Η μορφή ρίζας είναι μια αλγεβρική δήλωση που έχει το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας (ή ρίζα κύβου ή υψηλότερη). Αυτή η φόρμα μπορεί συχνά να αντιπροσωπεύει δύο αριθμούς που έχουν την ίδια τιμή, παρόλο που μπορεί να φαίνονται διαφορετικοί με την πρώτη ματιά (για παράδειγμα, 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Επομένως, χρειαζόμαστε μια "τυπική φόρμουλα" για αυτό το είδος φόρμας. Εάν υπάρχουν δύο προτάσεις, και οι δύο στον τυπικό τύπο, που εμφανίζονται διαφορετικές, δεν είναι οι ίδιες. Οι μαθηματικοί συμφωνούν ότι η τυπική διατύπωση της τετραγωνικής μορφής πληροί τις ακόλουθες απαιτήσεις:
- Αποφύγετε τη χρήση κλασμάτων
- Μην χρησιμοποιείτε κλασματικές δυνάμεις
- Αποφύγετε τη χρήση της μορφής ρίζας στον παρονομαστή
- Δεν περιέχει τον πολλαπλασιασμό δύο μορφών ρίζας
- Οι αριθμοί κάτω από τη ρίζα δεν μπορούν πλέον να έχουν ρίζα
Μια πρακτική χρήση αυτού είναι στις εξετάσεις πολλαπλής επιλογής. Όταν βρείτε μια απάντηση, αλλά η απάντησή σας δεν είναι η ίδια με τις διαθέσιμες επιλογές, προσπαθήστε να την απλοποιήσετε σε έναν τυπικό τύπο. Δεδομένου ότι οι δημιουργοί ερωτήσεων συνήθως γράφουν απαντήσεις σε τυπικούς τύπους, κάντε το ίδιο με τις απαντήσεις σας για να ταιριάζουν με τις δικές τους. Σε ερωτήσεις για δοκίμια, οι εντολές όπως "απλοποιήστε την απάντησή σας" ή "απλοποιήστε όλες τις ρίζες" σημαίνουν ότι οι μαθητές πρέπει να εκτελέσουν τα ακόλουθα βήματα μέχρι να πληρούν τον τυπικό τύπο όπως παραπάνω. Αυτό το βήμα μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση εξισώσεων, αν και ορισμένοι τύποι εξισώσεων είναι ευκολότερο να επιλυθούν σε μη τυποποιημένους τύπους.
Βήμα
Βήμα 1. Εάν είναι απαραίτητο, αναθεωρήστε τους κανόνες για τις ρίζες και τους εκθέτες λειτουργίας (και οι δύο είναι ίσοι - οι ρίζες είναι δυνάμεις των κλασμάτων) όπως τους χρειαζόμαστε σε αυτή τη διαδικασία
Επίσης, αναθεωρήστε τους κανόνες για την απλούστευση πολυωνύμων και ορθολογικών μορφών, καθώς θα χρειαστεί να τους απλοποιήσουμε.
Μέθοδος 1 από 6: Τέλεια τετράγωνα
Βήμα 1. Απλοποιήστε όλες τις ρίζες που περιέχουν τέλεια τετράγωνα
Ένα τέλειο τετράγωνο είναι το γινόμενο ενός αριθμού από μόνο του, για παράδειγμα 81, το οποίο είναι γινόμενο 9 x 9. Για να απλοποιήσετε ένα τέλειο τετράγωνο, απλώς αφαιρέστε την τετραγωνική ρίζα και γράψτε την τετραγωνική ρίζα του αριθμού.
- Για παράδειγμα, το 121 είναι ένα τέλειο τετράγωνο επειδή 11 x 11 ισούται με 121. Έτσι, μπορείτε να απλοποιήσετε τη ρίζα (121) σε 11, αφαιρώντας το πρόσημο ρίζας.
