3 τρόποι για να συντελεστεί ένα Τριωνικό

2024 Συγγραφέας: Jason Gerald | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-15 08:12

Το τριωνύμιο είναι μια αλγεβρική έκφραση που αποτελείται από τρεις όρους. Πιθανότατα, θα αρχίσετε να μαθαίνετε πώς να συνυπολογίζετε ένα τετράγωνο τριωνύμιο, δηλαδή ένα τρίωνο γραμμένο στη μορφή τσεκούρι² + bx + c Υπάρχουν μερικά κόλπα για μάθηση, τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για πολλούς διαφορετικούς τύπους τετραγώνων, αλλά θα μπορείτε να τα χρησιμοποιήσετε καλύτερα και γρηγορότερα με την εξάσκηση. Πολυώνυμα υψηλότερης τάξης, με όρους όπως x³ ή x⁴, δεν μπορεί πάντα να λυθεί με τον ίδιο τρόπο, αλλά μπορείτε συχνά να χρησιμοποιήσετε απλό factoring ή αντικατάσταση για να το μετατρέψετε σε πρόβλημα που μπορεί να λυθεί όπως κάθε άλλος τετραγωνικός τύπος.

Βήμα

Μέθοδος 1 από 3: Factoring x² + bx + c

Βήμα 1. Μάθετε τον πολλαπλασιασμό PLDT

Mayσως έχετε μάθει πώς να πολλαπλασιάζετε το PLDT ή "Πρώτα, έξω, μέσα, τελευταία" για να πολλαπλασιάζετε εκφράσεις όπως (x+2) (x+4). Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε πώς λειτουργεί αυτός ο πολλαπλασιασμός προτού συντελέσουμε:

• Πολλαπλασιάστε τις φυλές Πρώτα: (Χ+2)(Χ+4) = Χ² + _

• Πολλαπλασιάστε τις φυλές Εξω απο: (Χ+2) (x+

  Βήμα 4.) = x²+ 4x + _

• Πολλαπλασιάστε τις φυλές Σε: (x+

  Βήμα 2.)(Χ+4) = x²+4x+ 2x + _

• Πολλαπλασιάστε τις φυλές Τελικός: (x+

  Βήμα 2.)(Χ

  Βήμα 4.) = x²+4x+2x

  Βήμα 8.

• Απλοποιήστε: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Βήμα 2. Κατανοήστε το factoring

Όταν πολλαπλασιάζετε δύο διώνυμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο PLDT, λαμβάνετε ένα τριωνύμιο (μια έκφραση με τρεις όρους) με τη μορφή a x²+ b x+ c, όπου a, b και c είναι συνηθισμένοι αριθμοί. Εάν ξεκινάτε με μια εξίσωση που έχει την ίδια μορφή, μπορείτε να την μετατρέψετε σε δύο διωνυμικά.

• Εάν οι εξισώσεις δεν είναι γραμμένες με αυτή τη σειρά, αναδιατάξτε τις εξισώσεις έτσι ώστε να έχουν αυτήν τη σειρά. Για παράδειγμα, ξαναγράψτε 3x - 10 + x² Γίνεται Χ² + 3x - 10.
• Επειδή η υψηλότερη ισχύς είναι 2 (x², αυτός ο τύπος έκφρασης ονομάζεται τετραγωνικός.

Βήμα 3. Αφήστε ένα κενό διάστημα για την απάντηση με τη μορφή πολλαπλασιασμού PLDT

Προς το παρόν, απλά γράψτε (_ _)(_ _) που θα γράψετε την απάντηση. Θα το γεμίσουμε ενώ το δουλεύουμε

Μην γράφετε + ή - μεταξύ των κενών όρων επειδή δεν γνωρίζουμε ακόμα το σωστό πρόσημο

Βήμα 4. Συμπληρώστε τους πρώτους όρους

Για απλά προβλήματα, ο πρώτος όρος του τριωνύμου σας είναι μόνο x², οι όροι στην Πρώτη θέση είναι πάντα Χ και Χ Το Αυτοί είναι οι παράγοντες του όρου x² γιατί x φορές x = x².

• Το παράδειγμά μας x² + 3x - 10 ξεκινώντας με x², έτσι μπορούμε να γράψουμε:
• (x _) (x _)
• Θα δουλέψουμε για πιο πολύπλοκα προβλήματα στην επόμενη ενότητα, συμπεριλαμβανομένων των τριωνύμων που ξεκινούν με όρους όπως 6x² ή -x²Το Εν τω μεταξύ, ακολουθήστε αυτά τα δείγματα ερωτήσεων.

