3 τρόποι απλοποίησης αλγεβρικών εκφράσεων

2024 Συγγραφέας: Jason Gerald | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-15 08:12

Η εκμάθηση του τρόπου απλοποίησης των αλγεβρικών εκφράσεων είναι ένα από τα κλειδιά για την εκμάθηση της βασικής άλγεβρας και το πιο χρήσιμο εργαλείο που πρέπει να έχει κάθε μαθηματικός. Η απλοποίηση επιτρέπει στους μαθηματικούς να μετατρέψουν πολύπλοκες, μακριές και/ή παράξενες εκφράσεις σε απλούστερες ή ευκολότερες ισοδύναμες εκφράσεις. Οι βασικές δεξιότητες απλοποίησης είναι πολύ εύκολο να μάθουν - ακόμη και για εκείνους που μισούν τα μαθηματικά. Ακολουθώντας μερικά απλά βήματα, μπορείτε να απλοποιήσετε πολλούς από τους πιο συχνά χρησιμοποιούμενους τύπους αλγεβρικών εκφράσεων, χωρίς να χρησιμοποιείτε ειδικές γνώσεις μαθηματικών. Δείτε το Βήμα 1 για να ξεκινήσετε!

Βήμα

Κατανόηση σημαντικών εννοιών

Βήμα 1. Ομαδοποιήστε όρους ανάλογα με τις μεταβλητές και τις δυνάμεις τους

Στην άλγεβρα, οι όροι έχουν την ίδια διαμόρφωση μεταβλητής, με την ίδια ισχύ. Με άλλα λόγια, για να είναι ίσοι δύο όροι, πρέπει να έχουν την ίδια μεταβλητή ή καθόλου μεταβλητή, και κάθε μεταβλητή έχει την ίδια ισχύ, ή κανένα εκθέτη. Η σειρά των μεταβλητών σε όρους δεν είναι σημαντική.

Για παράδειγμα, 3x² και 4x² είναι σαν όροι γιατί και οι δύο έχουν μια μεταβλητή x με τη δύναμη του τετραγώνου. Ωστόσο, x και x² δεν είναι σαν όροι γιατί κάθε όρος έχει μια μεταβλητή x με διαφορετική ισχύ. Σχεδόν τα ίδια, -3yx και 5xz δεν είναι όροι όπως κάθε όρος έχει διαφορετική μεταβλητή.

Βήμα 2. Συντελεστής γράφοντας τον αριθμό ως το γινόμενο των δύο παραγόντων

Το Factoring είναι η έννοια της γραφής ενός δεδομένου αριθμού ως γινόμενο πολλαπλασιασμού δύο παραγόντων. Οι αριθμοί μπορούν να έχουν περισσότερους από έναν συντελεστές - για παράδειγμα, 12 μπορούν να ληφθούν από 1 × 12, 2 × 6 και 3 × 4, οπότε μπορούμε να πούμε ότι 1, 2, 3, 4, 6 και 12 είναι παράγοντες του 12 Ένας άλλος τρόπος να το φανταστεί κανείς είναι ότι οι παράγοντες ενός αριθμού είναι οι αριθμοί που διαιρούν τον αριθμό ολόκληρο.

• Για παράδειγμα, αν θέλαμε τον παράγοντα 20, θα μπορούσαμε να τον γράψουμε ως 4 × 5.
• Σημειώστε ότι οι μεταβλητοί όροι μπορούν επίσης να ληφθούν υπόψη. -20x, για παράδειγμα, μπορεί να γραφτεί ως 4 (5x).
• Οι πρώτοι αριθμοί δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη επειδή μπορούν να διαιρεθούν μόνο με τον εαυτό τους και 1.

