Στον υπολογισμό παραγώγων, σημείο καμπής είναι το σημείο σε μια καμπύλη στο οποίο η καμπύλη αλλάζει πρόσημο (από θετικό σε αρνητικό ή από αρνητικό σε θετικό). Χρησιμοποιείται σε διάφορα θέματα, συμπεριλαμβανομένης της μηχανικής, των οικονομικών και των στατιστικών, για τον καθορισμό θεμελιωδών αλλαγών στα δεδομένα. Εάν πρέπει να βρείτε το σημείο καμπής μιας καμπύλης, μεταβείτε στο βήμα 1.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 3: Κατανόηση των σημείων καμπής
Βήμα 1. Κατανοήστε την κοίλη συνάρτηση
Για να κατανοήσετε το σημείο κλίσης, πρέπει να κάνετε διάκριση μεταξύ κοίλων και κυρτών συναρτήσεων. Μια κοίλη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση στην οποία η γραμμή που συνδέει δύο σημεία στο γράφημα δεν βρίσκεται ποτέ πάνω από το γράφημα.
Βήμα 2. Κατανοήστε την κυρτή συνάρτηση
Μια κυρτή συνάρτηση είναι βασικά το αντίθετο μιας κυρτής συνάρτησης: δηλαδή μια συνάρτηση στην οποία η γραμμή που συνδέει δύο σημεία στο γράφημα δεν είναι ποτέ κάτω από το γράφημα.
Βήμα 3. Κατανοήστε τα βασικά μιας συνάρτησης
Η βάση μιας συνάρτησης είναι το σημείο όπου η συνάρτηση είναι ίση με μηδέν.
Εάν πρόκειται να γράψετε μια συνάρτηση, οι βάσεις είναι τα σημεία στα οποία η συνάρτηση τέμνει τον άξονα x
Μέθοδος 2 από 3: Εύρεση του παραγώγου μιας συνάρτησης
Βήμα 1. Βρείτε το πρώτο παράγωγο της συνάρτησης σας
Προτού μπορέσετε να βρείτε το σημείο κλίσης, πρέπει να βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης σας. Το παράγωγο της βασικής συνάρτησης μπορεί να βρεθεί σε οποιοδήποτε βιβλίο λογισμού. Πρέπει να τα μάθετε πριν προχωρήσετε σε πιο περίπλοκες δουλειές. Η πρώτη παράγωγος γράφεται ως f '(x). Για μια πολυώνυμη έκφραση της μορφής axp + bx (p − 1) + cx + d, η πρώτη παράγωγος είναι apx (p − 1) + b (p 1) x (p − 2) + c.
-
Για να το δείξουμε, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε το σημείο κλίσης της συνάρτησης f (x) = x3 +2x 1. Υπολογίστε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης ως εξής:
f (x) = (x3 + 2x 1) ′ = (x3) ′ + (2x) (1) ′ = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
Βήμα 2. Βρείτε το δεύτερο παράγωγο της συνάρτησης σας
Η δεύτερη παράγωγος είναι η πρώτη παράγωγος της πρώτης παραγώγου της συνάρτησης, γραμμένη ως f (x).
-
Στο παραπάνω παράδειγμα, ο υπολογισμός της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης θα έχει ως εξής:
f (x) = (3x2 + 2) ′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
Βήμα 3. Κάντε το δεύτερο παράγωγο ίσο με το μηδέν
Ορίστε το δεύτερο παράγωγό σας στο μηδέν και λύστε την εξίσωση. Η απάντησή σας είναι ένα πιθανό σημείο καμπής.
-
Στο παραπάνω παράδειγμα, ο υπολογισμός σας θα μοιάζει με αυτόν:
f (x) = 0
6x = 0
x = 0
Βήμα 4. Βρείτε το τρίτο παράγωγο της συνάρτησης σας
Για να δείτε αν η απάντησή σας είναι όντως σημείο καμπής, βρείτε την τρίτη παράγωγο, η οποία είναι η πρώτη παράγωγος της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης, γραμμένη ως f (x).
-
Στο παραπάνω παράδειγμα, ο υπολογισμός σας θα μοιάζει με αυτόν:
f (x) = (6x) ′ = 6
Μέθοδος 3 από 3: Εύρεση σημείων καμπής
Βήμα 1. Ελέγξτε το τρίτο παράγωγό σας
Ο τυπικός κανόνας για τον έλεγχο πιθανών σημείων καμπής είναι ο εξής: "Εάν η τρίτη παράγωγος δεν είναι μηδέν, f (x) =/ 0, το πιθανό σημείο καμπής είναι στην πραγματικότητα το σημείο καμπής." Ελέγξτε την τρίτη παράγωγό σας. Εάν δεν είναι ίση με μηδέν, τότε αυτή η τιμή είναι το πραγματικό σημείο καμπής.
Στο παραπάνω παράδειγμα, η τρίτη παράγωγός σας είναι 6 και όχι 0. Έτσι, το 6 είναι το πραγματικό σημείο καμπής
Βήμα 2. Βρείτε το σημείο κλίσης
Οι συντεταγμένες του σημείου καμπής γράφονται ως (x, f (x)), όπου x είναι η τιμή του μεταβλητού σημείου στο σημείο καμπής και f (x) είναι η τιμή της συνάρτησης στο σημείο καμπής.
-
Στο παραπάνω παράδειγμα, θυμηθείτε ότι όταν υπολογίζετε τη δεύτερη παράγωγο, διαπιστώνετε ότι x = 0. Έτσι, πρέπει να βρείτε f (0) για να καθορίσετε τις συντεταγμένες σας. Ο υπολογισμός σας θα μοιάζει με αυτόν:
f (0) = 03 +2 × 0−1 = 1.
Βήμα 3. Καταγράψτε τις συντεταγμένες σας
Οι συντεταγμένες του σημείου καμπής είναι η τιμή x και η τιμή που υπολογίσατε παραπάνω.
