Για την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων απαιτείται να βρείτε τις τιμές πολλών μεταβλητών σε διάφορες εξισώσεις. Μπορείτε να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων μέσω πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού ή αντικατάστασης. Αν θέλετε να μάθετε πώς να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων, απλώς ακολουθήστε αυτά τα βήματα.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 4: Λύση με αφαίρεση
Βήμα 1. Γράψτε τη μία εξίσωση πάνω στην άλλη
Η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων με αφαίρεση είναι ένας πολύ καλός τρόπος όταν βλέπετε ότι και οι δύο εξισώσεις έχουν μεταβλητές με τους ίδιους συντελεστές με το ίδιο πρόσημο. Για παράδειγμα, εάν και οι δύο εξισώσεις έχουν θετική μεταβλητή 2x, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αφαίρεσης για να βρείτε την τιμή και των δύο μεταβλητών.
- Γράψτε μια εξίσωση πάνω στην άλλη ευθυγραμμίζοντας τις μεταβλητές x και y και τους ακέραιους αριθμούς τους. Γράψτε το σύμβολο αφαίρεσης έξω από την ποσότητα των δύο συστημάτων εξισώσεων.
-
Παράδειγμα: Εάν οι δύο εξισώσεις σας είναι 2x + 4y = 8 και 2x + 27 = 2, τότε θα πρέπει να γράψετε την πρώτη εξίσωση πάνω από τη δεύτερη, με το σύμβολο της αφαίρεσης έξω από την ποσότητα του δεύτερου συστήματος, υποδεικνύοντας ότι θα αφαιρέσετε το καθένα μέρος της εξίσωσης.
- 2x + 4y = 8
- -(2x + 2y = 2)
Βήμα 2. Αφαιρέστε ίσα μέρη
Τώρα που έχετε ευθυγραμμίσει τις δύο εξισώσεις, το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να αφαιρέσετε τα ίσα μέρη. Μπορείτε να αφαιρέσετε τα μέρη ένα προς ένα:
- 2x - 2x = 0
- 4y - 2y = 2y
-
8 - 2 = 6
2x + 4y = 8 -(2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6
Βήμα 3. Κάντε τα υπόλοιπα
Εάν έχετε εξαλείψει μία από τις μεταβλητές παίρνοντας μια απάντηση 0 όταν αφαιρείτε μεταβλητές με τον ίδιο συντελεστή, χρειάζεται μόνο να λύσετε τις υπόλοιπες μεταβλητές λύνοντας συνηθισμένες εξισώσεις. Μπορείτε να παραλείψετε το 0 από την εξίσωση καθώς δεν θα αλλάξει την τιμή της.
- 2y = 6
- Διαιρέστε 2y και 6 με 2 για να πάρετε y = 3
Βήμα 4. Συνδέστε την τιμή που βρέθηκε σε μία από τις εξισώσεις για να βρείτε μια άλλη τιμή
Τώρα που γνωρίζετε ότι y = 3, απλά πρέπει να το συνδέσετε σε μία από τις αρχικές εξισώσεις για να βρείτε την τιμή του x. Δεν έχει σημασία ποια εξίσωση θα επιλέξετε γιατί η απάντηση θα είναι η ίδια. Εάν η μία εξίσωση φαίνεται πιο περίπλοκη από την άλλη, απλώς συνδέστε την στην πιο απλή εξίσωση.
- Συνδέστε το y = 3 στην εξίσωση 2x + 2y = 2 και βρείτε την τιμή του x.
- 2x + 2 (3) = 2
- 2x + 6 = 2
- 2x = -4
-
x = - 2
Έχετε λύσει το σύστημα των εξισώσεων χρησιμοποιώντας αφαίρεση. (x, y) = (-2, 3)
Βήμα 5. Ελέγξτε τις απαντήσεις σας
Για να βεβαιωθείτε ότι έχετε λύσει σωστά το σύστημα των εξισώσεων, μπορείτε να συνδέσετε και τις δύο απαντήσεις σας και στις δύο εξισώσεις για να βεβαιωθείτε ότι η απάντηση είναι σωστή και για τις δύο εξισώσεις. Δείτε πώς να το κάνετε:
-
Συνδέστε (-2, 3) για την τιμή (x, y) στην εξίσωση 2x + 4y = 8.
