Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της οποίας ο υψηλότερος βαθμός είναι 2 (σε τετράγωνο). Υπάρχουν τρεις κύριοι τρόποι επίλυσης μιας τετραγωνικής εξίσωσης: αν λάβετε υπόψη την τετραγωνική εξίσωση, χρησιμοποιώντας έναν τετραγωνικό τύπο ή ολοκληρώστε το τετράγωνο. Εάν θέλετε να κατακτήσετε αυτές τις τρεις μεθόδους, ακολουθήστε αυτά τα βήματα.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 3: Παράγοντες εξισώσεις
Βήμα 1. Συνδυάστε όλες τις ίσες μεταβλητές και μετακινήστε τις στη μία πλευρά της εξίσωσης
Το πρώτο βήμα για τον υπολογισμό μιας εξίσωσης είναι να μετακινήσετε όλες τις ίσες μεταβλητές στη μία πλευρά της εξίσωσης, με x2είναι θετικό. Για να συνδυάσετε μεταβλητές, προσθέστε ή αφαιρέστε όλες τις μεταβλητές x2, x, και σταθερές (ακέραιοι), μετακινήστε τα στην άλλη πλευρά της εξίσωσης, ώστε να μην μείνει τίποτα στην άλλη πλευρά. Όταν η άλλη πλευρά δεν έχει άλλες μεταβλητές, γράψτε ένα 0 δίπλα στο πρόσημο ίσων. Δείτε πώς να το κάνετε:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Βήμα 2. Προσδιορίστε αυτήν την εξίσωση
Για να συντελεστεί αυτή η εξίσωση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον συντελεστή x2 (3) και ο σταθερός συντελεστής (-4), πολλαπλασιάζοντάς τα και προσθέτοντάς τα για να χωρέσουν τη μεταβλητή στη μέση, (-11). Δείτε πώς να το κάνετε:
- 3x2 έχει μόνο έναν πιθανό παράγοντα που είναι, 3x και x, μπορείτε να τους γράψετε σε παρένθεση: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε τη διαδικασία εξάλειψης για να συντελέσετε το 4 για να βρείτε το προϊόν που αποδίδει -11x. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το γινόμενο των 4 και 1, ή 2 και 2, γιατί όταν πολλαπλασιάσετε και τα δύο παίρνετε 4. Αλλά θυμηθείτε ότι ένας από τους αριθμούς πρέπει να είναι αρνητικός γιατί το αποτέλεσμα είναι -4.
- Δοκιμάστε (3x + 1) (x - 4). Όταν το πολλαπλασιάσετε, το αποτέλεσμα είναι - 3x2 -12x +x -4. Εάν συνδυάσετε τις μεταβλητές -12 x και x, το αποτέλεσμα είναι -11x, που είναι η μέση τιμή σας. Απλώς έχετε υπολογίσει μια τετραγωνική εξίσωση.
- Για παράδειγμα, ας δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε το άλλο προϊόν: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Αν συνδυάσετε τις μεταβλητές, το αποτέλεσμα είναι 3x2 -4x -4. Παρόλο που οι συντελεστές -2 και 2 όταν πολλαπλασιάζονται παράγουν -4, ο μέσος όρος δεν είναι ο ίδιος επειδή θέλετε να λάβετε μια τιμή -11x αντί -4x.
Βήμα 3. Ας υποθέσουμε ότι κάθε παρένθεση είναι μηδέν σε διαφορετική εξίσωση
Αυτό θα σας επιτρέψει να βρείτε 2 x τιμές που θα κάνουν την εξίσωση σας μηδενική. Έχετε λάβει υπόψη την εξίσωση σας, οπότε το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να υποθέσετε ότι ο υπολογισμός σε κάθε παρένθεση ισούται με μηδέν. Έτσι, μπορείτε να γράψετε 3x + 1 = 0 και x - 4 = 0.
Βήμα 4. Λύστε κάθε εξίσωση ξεχωριστά
Σε μια τετραγωνική εξίσωση, υπάρχουν 2 τιμές για το x. Λύστε κάθε εξίσωση χωριστά μετακινώντας τις μεταβλητές και σημειώνοντας 2 απαντήσεις για το x, όπως αυτό:
-
Λύστε 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. αφαιρώντας
- 3x/3 = -1/3….. διαιρώντας
- x = -1/3….. με απλοποίηση
-
Λύστε x - 4 = 0
x = 4….. αφαιρώντας
- x = (-1/3, 4)….. κάνοντας διάφορες πιθανές απαντήσεις ξεχωριστές, δηλαδή x = -1/3 ή x = 4 και οι δύο μπορεί να είναι σωστές.
