Σε ένα «σύστημα εξισώσεων», σας ζητείται να λύσετε δύο ή περισσότερες εξισώσεις ταυτόχρονα. Όταν οι δύο εξισώσεις έχουν δύο διαφορετικές μεταβλητές, για παράδειγμα x και y, η λύση μπορεί να φαίνεται δύσκολη στην αρχή. Ευτυχώς, μόλις μάθετε τι πρέπει να κάνετε, μπορείτε απλά να χρησιμοποιήσετε τις αλγεβρικές σας ικανότητες (και την επιστήμη του υπολογισμού των κλασμάτων) για να λύσετε το πρόβλημα. Μάθετε επίσης πώς να σχεδιάζετε αυτές τις δύο εξισώσεις εάν είστε μαθητευόμενοι ή απαιτούνται από τον δάσκαλο. Τα σχέδια θα σας βοηθήσουν να προσδιορίσετε το αντικείμενο ή να ελέγξετε τα αποτελέσματα της εργασίας σας. Ωστόσο, αυτή η μέθοδος είναι πιο αργή από τις άλλες μεθόδους και δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για όλα τα συστήματα εξισώσεων.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 3: Χρήση της μεθόδου υποκατάστασης
Βήμα 1. Μετακινήστε τις μεταβλητές στην αντίθετη πλευρά της εξίσωσης
Η μέθοδος υποκατάστασης ξεκινά «βρίσκοντας την τιμή του x» (ή οποιασδήποτε άλλης μεταβλητής) σε μία από τις εξισώσεις. Για παράδειγμα, ας πούμε ότι η εξίσωση του προβλήματος είναι 4x + 2y = 8 και 5x + 3y = 9 Το Ξεκινήστε δουλεύοντας την πρώτη εξίσωση. Αναδιατάξτε την εξίσωση αφαιρώντας 2y και από τις δύο πλευρές. Έτσι, παίρνετε 4x = 8 - 2y.
Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιεί συχνά κλάσματα στο τέλος. Εάν δεν σας αρέσει να μετράτε κλάσματα, δοκιμάστε την παρακάτω μέθοδο εξάλειψης
Βήμα 2. Χωρίστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης για να "βρείτε την τιμή του x"
Μόλις ο όρος x (ή οποιαδήποτε μεταβλητή που χρησιμοποιείτε) είναι μόνος στη μία πλευρά της εξίσωσης, διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τους συντελεστές έτσι ώστε να παραμένει μόνο η μεταβλητή. Ως παράδειγμα:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
Βήμα 3. Συνδέστε την τιμή x από την πρώτη εξίσωση στη δεύτερη εξίσωση
Βεβαιωθείτε ότι το έχετε συνδέσει στη δεύτερη εξίσωση, αντί για αυτήν που μόλις δουλέψατε. Αντικαταστήστε (αντικαταστήστε) τη μεταβλητή x στη δεύτερη εξίσωση. Έτσι, η δεύτερη εξίσωση έχει πλέον μόνο μία μεταβλητή. Ως παράδειγμα:
- Είναι γνωστό x = 2 - y.
- Η δεύτερη σας εξίσωση είναι 5x + 3y = 9.
- Μετά την εναλλαγή της μεταβλητής x στη δεύτερη εξίσωση με την τιμή x από την πρώτη εξίσωση, παίρνουμε "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Βήμα 4. Λύστε τις υπόλοιπες μεταβλητές
Τώρα, η εξίσωση σας έχει μόνο μία μεταβλητή. Υπολογίστε την εξίσωση με συνηθισμένες αλγεβρικές πράξεις για να βρείτε την τιμή της μεταβλητής. Εάν οι δύο μεταβλητές ακυρώσουν η μία την άλλη, μεταβείτε απευθείας στο τελευταίο βήμα. Διαφορετικά, θα λάβετε μια τιμή για μία από τις μεταβλητές:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Αν δεν καταλαβαίνετε αυτό το βήμα, μάθετε πώς να προσθέτετε κλάσματα.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Βήμα 5. Χρησιμοποιήστε την ληφθείσα απάντηση για να βρείτε την πραγματική τιμή του x στην πρώτη εξίσωση
Μην σταματήσετε ακόμα γιατί οι υπολογισμοί σας δεν έχουν τελειώσει ακόμα. Πρέπει να συνδέσετε την ληφθείσα απάντηση στην πρώτη εξίσωση για να βρείτε την τιμή των υπόλοιπων μεταβλητών:
- Είναι γνωστό y = -2
- Μία από τις εξισώσεις στην πρώτη εξίσωση είναι 4x + 2y = 8 Το (Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιοδήποτε από τα δύο.)