- Για να κάνετε αυτό το βήμα πιο εύκολο, θα πρέπει να θυμηθείτε τα πρώτα δώδεκα τέλεια τετράγωνα: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Βήμα 2. Απλοποιήστε όλες τις ρίζες που περιέχουν τέλειους κύβους
Ένας τέλειος κύβος είναι το προϊόν του πολλαπλασιασμού ενός αριθμού με τον εαυτό του δύο φορές, για παράδειγμα 27, το οποίο είναι το γινόμενο του 3 x 3 x 3. Για να απλοποιήσετε τη ριζική μορφή ενός τέλειου κύβου, απλώς αφαιρέστε την τετραγωνική ρίζα και γράψτε την τετραγωνική ρίζα του αριθμού.
Για παράδειγμα, το 343 είναι ένας τέλειος κύβος επειδή είναι το προϊόν 7 x 7 x 7. Άρα η ρίζα κύβου του 343 είναι 7
Μέθοδος 2 από 6: Μετατροπή κλασμάτων σε ρίζες
Or να αλλάξετε το αντίστροφο (βοηθά μερικές φορές), αλλά μην τα ανακατεύετε στην ίδια δήλωση με τη ρίζα (5) + 5^(3/2). Θα υποθέσουμε ότι θέλετε να χρησιμοποιήσετε τη μορφή ρίζας και θα χρησιμοποιήσουμε τα σύμβολα root (n) για την τετραγωνική ρίζα και sqrt^3 (n) για τη ρίζα κύβου.
Βήμα 1. Πάρτε ένα στη δύναμη του κλάσματος και μετατρέψτε το στη μορφή ρίζας, για παράδειγμα x^(a/b) = root στη δύναμη b του x^a
Εάν η τετραγωνική ρίζα είναι σε μορφή κλάσματος, μετατρέψτε την σε κανονική μορφή. Για παράδειγμα, τετραγωνική ρίζα (2/3) των 4 = ρίζα (4)^3 = 2^3 = 8
Βήμα 2. Μετατρέψτε αρνητικούς εκθέτες σε κλάσματα, για παράδειγμα x^-y = 1/x^y
Αυτός ο τύπος ισχύει μόνο για σταθερούς και λογικούς εκθέτες. Εάν αντιμετωπίζετε μια μορφή όπως 2^x, μην την αλλάξετε, ακόμα κι αν το πρόβλημα υποδεικνύει ότι το x μπορεί να είναι κλάσμα ή αρνητικός αριθμός
Βήμα 3. Συγχώνευση της ίδιας φυλής και απλοποιήστε την ορθολογική μορφή που προκύπτει.
Μέθοδος 3 από 6: Εξάλειψη των κλασμάτων στις ρίζες
Ο τυπικός τύπος απαιτεί η ρίζα να είναι ακέραιος.
Βήμα 1. Κοιτάξτε τον αριθμό κάτω από την τετραγωνική ρίζα εάν εξακολουθεί να περιέχει κλάσμα
Αν ακόμα,…
Βήμα 2. Αλλαγή σε κλάσμα που αποτελείται από δύο ρίζες χρησιμοποιώντας τη ρίζα ταυτότητας (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
Μην χρησιμοποιείτε αυτήν την ταυτότητα εάν ο παρονομαστής είναι αρνητικός ή εάν είναι μια μεταβλητή που μπορεί να είναι αρνητική. Σε αυτήν την περίπτωση, απλοποιήστε πρώτα το κλάσμα
Βήμα 3. Απλοποιήστε κάθε τέλειο τετράγωνο του αποτελέσματος
Δηλαδή, μετατρέψτε το sqrt (5/4) σε sqrt (5)/sqrt (4) και, στη συνέχεια, απλοποιήστε το σε sqrt (5)/2.
Βήμα 4. Χρησιμοποιήστε άλλες μεθόδους απλοποίησης όπως απλοποίηση σύνθετων κλασμάτων, συνδυασμό ίσων όρων κ.λπ
Μέθοδος 4 από 6: Συνδυασμός ριζών πολλαπλασιασμού
Βήμα 1. Εάν πολλαπλασιάζετε μια μορφή ρίζας με άλλη, συνδυάστε τις δύο σε μία τετραγωνική ρίζα χρησιμοποιώντας τον τύπο:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab) Για παράδειγμα, αλλάξτε τη ρίζα (2)*τη ρίζα (6) σε ρίζα (12).