Βήμα 5. Χρησιμοποιήστε το factoring για να μαντέψετε τους Τελευταίους όρους

Αν επιστρέψετε και διαβάσετε τα βήματα για τον τρόπο πολλαπλασιασμού του PLDT, θα δείτε ότι ο πολλαπλασιασμός των Τελευταίων όρων θα παράγει τον τελευταίο όρο στο πολυώνυμο (όροι που δεν έχουν x). Έτσι για να συντελεστούμε, πρέπει να βρούμε δύο αριθμούς οι οποίοι όταν πολλαπλασιαστούν θα παράγουν τον τελευταίο όρο.

• Στο παράδειγμά μας x² + 3x - 10, ο τελευταίος όρος είναι -10.
• Ποιοι είναι οι παράγοντες του -10; Ποιος αριθμός πολλαπλασιάζεται με -10;
• Υπάρχουν πολλές δυνατότητες: -1 φορές 10, 1 φορές -10, -2 φορές 5 ή 2 φορές -5. Γράψτε αυτά τα ζευγάρια κάπου για να τα θυμηθείτε.
• Μην αλλάξετε την απάντησή μας ακόμη. Η απάντησή μας θα πρέπει να μοιάζει με αυτό: (x _) (x _).

Βήμα 6. Ελέγξτε τις δυνατότητες που ταιριάζουν με το εξωτερικό και το εσωτερικό προϊόν

Περιορίσαμε τους τελευταίους όρους σε μερικές δυνατότητες. Χρησιμοποιήστε το δοκιμαστικό σύστημα για να ελέγξετε κάθε πιθανότητα, πολλαπλασιάζοντας τους Εξωτερικούς και Εσωτερικούς όρους και συγκρίνοντας το προϊόν με το τριωνύμιο μας. Για παράδειγμα:

• Το αρχικό μας πρόβλημα είχε τον όρο "x" σε 3x, οπότε τα αποτελέσματα των δοκιμών μας θα πρέπει να ταιριάζουν με αυτόν τον όρο.
• Δοκιμές -1 και 10: (x -1) (x+10). Έξω + Μέσα = 10x - x = 9x. Λανθασμένος.
• Δοκιμές 1 και -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Αυτό είναι λάθος. Στην πραγματικότητα, εάν δοκιμάσετε -1 και 10, θα διαπιστώσετε ότι το 1 και το -10 είναι το αντίθετο της παραπάνω απάντησης: -9x αντί για 9x.
• Δοκιμές -2 και 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Το αποτέλεσμα αντιστοιχεί στο αρχικό πολυώνυμο, οπότε εδώ είναι η σωστή απάντηση: (x-2) (x+5).
• Σε απλές περιπτώσεις όπως αυτή, αν δεν έχετε σταθερά μπροστά από τον όρο x², μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον γρήγορο τρόπο: απλά προσθέστε τους δύο παράγοντες και βάλτε ένα "x" πίσω του (-2+5 → 3x). Ωστόσο, αυτή η μέθοδος δεν λειτουργεί για πιο πολύπλοκα προβλήματα, οπότε είναι καλύτερο να θυμόμαστε τον "μακρύ δρόμο" που περιγράφεται παραπάνω.

Μέθοδος 2 από 3: Factoring Περισσότερα σύνθετα Τριωνικά

Βήμα 1. Χρησιμοποιήστε απλό factoring για να κάνετε τα πιο σύνθετα προβλήματα πιο απλά

Για παράδειγμα, πρέπει να συνυπολογίσετε 3x² + 9x - 30 Το Βρείτε έναν αριθμό που μπορεί να παριστάνει και τους τρεις όρους ("μεγαλύτερος κοινός παράγοντας" ή GCF). Σε αυτή την περίπτωση, το GCF είναι 3:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Έτσι, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Μπορούμε να υπολογίσουμε το νέο τρίωνο χρησιμοποιώντας τα βήματα στην παραπάνω ενότητα. Η τελική μας απάντηση θα είναι (3) (x-2) (x+5).

Βήμα 2. Αναζητήστε πιο περίπλοκους παράγοντες

Μερικές φορές, το factoring μπορεί να περιλαμβάνει μια μεταβλητή ή μπορεί να χρειαστεί να παραγοντοποιήσετε αρκετές φορές για να βρείτε την πιο απλή δυνατή έκφραση. Ορίστε μερικά παραδείγματα:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2 έτη)(Χ² + 7x + 12)
• Χ⁴ + 11x³ - 26x² = (Χ²)(Χ² +11x - 26)
• -Χ² + 6x - 9 = (-1)(Χ² - 6x + 9)
• Μην ξεχάσετε να διαμορφώσετε εκ νέου το νέο τριωνύμιο, χρησιμοποιώντας τα βήματα της μεθόδου 1. Ελέγξτε την εργασία σας και αναζητήστε παραδείγματα παρόμοιων προβλημάτων στα δείγματα ερωτήσεων κοντά στο κάτω μέρος αυτής της σελίδας.