Βήμα 3. Χρησιμοποιήστε το αρκτικόλεξο KaPaK BoTaK για να θυμάστε τη σειρά των λειτουργιών

Μερικές φορές, η απλοποίηση μιας έκφρασης απλώς λύνει τη λειτουργία στην εξίσωση μέχρι να μην είναι πλέον εφαρμόσιμη. Σε αυτές τις περιπτώσεις, είναι πολύ σημαντικό να θυμόμαστε τη σειρά των λειτουργιών, έτσι ώστε να μην εμφανίζονται αριθμητικά σφάλματα. Το ακρωνύμιο KaPaK BoTaK θα σας βοηθήσει να θυμηθείτε τη σειρά των λειτουργιών - τα γράμματα υποδεικνύουν τους τύπους των λειτουργιών που πρέπει να εκτελέσετε, με τη σειρά:

• κ αποτυγχάνω
• Π ανελκυστήρας
• κali
• σι πάλι
• Τ Προσθήκη
• κ γαρίδα

Μέθοδος 1 από 3: Συγχώνευση όρων "Μου αρέσει"

Βήμα 1. Γράψτε την εξίσωση σας

Οι απλούστερες αλγεβρικές εξισώσεις, που περιλαμβάνουν μόνο μερικούς μεταβλητούς όρους με ακέραιους συντελεστές και χωρίς κλάσματα, ρίζες κ.λπ., μπορούν συχνά να λυθούν σε λίγα μόνο βήματα. Για τα περισσότερα μαθηματικά προβλήματα, το πρώτο βήμα για να απλοποιήσετε την εξίσωση είναι να την γράψετε!

Ως παράδειγμα προβλήματος, για τα επόμενα βήματα, χρησιμοποιούμε την έκφραση 1 + 2x - 3 + 4x.

Βήμα 2. Προσδιορίστε παρόμοιες φυλές

Στη συνέχεια, αναζητήστε όρους στην εξίσωση σας. Θυμηθείτε ότι οι όροι έχουν την ίδια μεταβλητή και εκθέτη.

Για παράδειγμα, ας προσδιορίσουμε όρους στην εξίσωση μας 1 + 2x - 3 + 4x. 2x και 4x και οι δύο έχουν την ίδια μεταβλητή με την ίδια ισχύ (στην περίπτωση αυτή, το x δεν έχει εκθέτη). Επίσης, 1 και -3 είναι όροι όπως δεν έχουν μεταβλητές. Στην εξίσωση μας λοιπόν, 2x και 4x και 1 και -3 είναι παρόμοιες φυλές.

Βήμα 3. Συνδυάστε όρους παρόμοιους

Τώρα που προσδιορίσατε όρους, μπορείτε να τους συνδυάσετε για να απλοποιήσετε την εξίσωση σας. Προσθέστε τους όρους (ή αφαιρέστε στην περίπτωση αρνητικών όρων) για να μειώσετε το σύνολο όρων με την ίδια μεταβλητή και τον εκθέτη σε έναν ίσο όρο.

• Ας προσθέσουμε όρους όπως στο παράδειγμά μας.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Βήμα 4. Δημιουργήστε μια απλούστερη εξίσωση από τους απλοποιημένους όρους

Αφού συνδυάσετε τους όρους που σας αρέσουν, δημιουργήστε μια εξίσωση από το νέο, μικρότερο σύνολο όρων. Θα πάρετε μια απλούστερη εξίσωση, η οποία έχει έναν όρο για τα διαφορετικά σύνολα μεταβλητών και δυνάμεων στην αρχική εξίσωση. Αυτή η νέα εξίσωση ισοδυναμεί με την αρχική εξίσωση.

Στο παράδειγμά μας, οι απλοποιημένοι όροι μας είναι 6x και -2, οπότε η νέα μας εξίσωση είναι 6x - 2 Το Αυτή η απλή εξίσωση είναι ισοδύναμη με την αρχική (1 + 2x - 3 + 4x), αλλά πιο σύντομη και πιο εύκολη στην εργασία. Είναι επίσης ευκολότερο να συντελεστεί, το οποίο θα δούμε παρακάτω, το οποίο είναι μια άλλη σημαντική απλοποιητική ικανότητα.