- Η παραπάνω ταυτότητα, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), ισχύει εάν ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του sqrt δεν είναι αρνητικός. Μην χρησιμοποιείτε αυτόν τον τύπο όταν τα a και b είναι αρνητικά γιατί θα κάνετε το λάθος να κάνετε sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). Η πρόταση στα αριστερά είναι ίση με -1 (ή απροσδιόριστη εάν δεν χρησιμοποιείτε μιγαδικούς αριθμούς) ενώ η πρόταση στα δεξιά είναι +1. Εάν τα a και/ή b είναι αρνητικά, πρώτα "αλλάξτε" το πρόσημο όπως sqrt (-5) = i*sqrt (5). Εάν η μορφή κάτω από το ριζικό πρόσημο είναι μια μεταβλητή της οποίας το πρόσημο είναι άγνωστο από το πλαίσιο ή μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό, αφήστε την ως έχει προς το παρόν. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη γενικότερη ταυτότητα, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |) που ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς a και b, αλλά συνήθως αυτός ο τύπος δεν βοηθά πολύ γιατί προσθέτει πολυπλοκότητα στη χρήση της συνάρτησης sgn (signum).
- Αυτή η ταυτότητα ισχύει μόνο εάν οι μορφές των ριζών έχουν τον ίδιο εκθέτη. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε διαφορετικές τετραγωνικές ρίζες όπως sqrt (5)*sqrt^3 (7) μετατρέποντάς τις στην ίδια τετραγωνική ρίζα. Για να το κάνετε αυτό, μετατρέψτε προσωρινά την τετραγωνική ρίζα σε κλάσμα: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε τον κανόνα πολλαπλασιασμού για να πολλαπλασιάσετε τα δύο στην τετραγωνική ρίζα του 6125.
Μέθοδος 5 από 6: Αφαίρεση του τετραγωνικού συντελεστή από τη ρίζα
Βήμα 1. Προσδιορισμός ατελών ριζών σε πρωταρχικούς παράγοντες
Ένας συντελεστής είναι ένας αριθμός που όταν πολλαπλασιάζεται με έναν άλλο αριθμό σχηματίζει έναν αριθμό - για παράδειγμα, το 5 και το 4 είναι δύο παράγοντες του 20. Για να διασπάσετε τις ατελείς ρίζες, γράψτε όλους τους συντελεστές του αριθμού (ή όσο το δυνατόν περισσότερους, εάν ο αριθμός είναι πολύ μεγάλος) μέχρι να βρείτε ένα τέλειο τετράγωνο.
Για παράδειγμα, προσπαθήστε να βρείτε όλους τους συντελεστές των 45: 1, 3, 5, 9, 15 και 45. Το 9 είναι συντελεστής 45 και είναι επίσης τέλειο τετράγωνο (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Βήμα 2. Αφαιρέστε όλους τους πολλαπλασιαστές που είναι τέλεια τετράγωνα από την τετραγωνική ρίζα
Το 9 είναι ένα τέλειο τετράγωνο επειδή είναι το προϊόν του 3 x 3. Βγάλτε το 9 από την τετραγωνική ρίζα και αντικαταστήστε το με 3 μπροστά από την τετραγωνική ρίζα, αφήνοντας 5 μέσα στην τετραγωνική ρίζα. Εάν "τοποθετήσετε" το 3 πίσω στην τετραγωνική ρίζα, πολλαπλασιάστε από μόνο του για να κάνετε το 9 και αν πολλαπλασιάσετε με το 5 επιστρέφει το 45. 3 ρίζες του 5 είναι ένας απλός τρόπος έκφρασης της ρίζας του 45.
Δηλαδή, sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
Βήμα 3. Βρείτε το τέλειο τετράγωνο στη μεταβλητή
Η τετραγωνική ρίζα ενός τετραγώνου είναι | a | Το Μπορείτε να το απλοποιήσετε σε "a" εάν η γνωστή μεταβλητή είναι θετική. Η τετραγωνική ρίζα του a στην ισχύ του 3 όταν διασπάται στην τετραγωνική ρίζα ενός τετραγωνισμένου χρόνου a - θυμηθείτε ότι οι εκθέτες αθροίζονται όταν πολλαπλασιάζουμε δύο αριθμούς στην ισχύ του a, άρα ένας τετραγωνικός χρόνος a ισούται με a στο τρίτη δύναμη.