Βήμα 3. Λύστε προβλήματα με έναν αριθμό μπροστά από το x².

Ορισμένα τετράγωνα τριάδες δεν μπορούν να αναχθούν στον ευκολότερο τύπο προβλήματος. Μάθετε πώς να λύνετε προβλήματα όπως 3x² + 10x + 8, στη συνέχεια εξασκηθείτε μόνοι σας με τα δείγματα ερωτήσεων στο κάτω μέρος αυτής της σελίδας:

• Ορίστε την απάντησή μας να είναι: (_ _)(_ _)
• Οι όροι "Πρώτος" θα έχουν ο καθένας ένα x και ο πολλαπλασιασμός τους δίνει 3x²Το Υπάρχει μόνο μία πιθανότητα: (3x _) (x _).
• Καταγράψτε τους συντελεστές του 8. Οι πιθανότητες είναι 1 φορές 8 ή 2 φορές 4.
• Δοκιμάστε αυτήν τη δυνατότητα χρησιμοποιώντας τους εξωτερικούς και εσωτερικούς όρους. Σημειώστε ότι η σειρά των παραγόντων είναι πολύ σημαντική επειδή ο εξωτερικός όρος πολλαπλασιάζεται με 3x αντί για x. Δοκιμάστε κάθε πιθανότητα μέχρι να βγείτε Out+In = 10x (από το αρχικό πρόβλημα):
• (3x+1) (x+8) 24x+x = 25x όχι
• (3x+8) (x+1) 3x+8x = 11x όχι
• (3x+2) (x+4) 12x+2x = 14x όχι
• (3x+4) (x+2) 6x+4x = 10x Ναί Το Αυτός είναι ο σωστός παράγοντας.

Βήμα 4. Χρησιμοποιήστε υποκατάσταση για τριωνύμια υψηλότερης τάξης

Το μαθηματικό σας βιβλίο μπορεί να σας εκπλήξει με εξισώσεις με υψηλές δυνάμεις, όπως το x⁴, ακόμη και αφού χρησιμοποιήσετε απλό factoring για να διευκολύνετε το πρόβλημα. Δοκιμάστε να αντικαταστήσετε μια νέα μεταβλητή που την μετατρέπει σε πρόβλημα που ξέρετε πώς να λύσετε. Για παράδειγμα:

• Χ⁵+13x³+36x
• = (x) (x⁴+13x²+36)
• Ας δημιουργήσουμε μια νέα μεταβλητή. Ας πούμε y = x² και βάλε μέσα:
• (x) (y²+13ε+36)
• = (x) (y+9) (y+4). Τώρα, μετατρέψτε το ξανά στην αρχική μεταβλητή:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Μέθοδος 3 από 3: Factoring Special Cases

Βήμα 1. Βρείτε πρώτους αριθμούς

Κοιτάξτε για να δείτε αν η σταθερά στον πρώτο ή τον τρίτο όρο του τριωνύμου είναι πρώτος αριθμός. Ένας πρώτος αριθμός διαιρείται μόνο από μόνος του και 1, οπότε υπάρχει μόνο ένα πιθανό ζεύγος διωνυμικών παραγόντων.

• Για παράδειγμα, στο x² + 6x + 5, 5 είναι ένας πρώτος αριθμός, οπότε το διωνυμικό πρέπει να έχει τη μορφή (_ 5) (_ 1).
• Στο πρόβλημα του 3x²+10x+8, 3 είναι ένας πρώτος αριθμός, οπότε το διωνυμικό πρέπει να έχει τη μορφή (3x _) (x _).
• Για ερωτήσεις 3x²+4x+1, και οι 3 και 1 είναι πρώτοι αριθμοί, οπότε η μόνη δυνατή λύση είναι (3x+1) (x+1). (Θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον αριθμό για να ελέγξετε την απάντησή σας, επειδή ορισμένες εκφράσεις δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη - για παράδειγμα, 3x²+100x+1 δεν έχει παράγοντα.)