Βήμα 5. Ακολουθήστε τη σειρά των λειτουργιών όταν συνδυάζετε όρους παρόμοιους

Σε πολύ απλές εξισώσεις όπως αυτή που δουλέψαμε στο παραπάνω πρόβλημα, ο προσδιορισμός όμοιων όρων είναι εύκολος. Ωστόσο, σε πιο πολύπλοκες εξισώσεις, όπως εκφράσεις που περιλαμβάνουν παρενθετικούς όρους, κλάσματα και ρίζες, όπως όροι που μπορούν να συνδυαστούν μπορεί να μην είναι σαφώς ορατοί. Σε αυτές τις περιπτώσεις, ακολουθήστε τη σειρά των πράξεων, εκτελώντας πράξεις με τους όρους στην έκφρασή σας όπως απαιτείται έως ότου παραμείνουν οι πράξεις προσθήκης και αφαίρεσης.

• Για παράδειγμα, ας χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. Θα ήταν λάθος να θεωρήσουμε αμέσως τους 3x και 2x όρους και να τους συνδυάσουμε γιατί οι παρενθέσεις στην έκφραση υποδεικνύουν ότι πρέπει πρώτα να κάνουμε άλλες πράξεις. Πρώτον, εκτελούμε αριθμητικές πράξεις στην έκφραση με τη σειρά των πράξεων για να πάρουμε όρους που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Δείτε τα παρακάτω:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x Τώρα, δεδομένου ότι οι μόνες πράξεις που απομένουν είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση, μπορούμε να συνδυάσουμε όρους.
  • Χ² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • Χ² + 12x + 3

Μέθοδος 2 από 3: Factoring

Βήμα 1. Προσδιορίστε τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα στην έκφραση

Το Factoring είναι ένας τρόπος απλοποίησης μιας έκφρασης αφαιρώντας τους ίδιους παράγοντες σε όλους τους όρους της έκφρασης. Αρχικά, βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα που έχουν όλοι οι όροι - με άλλα λόγια, ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί όλους τους όρους στην έκφραση σύνολο.

• Ας χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση 9x² + 27x - 3. Παρατηρήστε ότι κάθε όρος σε αυτήν την εξίσωση διαιρείται με το 3. Δεδομένου ότι οι όροι δεν διαιρούνται με μεγαλύτερο αριθμό, μπορούμε να πούμε ότι

  Βήμα 3. είναι ο μεγαλύτερος κοινός μας παράγοντας.

Βήμα 2. Χωρίστε τους όρους στην έκφραση με τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα

Στη συνέχεια, διαιρέστε κάθε όρο στην εξίσωση σας με τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα που μόλις βρήκατε. Οι όροι πηλίκο θα έχουν μικρότερο συντελεστή από την αρχική εξίσωση.

• Ας υπολογίσουμε την εξίσωση μας με τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα, 3. Για να το κάνουμε αυτό, θα διαιρέσουμε κάθε όρο με 3.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Έτσι, η νέα μας έκφραση είναι 3x² + 9x - 1.

Βήμα 3. Γράψτε την έκφρασή σας ως το γινόμενο του μεγαλύτερου κοινού παράγοντα πολλαπλασιασμένο με τους υπόλοιπους όρους

Η νέα σας έκφραση δεν ισοδυναμεί με την αρχική σας έκφραση, επομένως θα ήταν λάθος να πούμε ότι η έκφραση έχει απλοποιηθεί. Για να κάνουμε τη νέα μας έκφραση ίση με την αρχική, πρέπει να συμπεριλάβουμε το γεγονός ότι η έκφρασή μας έχει διαιρεθεί από τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα. Περάστε τη νέα σας έκφραση σε παρένθεση και γράψτε τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα της αρχικής εξίσωσης ως συντελεστή έκφρασης σε παρένθεση.