Επομένως, ένα τέλειο τετράγωνο με τη μορφή ενός κύβου είναι ένα τετράγωνο
Βήμα 4. Αφαιρέστε τη μεταβλητή που περιέχει το τέλειο τετράγωνο από την τετραγωνική ρίζα
Τώρα, πάρτε ένα τετράγωνο από την τετραγωνική ρίζα και αλλάξτε το σε | a | Το Η απλή μορφή της ρίζας α στη δύναμη του 3 είναι | a | ρίζα α.
Βήμα 5. Συνδυάστε τους ίσους όρους και απλοποιήστε όλες τις ρίζες των αποτελεσμάτων υπολογισμού
Μέθοδος 6 από 6: Εξορθολογισμός του παρονομαστή
Βήμα 1. Ο τυπικός τύπος απαιτεί ο παρονομαστής να είναι ένας ακέραιος αριθμός (ή ένα πολυώνυμο εάν περιέχει μια μεταβλητή) όσο το δυνατόν περισσότερο
-
Αν ο παρονομαστής αποτελείται από έναν όρο κάτω από το ριζικό πρόσημο, όπως […]/ρίζα (5), τότε πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με αυτήν τη ρίζα για να πάρετε […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt (5) = […]*ρίζα (5)/5.
Για ρίζες κύβου ή υψηλότερες, πολλαπλασιάστε με την κατάλληλη ρίζα έτσι ώστε ο παρονομαστής να είναι λογικός. Εάν ο παρονομαστής είναι ρίζα^3 (5), πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το sqrt^3 (5)^2
-
Εάν ο παρονομαστής αποτελείται από την προσθήκη ή την αφαίρεση δύο τετραγωνικών ριζών όπως sqrt (2) + sqrt (6), πολλαπλασιάστε τον ποσοτικοποιητή και τον παρονομαστή με το συζυγές τους, που έχει την ίδια μορφή αλλά με το αντίθετο πρόσημο. Στη συνέχεια […]/(ρίζα (2) + ρίζα (6)) = […] (ρίζα (2) -ρίζα (6))/(ρίζα (2) + ρίζα (6)) (ρίζα (2) -ρίζα (6)). Στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε τον τύπο ταυτότητας για τη διαφορά δύο τετραγώνων [(a + b) (ab) = a^2-b^2] για να εκλογικεύσετε τον παρονομαστή, για να απλοποιήσετε (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Αυτό ισχύει επίσης για παρονομαστές όπως 5 + sqrt (3) επειδή όλοι οι ακέραιοι είναι ρίζες άλλων ακεραίων. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- Αυτή η μέθοδος ισχύει επίσης για την προσθήκη ριζών όπως sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). Εάν τα ομαδοποιήσετε σε (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) και πολλαπλασιάσετε με (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), η απάντηση δεν είναι σε ορθολογική μορφή, αλλά ακόμα σε ρίζα+b*(30) όπου τα a και b είναι ήδη λογικοί αριθμοί. Στη συνέχεια, επαναλάβετε τη διαδικασία με τα συζυγή a+b*sqrt (30) και (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) θα είναι λογική. Στην ουσία, εάν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτό το κόλπο για να αφαιρέσετε ένα σημάδι ρίζας στον παρονομαστή, μπορείτε να το επαναλάβετε πολλές φορές για να αφαιρέσετε όλες τις ρίζες.
- Αυτή η μέθοδος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για παρονομαστές που περιέχουν υψηλότερη ρίζα, όπως η τέταρτη ρίζα του 3 ή η έβδομη ρίζα του 9. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τη συζυγή του παρονομαστή. Δυστυχώς, δεν μπορούμε να πάρουμε απευθείας τη συζυγή του παρονομαστή και είναι δύσκολο να το κάνουμε αυτό. Μπορούμε να βρούμε την απάντηση σε ένα βιβλίο άλγεβρας για τη θεωρία των αριθμών, αλλά δεν θα μπω σε αυτό.