Βήμα 2. Μάθετε αν το τριωνύμιο είναι ένα τέλειο τετράγωνο

Ένα τέλειο τετράγωνο τριωνύμιο μπορεί να συνυπολογιστεί σε δύο πανομοιότυπα και ο συντελεστής συνήθως γράφεται ως (x+1)² και όχι (x+1) (x+1). Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα που τείνουν να εμφανίζονται σε ερωτήσεις:

• Χ²+2x+1 = (x+1)², και x²-2x+1 = (x-1)²
• Χ²+4x+4 = (x+2)², και x²-4x+4 = (x-2)²
• Χ²+6x+9 = (x+3)², και x²-6x+9 = (x-3)²
• Τέλειο τετράγωνο τριωνύμιο με τη μορφή a x² + bx + c έχει πάντα τους όρους a και c που είναι θετικά τέλεια τετράγωνα (όπως 1, 4, 9, 16 ή 25) και ένας όρος b (θετικός ή αρνητικός) που είναι ίσος με 2 (√a * √c) Το

Βήμα 3. Μάθετε αν ένα πρόβλημα δεν έχει λύση

Δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη όλα τα τριωνυμικά. Εάν δεν μπορείτε να συνυπολογίσετε ένα τετράγωνο τριωνύμιο (τσεκ²+bx+c), χρησιμοποιήστε τον τετραγωνικό τύπο για να βρείτε την απάντηση. Εάν η μόνη απάντηση είναι η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού, δεν υπάρχει πραγματική λύση αριθμών, τότε το πρόβλημα δεν έχει παράγοντες.

Για τρίγωνα μη τετράγωνα, χρησιμοποιήστε το κριτήριο Eisenstein, το οποίο περιγράφεται στην ενότητα Συμβουλές

Απαντήσεις και Δείγματα Ερωτήσεων

1. Απαντήσεις σε ερωτήσεις "περίπλοκων παραγόντων".

   Αυτές είναι ερωτήσεις από το βήμα "πιο περίπλοκων παραγόντων". Απλοποιήσαμε τα προβλήματα σε ευκολότερα, οπότε προσπαθήστε να τα λύσετε χρησιμοποιώντας τα βήματα της μεθόδου 1 και, στη συνέχεια, ελέγξτε την εργασία σας εδώ:

   • (2 έτη) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
   • (Χ²)(Χ² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
   • (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Δοκιμάστε πιο σύνθετα προβλήματα factoring.

   Αυτά τα προβλήματα έχουν τον ίδιο παράγοντα σε κάθε όρο, ο οποίος πρέπει πρώτα να ληφθεί υπόψη. Αποκλείστε τα κενά μετά το σύμβολο ίσων για να δείτε τις απαντήσεις, ώστε να μπορείτε να ελέγξετε την εργασία σας:

   • 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) αποκλείστε το κενό για να δείτε την απάντηση
   • -5x³y²+30x²y²-25 ετών²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)

3. Εξασκηθείτε χρησιμοποιώντας ερωτήσεις Το Αυτά τα προβλήματα δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη σε ευκολότερες εξισώσεις, οπότε θα πρέπει να βρείτε την απάντηση στη φόρμα (_x + _) (_ x + _) χρησιμοποιώντας δοκιμή και σφάλμα:

   • 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) μπλοκ για να δείτε την απάντηση
   • 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Υπόδειξη: Μπορεί να θέλετε να δοκιμάσετε περισσότερα από ένα ζεύγη παραγόντων για 9x.)

   Συμβουλές

   • Εάν δεν μπορείτε να καταλάβετε πώς να παραγοντοποιήσετε ένα τετραγωνικό τριωνύμιο (τσεκ²+bx+c), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τετραγωνικό τύπο για να βρείτε το x.

   • Παρόλο που δεν χρειάζεται να ξέρετε πώς να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα κριτήρια Eisenstein για να προσδιορίσετε γρήγορα εάν ένα πολυώνυμο δεν μπορεί να απλοποιηθεί και να ληφθεί υπόψη. Αυτό το κριτήριο ισχύει για κάθε πολυώνυμο, αλλά χρησιμοποιείται καλύτερα για τα τριωνύμια. Εάν υπάρχει ένας πρώτος αριθμός p που διαιρεί ομοιόμορφα τους δύο τελευταίους όρους και πληροί τις ακόλουθες συνθήκες, τότε το πολυώνυμο δεν μπορεί να απλοποιηθεί:

     • Οι σταθεροί όροι (χωρίς μεταβλητές) είναι πολλαπλάσια του p αλλά όχι πολλαπλάσια του p².
     • Το πρόθεμα (για παράδειγμα, a in ax²+bx+c) δεν είναι πολλαπλάσιο του p.
     • Για παράδειγμα, 14x² +45x +51 δεν μπορεί να απλοποιηθεί επειδή υπάρχει ένας πρώτος αριθμός (3) που μπορεί να διαιρεθεί τόσο με το 45 όσο και με το 51, αλλά δεν διαιρείται με το 14 και το 51 δεν διαιρείται με το 3².

   Προειδοποίηση

   Παρόλο που αυτό ισχύει για τα τετραγωνικά τριωνύμια, το τριωνύμιο που μπορεί να ληφθεί υπόψη δεν είναι απαραίτητα το προϊόν δύο διωνύμων. Για παράδειγμα, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).