3 τρόποι επίλυσης κυβικών εξισώσεων

2024 Συγγραφέας: Jason Gerald | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-16 19:20

Όταν βρείτε για πρώτη φορά την κυβική εξίσωση (η οποία είναι της μορφής axe ³ + bx ² + cx + d = 0), ίσως νομίζετε ότι το πρόβλημα θα είναι δύσκολο να λυθεί. Αλλά να ξέρετε ότι η επίλυση κυβικών εξισώσεων υπάρχει στην πραγματικότητα εδώ και αιώνες! Αυτή η λύση, που ανακαλύφθηκε από τους Ιταλούς μαθηματικούς Niccolò Tartaglia και Gerolamo Cardano τη δεκαετία του 1500, είναι ένας από τους πρώτους τύπους γνωστούς στην αρχαία Ελλάδα και τη Ρώμη. Η επίλυση των κυβικών εξισώσεων μπορεί να είναι λίγο δύσκολη, αλλά με τη σωστή προσέγγιση (και επαρκή γνώση), ακόμη και οι πιο δύσκολες κυβικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν.

Βήμα

Μέθοδος 1 από 3: Επίλυση χρησιμοποιώντας Τετραγωνικές Εξισώσεις

Βήμα 1. Ελέγξτε αν η κυβική εξίσωση έχει σταθερά

Όπως προαναφέρθηκε, η μορφή της κυβικής εξίσωσης είναι ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, και η τιμή του d μπορεί να είναι 0 χωρίς να επηρεάζεται η μορφή αυτής της κυβικής εξίσωσης. Αυτό βασικά σημαίνει ότι η κυβική εξίσωση δεν χρειάζεται πάντα να περιλαμβάνει την τιμή του bx ², cx, ή d να είναι κυβική εξίσωση. Για να ξεκινήσετε να χρησιμοποιείτε αυτόν τον αρκετά εύκολο τρόπο επίλυσης κυβικών εξισώσεων, ελέγξτε αν η κυβική σας εξίσωση έχει σταθερά (ή τιμή d). Εάν η εξίσωση σας δεν έχει σταθερά ή τιμή για το d, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια τετραγωνική εξίσωση για να βρείτε την απάντηση στην κυβική εξίσωση μετά από μερικά βήματα.

Από την άλλη πλευρά, εάν η εξίσωση σας έχει σταθερή τιμή, τότε θα χρειαστείτε άλλη λύση. Δείτε τα παρακάτω βήματα για άλλες προσεγγίσεις

Βήμα 2. Προσδιορίστε την τιμή x από την κυβική εξίσωση

Δεδομένου ότι η εξίσωση σας δεν έχει σταθερή τιμή, όλα τα στοιχεία σε αυτήν έχουν τη μεταβλητή x. Αυτό σημαίνει ότι αυτή η τιμή του x μπορεί να υπολογιστεί εκτός της εξίσωσης για να την απλοποιήσει. Κάντε αυτό το βήμα και ξαναγράψτε την κυβική σας εξίσωση με τη μορφή x (ax ² + bx + c).

Για παράδειγμα, ας πούμε ότι η αρχική κυβική εξίσωση εδώ είναι 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Λαμβάνοντας υπόψη μια μεταβλητή x από αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε την εξίσωση x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Βήμα 3. Χρησιμοποιήστε τετραγωνικές εξισώσεις για να λύσετε τις εξισώσεις σε αγκύλες

Μπορεί να παρατηρήσετε ότι μερικές από τις νέες σας εξισώσεις, οι οποίες περικλείονται σε παρένθεση, έχουν τη μορφή τετραγωνικής εξίσωσης (ax ² + bx + c). Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να βρούμε την τιμή που απαιτείται για να γίνει αυτή η εξίσωση μηδενική, συνδέοντας τα a, b και c στον τύπο της τετραγωνικής εξίσωσης ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a). Εκτελέστε αυτούς τους υπολογισμούς για να βρείτε δύο απαντήσεις στην κυβική σας εξίσωση.