- 2(-2) + 4(3) = 8
- -4 + 12 = 8
- 8 = 8
-
Συνδέστε (-2, 3) για την τιμή (x, y) στην εξίσωση 2x + 2y = 2.
- 2(-2) + 2(3) = 2
- -4 + 6 = 2
- 2 = 2
Μέθοδος 2 από 4: Επίλυση με προσθήκη
Βήμα 1. Γράψτε τη μία εξίσωση πάνω στην άλλη
Η λύση ενός συστήματος εξισώσεων με πρόσθεση είναι ο τρόπος που πρέπει να ακολουθήσετε εάν δείτε ότι και οι δύο εξισώσεις έχουν μεταβλητές με τους ίδιους συντελεστές που έχουν αντίθετα πρόσημα. Για παράδειγμα, εάν μία από τις εξισώσεις έχει μεταβλητή 3x και η άλλη εξίσωση έχει μεταβλητή -3x, τότε η μέθοδος προσθήκης είναι ο σωστός τρόπος.
- Γράψτε μια εξίσωση πάνω στην άλλη ευθυγραμμίζοντας τις μεταβλητές x και y και τους ακέραιους αριθμούς τους. Γράψτε το πρόσημο προσθήκης εκτός της ποσότητας του δεύτερου συστήματος εξισώσεων.
-
Παράδειγμα: Εάν οι δύο εξισώσεις σας είναι 3x + 6y = 8 και x - 6y = 4, τότε θα πρέπει να γράψετε την πρώτη εξίσωση πάνω από τη δεύτερη, με το σύμβολο προσθήκης εκτός της ποσότητας του δεύτερου συστήματος, υποδεικνύοντας ότι θα προσθέσετε κάθε μέρος της εξίσωσης.
- 3x + 6y = 8
- +(x - 6y = 4)
Βήμα 2. Προσθέστε τα ίσα μέρη
Τώρα που έχετε ευθυγραμμίσει τις δύο εξισώσεις, το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να προσθέσετε τα ίσα μέρη. Μπορείτε να τα προσθέσετε ένα προς ένα:
- 3x + x = 4x
- 6y + -6y = 0
- 8 + 4 = 12
-
Όταν τα συνδυάσετε, θα έχετε το νέο σας αποτέλεσμα:
- 3x + 6y = 8
- +(x - 6y = 4)
- = 4x+ 0 = 12
Βήμα 3. Κάντε τα υπόλοιπα
Εάν έχετε εξαλείψει μία από τις μεταβλητές με το 0 όταν αθροίζετε τις μεταβλητές με τον ίδιο συντελεστή, χρειάζεται μόνο να λύσετε τις υπόλοιπες μεταβλητές λύνοντας τη συνήθη εξίσωση. Μπορείτε να παραλείψετε το 0 από την εξίσωση καθώς δεν θα αλλάξει την τιμή της.
- 4x + 0 = 12
- 4x = 12
- Διαιρέστε το 4x και το 12 με το 3 για να πάρετε x = 3
Βήμα 4. Συνδέστε ξανά το αποτέλεσμα στην εξίσωση για να βρείτε άλλη τιμή
Τώρα που γνωρίζετε ότι x = 3, απλά πρέπει να το συνδέσετε σε μία από τις αρχικές εξισώσεις για να βρείτε την τιμή του y. Δεν έχει σημασία ποια εξίσωση θα επιλέξετε γιατί το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο. Εάν η μία εξίσωση φαίνεται πιο περίπλοκη από την άλλη, απλώς συνδέστε την στην πιο απλή.