- Αντικαταστήστε τη μεταβλητή y με -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Βήμα 6. Μάθετε τι πρέπει να κάνετε εάν οι δύο μεταβλητές ακυρώσουν η μία την άλλη
Όταν μπείτε x = 3y+2 ή μια παρόμοια απάντηση στη δεύτερη εξίσωση, που σημαίνει ότι προσπαθείτε να πάρετε μια εξίσωση που έχει μόνο μία μεταβλητή. Μερικές φορές, απλά παίρνετε την εξίσωση χωρίς μεταβλητός. Ελέγξτε ξανά τη δουλειά σας και βεβαιωθείτε ότι έχετε βάλει (αναδιατάξει) την εξίσωση ένα στην εξίσωση δύο, αντί να επιστρέψετε στην πρώτη εξίσωση. Όταν είστε σίγουροι ότι δεν έχετε κάνει κάτι λάθος, γράψτε ένα από τα ακόλουθα αποτελέσματα:
- Εάν η εξίσωση δεν έχει μεταβλητές και δεν είναι αληθής (για παράδειγμα, 3 = 5), αυτό το πρόβλημα δεν έχουν απάντηση Το (Όταν αυτό απεικονίζεται, αυτές οι δύο εξισώσεις είναι παράλληλες και δεν συναντιούνται ποτέ.)
- Εάν η εξίσωση δεν έχει μεταβλητές και Σωστός, (π.χ. 3 = 3), που σημαίνει ότι έχει η ερώτηση απεριόριστες απαντήσεις Το Η εξίσωση ένα είναι ακριβώς η ίδια με την εξίσωση δύο. (Όταν απεικονίζονται, αυτές οι δύο εξισώσεις έχουν την ίδια γραμμή.)
Μέθοδος 2 από 3: Χρήση της μεθόδου εξάλειψης
Βήμα 1. Βρείτε τις αμοιβαία αποκλειόμενες μεταβλητές
Μερικές φορές, η εξίσωση στο πρόβλημα είναι ήδη ακυρώσει ο ένας τον άλλον όταν αθροίζονται. Για παράδειγμα, αν κάνετε την εξίσωση 3x + 2y = 11 και 5x - 2y = 13, οι όροι "+2y" και "-2y" θα ακυρώσουν ο ένας τον άλλο και θα αφαιρέσουν τη μεταβλητή "y" από την εξίσωση. Κοιτάξτε την εξίσωση στο πρόβλημα και δείτε αν υπάρχουν μεταβλητές που ακυρώνουν η μία την άλλη, όπως στο παράδειγμα. Εάν όχι, συνεχίστε στο επόμενο βήμα.
Βήμα 2. Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με μία έτσι ώστε να αφαιρεθεί μία μεταβλητή
(Παραλείψτε αυτό το βήμα εάν οι μεταβλητές ακυρώνονται ήδη μεταξύ τους.) Εάν η εξίσωση δεν έχει μεταβλητές που ακυρώνονται μόνα τους, αλλάξτε μία από τις εξισώσεις έτσι ώστε να μπορούν να ακυρώσουν η μία την άλλη. Ρίξτε μια ματιά στα παρακάτω παραδείγματα για να τα καταλάβετε εύκολα:
- Οι εξισώσεις στο πρόβλημα είναι 3x - y = 3 και - x + 2y = 4.
- Ας αλλάξουμε την πρώτη εξίσωση έτσι ώστε η μεταβλητή y ακυρώσει ο ένας τον άλλον. (Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μεταβλητή Χ Το Η τελική απάντηση που θα ληφθεί θα είναι η ίδια.)
- Μεταβλητός - y στην πρώτη εξίσωση πρέπει να εξαλειφθεί από το + 2ε στη δεύτερη εξίσωση. Πώς, πολλαπλασιάστε - y με 2.
- Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2, ως εξής: 2 (3x - y) = 2 (3), Έτσι 6x - 2y = 6 Το Τώρα, φυλή - 2 έτη θα ακυρώσει ο ένας τον άλλον με +2ε στη δεύτερη εξίσωση.
Βήμα 3. Συνδυάστε τις δύο εξισώσεις
Το κόλπο είναι να προσθέσετε τη δεξιά πλευρά της πρώτης εξίσωσης στη δεξιά πλευρά της δεύτερης εξίσωσης και να προσθέσετε την αριστερή πλευρά της πρώτης εξίσωσης στην αριστερή πλευρά της δεύτερης εξίσωσης. Εάν γίνει σωστά, μία από τις μεταβλητές θα ακυρώσει η μία την άλλη. Ας προσπαθήσουμε να συνεχίσουμε τον υπολογισμό από το προηγούμενο παράδειγμα:
- Οι δύο εξισώσεις σας είναι 6x - 2y = 6 και - x + 2y = 4.
- Προσθέστε τις αριστερές πλευρές των δύο εξισώσεων: 6x - 2y - x + 2y =?
- Προσθέστε τις σωστές πλευρές των δύο εξισώσεων: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Βήμα 4. Λάβετε την τελευταία τιμή μεταβλητής
Απλοποιήστε τη σύνθετη εξίσωση και εργαστείτε με την τυπική άλγεβρα για να λάβετε την τιμή της τελευταίας μεταβλητής. Εάν, μετά την απλοποίηση, η εξίσωση δεν έχει μεταβλητές, συνεχίστε στο τελευταίο βήμα σε αυτήν την ενότητα.
Διαφορετικά, θα λάβετε μια τιμή για μία από τις μεταβλητές. Ως παράδειγμα:
- Είναι γνωστό 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Μεταβλητές ομάδας Χ και y μαζί: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Απλοποιήστε την εξίσωση: 5x = 10
- Βρείτε την τιμή x: (5x)/5 = 10/5, αποκτώ x = 2.
Βήμα 5. Βρείτε την τιμή μιας άλλης μεταβλητής
Βρήκατε την τιμή της μιας μεταβλητής, αλλά τι γίνεται με την άλλη; Συνδέστε την απάντησή σας σε μία από τις εξισώσεις για να βρείτε την τιμή της υπόλοιπης μεταβλητής. Ως παράδειγμα:
- Είναι γνωστό x = 2, και μία από τις εξισώσεις στο πρόβλημα είναι 3x - y = 3.
- Αντικαταστήστε τη μεταβλητή x με 2: 3 (2) - y = 3.
- Βρείτε την τιμή του y στην εξίσωση: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, Έτσι 6 = 3 + y
- 3 = y
Βήμα 6. Μάθετε τι πρέπει να κάνετε όταν οι δύο μεταβλητές ακυρώσουν η μία την άλλη
Μερικές φορές, ο συνδυασμός δύο εξισώσεων οδηγεί σε μια εξίσωση που δεν έχει νόημα ή δεν σας βοηθά να λύσετε το πρόβλημα. Επανεξετάστε τη δουλειά σας και αν είστε βέβαιοι ότι δεν κάνατε τίποτα λάθος, γράψτε μία από τις ακόλουθες δύο απαντήσεις:
- Εάν η συνδυασμένη εξίσωση δεν έχει μεταβλητές και δεν είναι αληθής (για παράδειγμα, 2 = 7), αυτό το πρόβλημα δεν έχουν απάντηση Το Αυτή η απάντηση ισχύει και για τις δύο εξισώσεις. (Όταν αυτό απεικονίζεται, αυτές οι δύο εξισώσεις είναι παράλληλες και δεν συναντιούνται ποτέ.)
- Εάν η συνδυασμένη εξίσωση δεν έχει μεταβλητές και Σωστός, (π.χ. 0 = 0), που σημαίνει ότι έχει η ερώτηση απεριόριστες απαντήσεις Το Αυτές οι δύο εξισώσεις είναι πανομοιότυπες μεταξύ τους. (Όταν απεικονίζονται, αυτές οι δύο εξισώσεις έχουν την ίδια γραμμή.)