• Στο παράδειγμά μας, συνδέστε τις τιμές των a, b και c (3, -2 και 14, αντίστοιχα) στην τετραγωνική εξίσωση ως εξής:

  {- b +/- √ (β ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Απάντηση 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i}/6

• Απάντηση 2:

  {2 - 12,8 i}/6

Βήμα 4. Χρησιμοποιήστε μηδενικά και την απάντησή σας στην τετραγωνική εξίσωση ως απάντηση στην κυβική σας εξίσωση

Οι τετραγωνικές εξισώσεις θα έχουν δύο απαντήσεις, ενώ οι κυβικές εξισώσεις έχουν τρεις απαντήσεις. Γνωρίζετε ήδη δύο από τις τρεις απαντήσεις. που παίρνετε από το "τετραγωνισμένο" τμήμα της εξίσωσης σε αγκύλες. Εάν η κυβική σας εξίσωση μπορεί να λυθεί με "παραγοντοποίηση" όπως αυτή, η τρίτη απάντησή σας είναι σχεδόν πάντα 0 Το Ασφαλής! Μόλις λύσατε μια κυβική εξίσωση.

Ο λόγος που κάνει αυτή τη μέθοδο να λειτουργήσει είναι το θεμελιώδες γεγονός ότι "κάθε αριθμός πολλαπλασιασμένος με μηδέν ισούται με μηδέν". Όταν μεταβάλλετε την εξίσωση σας στη μορφή x (ax ² + bx + c) = 0, βασικά το χωρίζετε σε δύο "μέρη". το ένα μέρος είναι η μεταβλητή x στην αριστερή πλευρά και το άλλο μέρος είναι η τετραγωνική εξίσωση σε αγκύλες. Εάν ένα από αυτά τα δύο μέρη είναι μηδέν, τότε ολόκληρη η εξίσωση θα είναι επίσης μηδενική. Έτσι, οι δύο απαντήσεις στην τετραγωνική εξίσωση σε παρένθεση, που θα την καθιστούσαν μηδέν, είναι οι απαντήσεις στην κυβική εξίσωση, καθώς και το ίδιο το 0 - πράγμα που θα καθιστούσε το τμήμα στην αριστερή πλευρά επίσης μηδενικό.

Μέθοδος 2 από 3: Εύρεση ακέραιων απαντήσεων χρησιμοποιώντας μια λίστα παραγόντων

Βήμα 1. Βεβαιωθείτε ότι η κυβική σας εξίσωση έχει σταθερή τιμή

Ενώ οι μέθοδοι που περιγράφονται παραπάνω είναι αρκετά εύχρηστες επειδή δεν χρειάζεται να μάθετε μια νέα τεχνική υπολογισμού για να τις χρησιμοποιήσετε, δεν θα σας βοηθήσουν πάντα να λύσετε κυβικές εξισώσεις. Εάν η κυβική σας εξίσωση είναι του άξονα μορφής ³ + bx ² + cx + d = 0, όπου η τιμή d δεν είναι ίση με το μηδέν, η παραπάνω μέθοδος "παραγοντοποίησης" δεν λειτουργεί, οπότε θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε μία από τις μεθόδους σε αυτήν την ενότητα για να το λύσετε.

Για παράδειγμα, ας πούμε ότι έχουμε την εξίσωση 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. Σε αυτή την περίπτωση, για να πάρουμε μηδέν στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, πρέπει να προσθέσουμε 6 και στις δύο πλευρές. Μετά από αυτό, θα λάβουμε μια νέα εξίσωση 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, με τιμή d = 6, οπότε δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο "παραγοντοποίησης" όπως στην προηγούμενη μέθοδο.

Βήμα 2. Βρείτε τους παράγοντες των α και δ

Για να λύσετε την κυβική σας εξίσωση, ξεκινήστε βρίσκοντας τον συντελεστή a (ο συντελεστής x) ³) και d (η σταθερή τιμή στο τέλος της εξίσωσης). Θυμηθείτε, οι παράγοντες είναι αριθμοί που μπορούν να πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους για να παράγουν έναν συγκεκριμένο αριθμό. Για παράδειγμα, αφού μπορείτε να πάρετε 6 πολλαπλασιάζοντας 6 × 1 και 2 × 3, 1, 2, 3 και 6 είναι συντελεστές 6.

• Στο παράδειγμα του προβλήματος που χρησιμοποιούμε, a = 2 και d = 6. Ο συντελεστής 2 είναι 1 και 2 Το Ενώ ο συντελεστής 6 είναι 1, 2, 3 και 6.