Βήμα 5. Ελέγξτε x = -1/3 in (3x + 1) (x -4) = 0:
Έτσι παίρνουμε (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. αντικαθιστώντας (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. απλοποιώντας (0) (-4 1/3) = 0….. πολλαπλασιάζοντας Έτσι, 0 = 0….. Ναι, x = -1/3 είναι αλήθεια.
Βήμα 6. Ελέγξτε x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Έτσι παίρνουμε (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =; 0….. αντικαθιστώντας (13) (4 - 4)? =; 0….. απλοποιώντας (13) (0) = 0….. πολλαπλασιάζοντας Έτσι, 0 = 0….. Ναι, το x = 4 είναι επίσης αλήθεια.
Έτσι, μετά τον ξεχωριστό έλεγχο, και οι δύο απαντήσεις είναι σωστές και μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε εξισώσεις
Μέθοδος 2 από 3: Χρήση του Τετραγωνικού Τύπου
Βήμα 1. Συνδυάστε όλες τις ίσες μεταβλητές και μετακινήστε τις στη μία πλευρά της εξίσωσης
Μετακινήστε όλες τις μεταβλητές στη μία πλευρά της εξίσωσης, με την τιμή της μεταβλητής x2 θετικός. Γράψτε τις μεταβλητές με διαδοχικούς εκθέτες, έτσι ώστε x2 γράφεται πρώτα, ακολουθούμενο από μεταβλητές και σταθερές. Δείτε πώς να το κάνετε:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - Χ2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Βήμα 2. Γράψτε τον τετραγωνικό τύπο
Ο τετραγωνικός τύπος είναι: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
Βήμα 3. Προσδιορίστε τις τιμές των a, b και c από την τετραγωνική εξίσωση
Μεταβλητή α είναι ο συντελεστής x2, b είναι ο συντελεστής της μεταβλητής x, και c είναι μια σταθερά. Για την εξίσωση 3x2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 και c = -8. Γράψτε και τα τρία.
Βήμα 4. Αντικαταστήστε τις τιμές των a, b και c στην εξίσωση
Μόλις γνωρίζετε τις τρεις μεταβλητές τιμές, συνδέστε τις σε μια εξίσωση όπως αυτή:
- {-b +/- √ (πρ2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Βήμα 5. Εκτελέστε υπολογισμούς
Μόλις εισαγάγετε τους αριθμούς, κάντε μερικά μαθηματικά για να απλοποιήσετε το θετικό ή αρνητικό πρόσημο, να πολλαπλασιάσετε ή να τετραγωνίσετε τις υπόλοιπες μεταβλητές. Δείτε πώς να το κάνετε:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Βήμα 6. Απλοποιήστε την τετραγωνική ρίζα
Εάν ο αριθμός κάτω από την τετραγωνική ρίζα είναι ένα τέλειο τετράγωνο, παίρνετε έναν ακέραιο αριθμό. Εάν ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο, απλοποιήστε στην απλούστερη ριζική του μορφή. Εάν ο αριθμός είναι αρνητικός και πιστεύετε ότι πρέπει να είναι αρνητικός, η τιμή της ρίζας θα είναι περίπλοκη. Σε αυτό το παράδειγμα, (121) = 11. Μπορείτε να γράψετε x = (5 +/- 11)/6.