Μέθοδος 3 από 3: Σχεδιάστε ένα γράφημα εξισώσεων
Βήμα 1. Εκτελέστε αυτήν τη μέθοδο μόνο όταν σας δοθούν οδηγίες
Αν δεν χρησιμοποιείτε υπολογιστή ή αριθμομηχανή γραφικών, αυτή η μέθοδος μπορεί να δώσει μόνο κατά προσέγγιση απαντήσεις. Ο δάσκαλος ή το σχολικό σας βιβλίο μπορεί να σας πει να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο για να συνηθίσετε να σχεδιάζετε εξισώσεις ως γραμμές. Αυτή η μέθοδος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο της απάντησης σε μία από τις παραπάνω μεθόδους.
Η κύρια ιδέα είναι ότι πρέπει να περιγράψετε τις δύο εξισώσεις και να βρείτε το σημείο τομής τους. Η τιμή των x και y σε αυτό το σημείο τομής είναι η απάντηση στο πρόβλημα
Βήμα 2. Βρείτε τις τιμές y και των δύο εξισώσεων
Μην συνδυάσετε τις δύο εξισώσεις και αλλάξτε κάθε εξίσωση έτσι ώστε η μορφή να είναι "y = _x + _". Ως παράδειγμα:
- Η πρώτη σου εξίσωση είναι 2x + y = 5 Το Αλλάζω σε y = -2x + 5.
- Η πρώτη σου εξίσωση είναι - 3x + 6y = 0 Το Αλλάζω σε 6y = 3x + 0, και απλοποίηση σε y = x + 0.
- Εάν οι δύο εξισώσεις σας είναι ακριβώς οι ίδιες, ολόκληρη η γραμμή είναι η «τομή» των δύο εξισώσεων. Γράφω απεριόριστες απαντήσεις ως απάντηση.
Βήμα 3. Σχεδιάστε τους άξονες συντεταγμένων
Σχεδιάστε μια κάθετη γραμμή "άξονα y" και μια οριζόντια γραμμή "άξονα x" στο χαρτί γραφήματος. Ξεκινώντας από το σημείο όπου τέμνονται οι δύο άξονες (0, 0), σημειώστε τις αριθμητικές ετικέτες 1, 2, 3, 4 και ούτω καθεξής διαδοχικά προς τα πάνω στον άξονα y και δείχνοντας προς τα δεξιά στον άξονα x Το Μετά από αυτό, γράψτε τις αριθμητικές ετικέτες -1, -2 και ούτω καθεξής διαδοχικά προς τα κάτω στον άξονα y και δείχνοντας προς τα αριστερά στον άξονα x.
- Εάν δεν έχετε χαρτί γραφικών, χρησιμοποιήστε έναν χάρακα για να βεβαιωθείτε ότι το διάστημα μεταξύ κάθε αριθμού είναι ακριβώς το ίδιο.
- Εάν χρησιμοποιείτε μεγάλους αριθμούς ή δεκαδικούς, συνιστούμε την κλιμάκωση του γραφήματος (π.χ. 10, 20, 30 ή 0, 1, 0, 2, 0, 3 αντί για 1, 2, 3).
Βήμα 4. Σχεδιάστε το σημείο παρεμβολής y για κάθε εξίσωση
Αν η εξίσωση έχει τη μορφή y = _x + _, μπορείτε να αρχίσετε να σχεδιάζετε ένα γράφημα κάνοντας το σημείο όπου η γραμμή εξίσωσης τέμνει με τον άξονα y. Η τιμή του y είναι πάντα η ίδια με τον τελευταίο αριθμό στην εξίσωση.
-
Συνεχίζοντας το προηγούμενο παράδειγμα, η πρώτη γραμμή (y = -2x + 5) τέμνει τον άξονα y στο
Βήμα 5. Το δεύτερη γραμμή (y = x + 0) τέμνει τον άξονα y στο 0 Το (Αυτά τα σημεία γράφονται ως (0, 5) και (0, 0) στο γράφημα.)
- Αν είναι δυνατόν, σχεδιάστε την πρώτη και τη δεύτερη γραμμή με στυλό ή μολύβια διαφορετικού χρώματος.