Για την εξίσωση του παραδείγματος μας, 3x² + 9x - 1, μπορούμε να περικλείσουμε την έκφραση σε παρένθεση και να την πολλαπλασιάσουμε με τον μεγαλύτερο κοινό συντελεστή της αρχικής εξίσωσης για να πάρουμε 3 (3x² + 9x - 1) Το Αυτή η εξίσωση ισοδυναμεί με την αρχική εξίσωση, 9x² +27x - 3

Βήμα 4. Χρησιμοποιήστε το factoring για να απλοποιήσετε τα κλάσματα

Mayσως τώρα αναρωτιέστε γιατί χρησιμοποιείται το factoring, αν ακόμη και μετά την αφαίρεση του μεγαλύτερου κοινού παράγοντα, η νέα έκφραση πρέπει να πολλαπλασιαστεί ξανά με αυτόν τον παράγοντα. Στην πραγματικότητα, το factoring επιτρέπει στους μαθηματικούς να εκτελούν διάφορα κόλπα για να απλοποιήσουν τις εκφράσεις. Ένα από τα ευκολότερα κόλπα του εκμεταλλεύεται το γεγονός ότι ο πολλαπλασιασμός του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό μπορεί να παράγει ισοδύναμα κλάσματα. Δείτε τα παρακάτω:

• Πείτε την αρχική μας παράσταση παραδείγματος, 9x² + 27x - 3, είναι ο ποσοτικοποιητής του μεγαλύτερου κλάσματος με 3 ως αριθμητή. Το κλάσμα θα μοιάζει με αυτό: (9x² + 27x - 3)/3. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το factoring για να απλοποιήσουμε τα κλάσματα.

  • Ας αντικαταστήσουμε τη μορφή factoring της αρχικής μας έκφρασης με την έκφραση στον αριθμητή: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • Παρατηρήστε ότι τώρα, και ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν συντελεστή 3. Διαχωρίζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 3, παίρνουμε: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Δεδομένου ότι οποιοδήποτε κλάσμα με παρονομαστή 1 ισοδυναμεί με τους όρους του αριθμητή, μπορούμε να πούμε ότι το αρχικό μας κλάσμα μπορεί να απλοποιηθεί σε 3x² + 9x - 1.

Μέθοδος 3 από 3: Εφαρμογή πρόσθετων δεξιοτήτων απλοποίησης

Βήμα 1. Απλοποιήστε τα κλάσματα διαιρώντας με τους ίδιους παράγοντες

Όπως σημειώθηκε παραπάνω, εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής μιας εξίσωσης έχουν τους ίδιους παράγοντες, αυτοί οι παράγοντες μπορούν να παραλειφθούν εντελώς στο κλάσμα. Μερικές φορές, θα απαιτηθεί συνυπολογισμός στον αριθμητή, τον παρονομαστή ή και τα δύο (όπως συμβαίνει στο παραπάνω πρόβλημα), ενώ μερικές φορές οι ίδιοι παράγοντες είναι συχνά προφανείς. Σημειώστε ότι είναι επίσης δυνατό να διαιρέσετε τους όρους του αριθμητή με την εξίσωση στον παρονομαστή έναν προς έναν για να πάρετε μια απλή έκφραση.

• Ας δουλέψουμε σε ένα παράδειγμα που δεν απαιτεί το factoring out. Για κλάσματα (5x² + 10x + 20)/10, μπορούμε να διαιρέσουμε κάθε όρο στον αριθμητή με το 10 για απλοποίηση, ακόμη και αν ο συντελεστής είναι 5 σε 5x² δεν είναι μεγαλύτερο από 10 και έτσι το 10 δεν είναι παράγοντας.

  Αν το κάνουμε, θα πάρουμε ((5x²)/10) + x + 2. Αν θέλαμε, θα μπορούσαμε να ξαναγράψουμε τον πρώτο όρο ως (1/2) x² έτσι παίρνουμε (1/2) x² +x+2.