Βήμα 3. Διαιρέστε τον συντελεστή a με τον συντελεστή d

Στη συνέχεια, απαριθμήστε τις τιμές που λαμβάνετε διαιρώντας κάθε παράγοντα a με κάθε συντελεστή d. Αυτός ο υπολογισμός οδηγεί συνήθως σε πολλές κλασματικές τιμές και αρκετούς ακέραιους αριθμούς. Η ακέραιη τιμή για την επίλυση της κυβικής σας εξίσωσης είναι ένας από τους ακέραιους αριθμούς που προκύπτουν από τον υπολογισμό.

Στην εξίσωση μας, διαιρέστε την τιμή του συντελεστή a (1, 2) με τον συντελεστή d (1, 2, 3, 6) και λάβετε τα ακόλουθα αποτελέσματα: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 και 2/3. Στη συνέχεια, προσθέστε αρνητικές τιμές στη λίστα και λαμβάνουμε: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 και -2/3 Το Η απάντηση στην κυβική εξίσωση - που είναι ακέραιος αριθμός, βρίσκεται στη λίστα.

Βήμα 4. Χρησιμοποιήστε συνθετική διαίρεση για να ελέγξετε μη αυτόματα τις απαντήσεις σας

Μόλις έχετε μια λίστα τιμών όπως η παραπάνω, μπορείτε να αναζητήσετε τις ακέραιες τιμές που είναι οι απαντήσεις στην κυβική σας εξίσωση εισάγοντας κάθε ακέραιο με μη αυτόματο τρόπο και να βρείτε ποια τιμή επιστρέφει μηδέν. Ωστόσο, εάν δεν θέλετε να αφιερώσετε χρόνο σε αυτό, υπάρχει ένας τρόπος να το κάνετε πιο γρήγορα, δηλαδή με έναν υπολογισμό που ονομάζεται συνθετική διαίρεση. Βασικά, θα διαιρούσατε την ακέραιη τιμή σας με τους αρχικούς συντελεστές a, b, c και d στην κυβική σας εξίσωση. Εάν το υπόλοιπο είναι μηδέν, τότε αυτή η τιμή είναι μία από τις απαντήσεις στην κυβική σας εξίσωση.

• Η συνθετική διαίρεση είναι ένα πολύπλοκο θέμα - δείτε τον παρακάτω σύνδεσμο για περισσότερες πληροφορίες. Ακολουθεί ένα παράδειγμα για το πώς μπορείτε να βρείτε μία από τις απαντήσεις στην κυβική σας εξίσωση με συνθετική διαίρεση:

  -1 | 2 9 13 6

  _| -2-7-6

  _| 2 7 6 0

  Δεδομένου ότι έχουμε το τελικό αποτέλεσμα ίσο με 0, γνωρίζουμε ότι μία από τις ακέραιες απαντήσεις στην κυβική μας εξίσωση είναι - 1.

Μέθοδος 3 από 3: Χρήση της Διακριτικής Προσέγγισης

Βήμα 1. Γράψτε τις εξισώσεις a, b, c και d

Για να βρούμε την απάντηση στην κυβική εξίσωση με αυτόν τον τρόπο, θα κάνουμε πολλούς υπολογισμούς με τους συντελεστές στην εξίσωση μας. Εξαιτίας αυτού, είναι καλή ιδέα να σημειώσετε τις τιμές των a, b, c και d πριν ξεχάσετε οποιαδήποτε από τις τιμές.

Για παράδειγμα, για την εξίσωση x ³ - 3 x ² + 3 x -1, γράψτε το ως a = 1, b = -3, c = 3 και d = -1. Μην ξεχνάτε ότι όταν η μεταβλητή x δεν έχει συντελεστή, η τιμή της είναι 1.

Βήμα 2. Υπολογίστε 0 = b ² - 3 κλιματιστικά.

Η διακριτική προσέγγιση για την εύρεση απαντήσεων σε κυβικές εξισώσεις απαιτεί πολύπλοκους υπολογισμούς, αλλά αν ακολουθήσετε προσεκτικά τα βήματα, μπορεί να είναι πολύ χρήσιμη για την επίλυση κυβικών εξισώσεων που είναι δύσκολο να επιλυθούν με άλλους τρόπους. Αρχικά, βρείτε την τιμή 0, η οποία είναι η πρώτη σημαντική τιμή από τις πολλές που χρειαζόμαστε, συνδέοντας την κατάλληλη τιμή στον τύπο b ² - 3 κλιματιστικά.