- Συνδέστε το x = 3 στην εξίσωση x - 6y = 4 για να βρείτε την τιμή του y.
- 3 - 6y = 4
- -6y = 1
-
Διαιρέστε το -6y και το 1 με -6 για να πάρετε y = -1/6
Έχετε λύσει το σύστημα των εξισώσεων χρησιμοποιώντας την πρόσθεση. (x, y) = (3, -1/6)
Βήμα 5. Ελέγξτε τις απαντήσεις σας
Για να βεβαιωθείτε ότι έχετε λύσει σωστά το σύστημα των εξισώσεων, πρέπει απλώς να συνδέσετε τις τιμές και στις δύο εξισώσεις για να βεβαιωθείτε ότι οι απαντήσεις και στις δύο εξισώσεις είναι σωστές. Δείτε πώς να το κάνετε:
-
Συνδέστε (3, -1/6) για την τιμή (x, y) στην εξίσωση 3x + 6y = 8.
- 3(3) + 6(-1/6) = 8
- 9 - 1 = 8
- 8 = 8
-
Συνδέστε (3, -1/6) για την τιμή (x, y) στην εξίσωση x - 6y = 4.
- 3 - (6 * -1/6) =4
- 3 - - 1 = 4
- 3 + 1 = 4
- 4 = 4
Μέθοδος 3 από 4: Λύση με πολλαπλασιασμό
Βήμα 1. Γράψτε τη μία εξίσωση πάνω στην άλλη
Γράψτε μια εξίσωση πάνω στην άλλη ευθυγραμμίζοντας τις μεταβλητές x και y και ακέραιους αριθμούς. Εάν χρησιμοποιείτε τη μέθοδο πολλαπλασιασμού, καμία από τις μεταβλητές δεν έχει τον ίδιο συντελεστή - όχι ακόμα.
- 3x + 2y = 10
- 2x - y = 2
Βήμα 2. Πολλαπλασιάστε μία ή και τις δύο εξισώσεις έως ότου μία από τις μεταβλητές και από τα δύο μέρη έχει τον ίδιο συντελεστή
Τώρα, πολλαπλασιάστε μία ή και τις δύο εξισώσεις με τον ίδιο αριθμό που θα κάνει μία από τις μεταβλητές να έχει τον ίδιο συντελεστή. Σε αυτό το πρόβλημα, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε ολόκληρη τη δεύτερη εξίσωση με 2, έτσι ώστε η μεταβλητή –y να γίνει -2y και να ισούται με το συντελεστή y της πρώτης εξίσωσης. Δείτε πώς να το κάνετε:
- 2 (2x - y = 2)
- 4x - 2y = 4
Βήμα 3. Προσθέστε ή αφαιρέστε τις εξισώσεις
Τώρα, εφαρμόστε πρόσθεση ή αφαίρεση και στις δύο εξισώσεις χρησιμοποιώντας μια μέθοδο που θα εξαλείψει μεταβλητές με τους ίδιους συντελεστές. Δεδομένου ότι θέλετε να λύσετε 2y και -2y, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο προσθήκης επειδή 2y + -2y ισούται με 0. Εάν το πρόβλημά σας είναι 2y και θετικό 2y, τότε θα χρησιμοποιήσετε αφαίρεση. Δείτε πώς μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο προσθήκης για να εξαλείψετε μία από τις μεταβλητές:
- 3x + 2y = 10
- + 4x - 2y = 4
- 7x + 0 = 14
- 7x = 14
Βήμα 4. Κάντε τα υπόλοιπα
Απλώς λύστε το για να βρείτε την τιμή της μεταβλητής που δεν παραλείψατε. Αν 7x = 14, τότε x = 2.
Βήμα 5. Συνδέστε την τιμή στην εξίσωση για να βρείτε άλλη τιμή
Συνδέστε την τιμή σε μία από τις αρχικές εξισώσεις για να βρείτε την άλλη. Επιλέξτε μια απλούστερη εξίσωση για να το κάνετε πιο εύκολο.