Βήμα 2. Χρησιμοποιήστε τους τετραγωνισμένους παράγοντες για να απλοποιήσετε τις ρίζες

Η έκφραση κάτω από το σημάδι ρίζας ονομάζεται έκφραση ρίζας. Αυτή η έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί προσδιορίζοντας τους τετραγωνισμένους παράγοντες (παράγοντες που είναι τετράγωνα ακέραιων αριθμών) και εκτελώντας τη λειτουργία της τετραγωνικής ρίζας ξεχωριστά για να τους αφαιρέσετε από το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας.

• Ας κάνουμε ένα απλό παράδειγμα - (90). Αν σκεφτούμε το 90 ως γινόμενο των δύο παραγόντων του, 9 και 10, μπορούμε να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα του 9 που είναι ο ακέραιος 3 και να τον αφαιρέσουμε από το ριζικό πρόσημο. Με άλλα λόγια:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Βήμα 3. Προσθέστε εκθέτες όταν πολλαπλασιάζετε δύο εκθέτες. αφαιρέστε κατά τη διαίρεση

Ορισμένες αλγεβρικές εκφράσεις απαιτούν πολλαπλασιασμό ή διαίρεση όρων ισχύος. Αντί να υπολογίζετε ή να διαιρείτε κάθε εκθέτη με το χέρι, απλά προσθέστε τους εκθέτες όταν πολλαπλασιάζετε και αφαιρείτε όταν διαιρείτε για να εξοικονομήσετε χρόνο. Αυτή η έννοια μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την απλοποίηση μεταβλητών εκφράσεων.

• Για παράδειγμα, ας χρησιμοποιήσουμε την έκφραση 6x³ X 8x⁴ + (x¹⁷/Χ¹⁵). Σε κάθε περίπτωση όπου απαιτείται πολλαπλασιασμός ή διαίρεση εκθετών, θα αφαιρέσουμε ή θα προσθέσουμε εκθέτες, αντίστοιχα, για να βρούμε γρήγορα τον απλό όρο. Δείτε τα παρακάτω:

  • 6x³ X 8x⁴ + (x¹⁷/Χ¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Για μια εξήγηση για το πώς λειτουργεί, δείτε παρακάτω:

  • Ο πολλαπλασιασμός όρων στους εκθέτες είναι στην πραγματικότητα σαν τον πολλαπλασιασμό όρων όχι σε μεγάλους εκθέτες. Για παράδειγμα, επειδή x³ = x × x × x και x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ X⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ή x⁸.
  • Σχεδόν το ίδιο, η διαίρεση εκθετών είναι σαν διαχωριστικοί όροι, όχι μεγάλοι εκθέτες. Χ⁵/Χ³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Δεδομένου ότι κάθε όρος στον αριθμητή μπορεί να διασταυρωθεί με την εύρεση του ίδιου όρου στον παρονομαστή, απομένουν μόνο δύο x στον αριθμητή και τίποτα δεν απομένει στο κάτω μέρος, δίνοντας την απάντηση x².

Συμβουλές

• Να θυμάστε πάντα ότι πρέπει να φανταστείτε αυτούς τους αριθμούς ως θετικά και αρνητικά σημάδια. Πολλοί άνθρωποι σταματούν να σκέφτονται τι σημάδι πρέπει να βάλω εδώ;
• Ζητήστε βοήθεια αν τη χρειάζεστε!
• Η απλοποίηση των αλγεβρικών εκφράσεων δεν είναι εύκολη, αλλά μόλις το καταλάβετε, θα το χρησιμοποιήσετε για το υπόλοιπο της ζωής σας.

Προειδοποίηση

• Πάντα αναζητήστε παρόμοιες φυλές και μην ξεγελιέστε από τον βαθμό.
• Βεβαιωθείτε ότι δεν προσθέτετε αριθμούς, δυνάμεις ή λειτουργίες που δεν πρέπει να γίνονται κατά λάθος.