• Στο παράδειγμα που χρησιμοποιούμε, θα το λύσουμε ως εξής:

  σι ² - 3 ac

  (-3)² - 3(1)(3)

  9 - 3(1)(3)

  9 - 9 = 0 = 0

Βήμα 3. Υπολογίστε 1 = 2 β ³ - 9 abc + 27 a ² δ.

Η επόμενη σημαντική τιμή που χρειαζόμαστε, 1, απαιτεί μεγαλύτερο υπολογισμό, αλλά μπορεί να βρεθεί με τον ίδιο τρόπο όπως το 0. Συνδέστε την κατάλληλη τιμή στον τύπο 2 β ³ - 9 abc + 27 a ² d για να λάβετε την τιμή 1.

• Σε αυτό το παράδειγμα, το λύνουμε ως εξής:

  2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

  2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

  -54 + 81 - 27

  81 - 81 = 0 = 1

Βήμα 4. Υπολογίστε = 1² - 4Δ0³) -27 α ².

Στη συνέχεια, υπολογίζουμε την τιμή "διάκρισης" των τιμών 0 και 1. Ο διακριτικός είναι ένας αριθμός που σας δίνει πληροφορίες σχετικά με τη ρίζα του πολυωνύμου (μπορεί να έχετε απομνημονεύσει ασυνείδητα τον τετραγωνικό διακριτικό τύπο: β ² - 4 κλιματιστικά). Στην περίπτωση μιας κυβικής εξίσωσης, εάν η τιμή του διακριτικού είναι θετική, τότε η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές αριθμητικές απαντήσεις. Εάν η διακριτική τιμή είναι ίση με μηδέν, τότε η εξίσωση έχει μία ή δύο απαντήσεις πραγματικού αριθμού και μερικές από τις απαντήσεις έχουν την ίδια τιμή. Εάν η τιμή είναι αρνητική, τότε η εξίσωση έχει μόνο μία πραγματική απάντηση αριθμού, επειδή η γραφική παράσταση της εξίσωσης θα τέμνει πάντα τον άξονα x τουλάχιστον μία φορά.)

• Σε αυτό το παράδειγμα, καθώς και το 0 και το 1 = 0, η εύρεση της τιμής είναι πολύ εύκολη. Απλώς πρέπει να το υπολογίσουμε με τον ακόλουθο τρόπο:

  1² - 4Δ0³) -27 α ²

  (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

  0 - 0 ÷ 27

  0 =, άρα η εξίσωση μας έχει 1 ή 2 απαντήσεις.

Βήμα 5. Υπολογίστε C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

Η τελευταία τιμή που είναι σημαντική για εμάς είναι η τιμή του C. Αυτή η τιμή μας επιτρέπει να πάρουμε και τις τρεις ρίζες της κυβικής μας εξίσωσης. Λύστε ως συνήθως, συνδέοντας τις τιμές 1 και 0 στον τύπο.

• Σε αυτό το παράδειγμα, θα λάβουμε την τιμή του C με:

  ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

  ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

  ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

  0 = Γ

Βήμα 6. Υπολογίστε τις τρεις ρίζες της εξίσωσης με τη μεταβλητή σας

Η ρίζα (απάντηση) της κυβικής σας εξίσωσης καθορίζεται από τον τύπο (b + u C + (Δ0/u Γ)) / 3 α, όπου u = (-1 + (-3))/2 και n είναι ίσο με 1, 2 ή 3. Συνδέστε τις τιμές σας στον τύπο για να τις λύσετε-μπορεί να χρειάζονται αρκετοί υπολογισμοί, αλλά θα πρέπει να λάβετε και τις τρεις απαντήσεις των κυβικών σας εξισώσεων!

• Σε αυτό το παράδειγμα, θα μπορούσαμε να το λύσουμε ελέγχοντας τις απαντήσεις όταν το n είναι 1, 2 και 3. Η απάντηση που παίρνουμε από αυτόν τον υπολογισμό είναι η πιθανή απάντηση στην κυβική μας εξίσωση - κάθε τιμή που συνδέουμε στην κυβική εξίσωση και δίνει με 0, είναι η σωστή απάντηση. Για παράδειγμα, αν λάβουμε μια απάντηση ίση με 1 εάν σε ένα από τα πειράματά μας υπολογισμού, συνδέουμε την τιμή 1 στην εξίσωση x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 αποδίδει το τελικό αποτέλεσμα ίσο με 0. Έτσι

  Βήμα 1. είναι μία από τις απαντήσεις στην κυβική μας εξίσωση.