Βήμα 7. Αναζητήστε τις θετικές και αρνητικές απαντήσεις
Αφού αφαιρέσετε το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας, μπορείτε να προχωρήσετε μέχρι να βρείτε ένα θετικό και αρνητικό αποτέλεσμα για το x. Τώρα που έχετε (5 +/- 11)/6, μπορείτε να γράψετε 2 απαντήσεις:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Βήμα 8. Συμπληρώστε τις θετικές και αρνητικές απαντήσεις
Εκτελέστε μαθηματικούς υπολογισμούς:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Βήμα 9. Απλοποιήστε
Για να απλοποιήσετε κάθε απάντηση, διαιρέστε με τον μεγαλύτερο αριθμό που μπορεί να διαιρέσει και τους δύο αριθμούς. Διαιρέστε το πρώτο κλάσμα με 2 και διαιρέστε το δεύτερο με 6 και θα βρείτε την τιμή του x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Μέθοδος 3 από 3: Συμπληρώστε το τετράγωνο
Βήμα 1. Μετακινήστε όλες τις μεταβλητές στη μία πλευρά της εξίσωσης
Βεβαιωθείτε ότι ένα ή μεταβλητό x2 θετικός. Δείτε πώς να το κάνετε:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
Σε αυτήν την εξίσωση, η μεταβλητή a είναι 2, η μεταβλητή b είναι -12 και η μεταβλητή c είναι -9
Βήμα 2. Μετακινήστε τη μεταβλητή ή τη σταθερά c στην άλλη πλευρά
Οι σταθερές είναι αριθμητικοί όροι χωρίς μεταβλητές. Μετακινηθείτε στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Βήμα 3. Χωρίστε και τις δύο πλευρές με το συντελεστή a ή τη μεταβλητή x2.
Αν x2 δεν έχει μεταβλητή και ο συντελεστής είναι 1, μπορείτε να παραλείψετε αυτό το βήμα. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να διαιρέσετε όλες τις μεταβλητές με 2, όπως αυτό:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- Χ2 - 6x = 9/2
Βήμα 4. Διαιρέστε το b με 2, τετραγωνίστε το και προσθέστε το αποτέλεσμα και στις δύο πλευρές
Η τιμή του b σε αυτό το παράδειγμα είναι -6. Δείτε πώς να το κάνετε:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- Χ2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Βήμα 5. Απλοποιήστε και τις δύο πλευρές
Παράγοντας τη μεταβλητή στην αριστερή πλευρά για να λάβετε (x-3) (x-3) ή (x-3)2Το Προσθέστε τις τιμές στα δεξιά για να λάβετε 9/2 + 9 ή 9/2 + 18/2, που είναι 27/2.
Βήμα 6. Βρείτε την τετραγωνική ρίζα και για τις δύο πλευρές
Τετραγωνική ρίζα (x-3)2 είναι (x-3). Μπορείτε να γράψετε την τετραγωνική ρίζα του 27/2 ως √ (27/2). Έτσι, x - 3 = √ (27/2).
Βήμα 7. Απλοποιήστε τις ρίζες και βρείτε την τιμή του x
Για να απλοποιήσετε το ± √ (27/2), βρείτε το τέλειο τετράγωνο μεταξύ των αριθμών 27 και 2 ή πληκτρολογήστε αυτόν τον αριθμό. Το τέλειο τετράγωνο του 9 μπορεί να βρεθεί στο 27 γιατί 9 x 3 = 27. Για να βγάλουμε 9 από την τετραγωνική ρίζα, πάρτε το 9 από τη ρίζα και γράψτε 3, την τετραγωνική ρίζα, έξω από την τετραγωνική ρίζα. Αφήστε το υπόλοιπο 3 στον αριθμητή του κλάσματος κάτω από την τετραγωνική ρίζα, αφού το 27 δεν λειτουργεί όλους τους παράγοντες και γράψτε 2 παρακάτω. Στη συνέχεια, μετακινήστε τη σταθερά 3 στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης προς τα δεξιά και γράψτε τις δύο λύσεις σας για x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Συμβουλές
- Όπως μπορείτε να δείτε, τα σημάδια ρίζας δεν θα εξαφανιστούν εντελώς. Έτσι, οι μεταβλητές αριθμητή δεν μπορούν να συνδυαστούν (επειδή δεν είναι ίσες). Δεν έχει νόημα να το διαχωρίσουμε σε θετικό ή αρνητικό. Ωστόσο, μπορούμε να το διαιρέσουμε με τον ίδιο παράγοντα, αλλά ΜΟΝΟ αν οι παράγοντες είναι οι ίδιοι και για τις δύο σταθερές ΚΑΙ συντελεστή ρίζας.
- Εάν ο αριθμός κάτω από την τετραγωνική ρίζα δεν είναι ένα τέλειο τετράγωνο, τότε τα τελευταία βήματα είναι λίγο διαφορετικά. Εδώ είναι ένα παράδειγμα:
- Εάν το b είναι ζυγός αριθμός, ο τύπος γίνεται: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