- x = 2 - 2x - y = 2
- 4 - y = 2
- -y = -2
- y = 2
- Έχετε λύσει το σύστημα των εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιασμό. (x, y) = (2, 2)
Βήμα 6. Ελέγξτε τις απαντήσεις σας
Για να ελέγξετε την απάντησή σας, απλώς συνδέστε τις δύο τιμές που βρήκατε στην αρχική εξίσωση για να βεβαιωθείτε ότι βρήκατε τις σωστές τιμές.
- Συνδέστε (2, 2) για την τιμή (x, y) στην εξίσωση 3x + 2y = 10.
- 3(2) + 2(2) = 10
- 6 + 4 = 10
- 10 = 10
- Συνδέστε (2, 2) για την τιμή (x, y) στην εξίσωση 2x - y = 2.
- 2(2) - 2 = 2
- 4 - 2 = 2
- 2 = 2
Μέθοδος 4 από 4: Επίλυση με αντικατάσταση
Βήμα 1. Ευθυγραμμίστε μία από τις μεταβλητές
Η μέθοδος υποκατάστασης είναι η σωστή μέθοδος εάν ένας από τους συντελεστές μιας εξίσωσης είναι ίσος με έναν. Στη συνέχεια, το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να απομονώσετε τον συντελεστή αυτής της μιας μεταβλητής σε μία από τις εξισώσεις για να βρείτε την τιμή της.
- Εάν εργάζεστε στην εξίσωση 2x + 3y = 9 και x + 4y = 2, θα θέλετε να απομονώσετε το x στη δεύτερη εξίσωση.
- x + 4y = 2
- x = 2 - 4y
Βήμα 2. Συνδέστε την τιμή της μεταβλητής που έχετε μόνο σε μια άλλη εξίσωση
Πάρτε την τιμή που βρήκατε όταν απομονώσατε τη μεταβλητή και αντικαταστήστε τη μεταβλητή στην εξίσωση που δεν αλλάξατε με αυτήν την τιμή. Δεν θα μπορείτε να λύσετε τίποτα αν το συνδέσετε ξανά στην εξίσωση που έχετε αλλάξει. Δείτε τι πρέπει να κάνετε:
- x = 2 - 4y 2x + 3y = 9
- 2 (2 - 4y) + 3y = 9
- 4 - 8y + 3y = 9
- 4 - 5y = 9
- -5y = 9 - 4
- -5y = 5
- -y = 1
- y = - 1
Βήμα 3. Λύστε τις υπόλοιπες μεταβλητές
Τώρα που γνωρίζετε ότι y = -1, απλώς συνδέστε αυτήν την τιμή σε μια απλούστερη εξίσωση για να βρείτε την τιμή του x. Δείτε πώς το κάνετε:
- y = -1 x = 2 - 4y
- x = 2 - 4 (-1)
- x = 2 - -4
- x = 2 + 4
- x = 6
- Έχετε λύσει το σύστημα των εξισώσεων με αντικατάσταση. (x, y) = (6, -1)
Βήμα 4. Ελέγξτε την εργασία σας
Για να βεβαιωθείτε ότι έχετε λύσει σωστά το σύστημα των εξισώσεων, πρέπει απλώς να συνδέσετε τις δύο απαντήσεις σας και στις δύο εξισώσεις για να βεβαιωθείτε ότι και οι δύο είναι σωστές. Δείτε πώς να το κάνετε:
-
Συνδέστε (6, -1) για την τιμή (x, y) στην εξίσωση 2x + 3y = 9.
- 2(6) + 3(-1) = 9
- 12 - 3 = 9
- 9 = 9
- Συνδέστε (6, -1) για την τιμή (x, y) στην εξίσωση x + 4y = 2.
- 6 + 4(-1) = 2
- 6 - 4 = 2
- 2 = 2