Βήμα 5. Χρησιμοποιήστε την κλίση για να συνεχίσετε τη γραμμή
Σε μορφή εξίσωσης y = _x + _, ο αριθμός μπροστά από το x δείχνει το «επίπεδο κλίσης» της γραμμής. Κάθε φορά που το x αυξάνεται κατά ένα, η τιμή του y θα αυξάνεται κατά τον αριθμό των επιπέδων κλίσης. Χρησιμοποιήστε αυτές τις πληροφορίες για να βρείτε τα σημεία για κάθε γραμμή στο γράφημα όταν x = 1. (Μπορείτε επίσης να εισαγάγετε x = 1 σε κάθε εξίσωση και να βρείτε την τιμή του y.)
- Συνεχίζοντας το προηγούμενο παράδειγμα, τη γραμμή y = -2x + 5 έχει κλίση του - 2 Το Στο σημείο x = 1, η γραμμή κινείται κάτω κατά 2 από το σημείο x = 0. Σχεδιάστε μια γραμμή που συνδέει (0, 5) με (1, 3).
- Γραμμή y = x + 0 έχει κλίση του ½ Το Στο x = 1, η γραμμή μετακινείται βόλτα από το σημείο x = 0. Σχεδιάστε μια γραμμή που συνδέει (0, 0) με (1,).
- Αν δύο γραμμές έχουν την ίδια κλίση, τα δύο δεν θα τέμνονται ποτέ. Έτσι, αυτό το σύστημα εξισώσεων δεν έχει απάντηση. Γράφω καμία απάντηση ως απάντηση.
Βήμα 6. Συνεχίστε να συνδέετε τις γραμμές έως ότου οι δύο γραμμές τέμνονται
Σταματήστε την εργασία και ρίξτε μια ματιά στο γράφημα σας. εάν οι δύο γραμμές έχουν διασταυρωθεί μεταξύ τους, συνεχίστε στο επόμενο βήμα. Εάν όχι, πάρτε μια απόφαση με βάση τη θέση των δύο γραμμών σας:
- Εάν οι δύο γραμμές πλησιάσουν η μία την άλλη, συνεχίστε να συνδέετε τις τελείες των λωρίδων σας.
- Εάν οι δύο γραμμές απομακρυνθούν η μία από την άλλη, επιστρέψτε και συνδέστε τις τελείες σε αντίθετες κατευθύνσεις, ξεκινώντας από x = 1.
- Εάν οι δύο γραμμές απέχουν πολύ, δοκιμάστε να πηδήξετε και να συνδέσετε τα σημεία πιο μακριά, για παράδειγμα x = 10.
Βήμα 7. Βρείτε την απάντηση στο σημείο τομής
Αφού οι δύο γραμμές τέμνονται, η τιμή των x και y σε εκείνο το σημείο είναι η απάντηση στο πρόβλημά σας. Εάν είστε τυχεροί, η απάντηση θα είναι ακέραιος αριθμός. Για παράδειγμα, στο παράδειγμά μας οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο (2, 1) οπότε η απάντηση είναι x = 2 και y = 1 Το Σε ορισμένα συστήματα εξισώσεων, το σημείο όπου τέμνεται η γραμμή είναι μεταξύ δύο ακέραιων αριθμών και εάν το γράφημα δεν είναι πολύ ακριβές, είναι δύσκολο να εντοπιστεί πού βρίσκονται οι τιμές x και y στο σημείο τομής. Εάν επιτρέπεται, μπορείτε να γράψετε "x είναι μεταξύ 1 και 2" ως απάντηση ή να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αντικατάστασης ή εξάλειψης για να βρείτε την απάντηση.
Συμβουλές
- Μπορείτε να ελέγξετε την εργασία σας συνδέοντας τις απαντήσεις στην αρχική εξίσωση. Εάν η εξίσωση αποδειχθεί αληθινή (π.χ. 3 = 3), σημαίνει ότι η απάντησή σας είναι σωστή.
- Όταν χρησιμοποιείτε τη μέθοδο εξάλειψης, μερικές φορές πρέπει να πολλαπλασιάσετε την εξίσωση με αρνητικό αριθμό, έτσι ώστε οι μεταβλητές να μπορούν να ακυρώσουν η μία την άλλη.