Βήμα 2. Τώρα ο παρονομαστής είναι σε ορθολογική μορφή, αλλά ο αριθμητής φαίνεται χαμός
Τώρα το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να το πολλαπλασιάσετε με το συζυγές του παρονομαστή. Προχωρήστε και πολλαπλασιάστε όπως θα πολλαπλασιάσαμε τα πολυώνυμα. Ελέγξτε για να δείτε εάν κάποιοι όροι μπορούν να παραλειφθούν, να απλοποιηθούν ή να συνδυαστούν, εάν είναι δυνατόν.
Βήμα 3. Εάν ο παρονομαστής είναι αρνητικός ακέραιος, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κατά -1 για να τον κάνετε θετικό
Συμβουλές
- Μπορείτε να αναζητήσετε διαδικτυακά ιστότοπους που μπορούν να σας βοηθήσουν να απλοποιήσετε τις φόρμες ρίζας. Απλώς πληκτρολογήστε την εξίσωση με το ριζικό πρόσημο και αφού πατήσετε Enter, θα εμφανιστεί η απάντηση.
- Για απλούστερες ερωτήσεις, δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλα τα βήματα σε αυτό το άρθρο. Για πιο περίπλοκες ερωτήσεις, ίσως χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε πολλά βήματα περισσότερες από μία φορές. Χρησιμοποιήστε τα "απλά" βήματα μερικές φορές και ελέγξτε αν η απάντησή σας ταιριάζει με τα τυπικά κριτήρια διατύπωσης που συζητήσαμε νωρίτερα. Εάν η απάντησή σας βρίσκεται στον τυπικό τύπο, τελειώσατε. αλλά αν όχι, μπορείτε να ελέγξετε ένα από τα παραπάνω βήματα για να σας βοηθήσει να το κάνετε.
- Οι περισσότερες αναφορές στον "συνιστώμενο τυπικό τύπο" για τη μορφή ριζών ισχύουν επίσης για μιγαδικούς αριθμούς (i = root (-1)). Ακόμα κι αν μια πρόταση περιέχει ένα "i" αντί για μια ρίζα, αποφύγετε τους παρονομαστές που εξακολουθούν να περιέχουν ένα i όσο το δυνατόν περισσότερο.
- Ορισμένες από τις οδηγίες σε αυτό το άρθρο υποθέτουν ότι όλες οι ρίζες είναι τετράγωνα. Οι ίδιες γενικές αρχές ισχύουν για τις ρίζες των ανώτερων δυνάμεων, αν και με ορισμένα μέρη (ιδίως τον εξορθολογισμό του παρονομαστή) μπορεί να είναι αρκετά δύσκολο να εργαστεί κανείς. Αποφασίστε μόνοι σας τι σχήμα θέλετε, όπως sqr^3 (4) ή sqr^3 (2)^2. (Δεν θυμάμαι ποια μορφή προτείνεται συνήθως στα σχολικά βιβλία).
- Ορισμένες από τις οδηγίες σε αυτό το άρθρο χρησιμοποιούν τη λέξη "τυπικός τύπος" για να περιγράψουν την "κανονική μορφή". Η διαφορά είναι ότι ο τυπικός τύπος δέχεται μόνο τη φόρμα 1+sqrt (2) ή sqrt (2) +1 και θεωρεί τις άλλες μορφές ως μη τυπικές. Η απλή μορφή υποθέτει ότι εσείς, ο αναγνώστης, είστε αρκετά έξυπνοι για να δείτε την «ομοιότητα» αυτών των δύο αριθμών, παρόλο που δεν είναι πανομοιότυποι γραπτώς («ίδιο» σημαίνει στην αριθμητική τους ιδιότητα (εναλλακτική προσθήκη), όχι την αλγεβρική τους ιδιότητα (ρίζα (2) είναι η μη αρνητική ρίζα του x^2-2)). Ελπίζουμε ότι οι αναγνώστες θα κατανοήσουν την μικρή απροσεξία στη χρήση αυτής της ορολογίας.
- Εάν κάποια από τις ενδείξεις φαίνεται διφορούμενη ή αντιφατική, κάντε όλα τα βήματα που είναι σαφή και συνεπή και, στη συνέχεια, επιλέξτε όποιο σχήμα προτιμάτε.
