, η κορυφή της εξίσωσης μπορεί να βρεθεί στο: (-4, 1)
Μέθοδος 5 από 5: Εύρεση του Vertex σε μια παραβολή χρησιμοποιώντας μια απλή φόρμουλα
Βήμα 1. Βρείτε απευθείας την τιμή x της κορυφής
Όταν η εξίσωση της παραβολής γράφεται με τη μορφή y = ax^2 + bx + c, x της κορυφής μπορεί να βρεθεί από τον τύπο x = -b / 2a Το Απλώς συνδέστε τις τιμές a και b από την εξίσωση στον τύπο για να βρείτε το x.
- Παράδειγμα: y = -x^2 - 8x - 15
- x = -b/2a = -(- -8)/(2*(-1)) = 8/(- -2) = -4
- x = -4
Βήμα 2. Συνδέστε αυτήν την τιμή στην αρχική εξίσωση
Συνδέοντας την τιμή του x στην εξίσωση, μπορείτε να βρείτε το y. Η τιμή y θα είναι η τιμή y των συντεταγμένων κορυφής.
-
Παράδειγμα: y = -x^2 - 8x - 15 = - (- 4)^2 - 8 (-4) - 15 = - (16) - (-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
y = 1
Βήμα 3. Γράψτε τις συντεταγμένες των κορυφών
Οι τιμές x και y που λαμβάνετε είναι οι συντεταγμένες του σημείου κορυφής.
