Πώς να υπολογίσετε χειροκίνητα τις τετραγωνικές ρίζες (με εικόνες)

2024 Συγγραφέας: Jason Gerald | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-15 08:12

Τις ημέρες πριν από την εφεύρεση των υπολογιστών, οι μαθητές και οι καθηγητές έπρεπε να υπολογίσουν τις τετραγωνικές ρίζες χειροκίνητα. Πολλοί διαφορετικοί τρόποι έχουν αναπτυχθεί για να ξεπεραστεί αυτή η δύσκολη διαδικασία. Μερικοί τρόποι δίνουν μια πρόχειρη εκτίμηση και άλλοι δίνουν μια ακριβή τιμή. Για να μάθετε πώς μπορείτε να βρείτε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού χρησιμοποιώντας απλές πράξεις, ανατρέξτε στο Βήμα 1 παρακάτω για να ξεκινήσετε.

Βήμα

Μέθοδος 1 από 2: Χρήση Prime Factorization

Βήμα 1. Χωρίστε τον αριθμό σας σε τέλειους τετραγωνικούς συντελεστές

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιεί τους συντελεστές ενός αριθμού για να βρει την τετραγωνική ρίζα του αριθμού (ανάλογα με τον αριθμό, η απάντηση μπορεί να είναι ένας ακριβής αριθμός ή μια στενή προσέγγιση). Οι συντελεστές ενός αριθμού είναι ένα σύνολο άλλων αριθμών που, όταν πολλαπλασιαστούν, παράγουν αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, θα μπορούσατε να πείτε ότι οι συντελεστές του 8 είναι 2 και 4 επειδή 2 × 4 = 8. Εν τω μεταξύ, τέλεια τετράγωνα είναι ακέραιοι αριθμοί που είναι το γινόμενο άλλων ακέραιων αριθμών. Για παράδειγμα, τα 25, 36 και 49 είναι τέλεια τετράγωνα επειδή είναι 5 αντίστοιχα², 6², και 7²Το Όπως ίσως έχετε μαντέψει, οι τέλειοι τετραγωνικοί παράγοντες είναι παράγοντες που είναι επίσης τέλεια τετράγωνα. Για να αρχίσετε να βρίσκετε την τετραγωνική ρίζα μέσω πρωταρχικής παραγοντοποίησης, προσπαθήστε πρώτα να απλοποιήσετε τον αριθμό σας στους τέλειους τετραγωνικούς συντελεστές του.

• Ας χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα. Θέλουμε να βρούμε την τετραγωνική ρίζα του 400 χειροκίνητα. Αρχικά, θα χωρίσουμε τον αριθμό σε τέλειους τετραγωνικούς συντελεστές. Δεδομένου ότι το 400 είναι πολλαπλάσιο του 100, γνωρίζουμε ότι το 400 διαιρείται με το 25 - ένα τέλειο τετράγωνο. Με μια γρήγορη διαίρεση των σκιών, βρίσκουμε ότι 400 διαιρούμενα με 25 ισούται με 16. Κατά σύμπτωση, το 16 είναι επίσης ένα τέλειο τετράγωνο. Έτσι, οι τέλειοι τετραγωνικοί συντελεστές των 400 είναι 25 και 16 γιατί 25 × 16 = 400.
• Μπορούμε να το γράψουμε ως: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)

Βήμα 2. Βρείτε την τετραγωνική ρίζα των τέλειων τετραγωνικών συντελεστών σας

Η ιδιότητα πολλαπλασιασμού της τετραγωνικής ρίζας δηλώνει ότι για κάθε αριθμό a και b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Λόγω αυτής της ιδιότητας, τώρα, μπορούμε τώρα να βρούμε την τετραγωνική ρίζα των τέλειων τετραγωνικών συντελεστών μας και να τους πολλαπλασιάσουμε για να πάρουμε την απάντησή μας.

• Στο παράδειγμά μας, θα βρούμε τις τετραγωνικές ρίζες των 25 και 16. Δείτε παρακάτω:

  • Ρίζα (25 × 16)
  • Ρίζα (25) × Ρίζα (16)

  • 5 × 4 =

    Βήμα 20.

Βήμα 3. Εάν ο αριθμός σας δεν μπορεί να ληφθεί τέλεια υπόψη, απλοποιήστε την απάντησή σας στην απλούστερη μορφή του

Στην πραγματική ζωή, συχνά οι αριθμοί που χρειάζεστε για να βρείτε την τετραγωνική ρίζα δεν είναι ευχάριστοι ακέραιοι αριθμοί με προφανείς τέλειους τετραγωνικούς συντελεστές όπως 400. Σε αυτές τις περιπτώσεις, είναι πιθανό ότι δεν μπορούμε να βρούμε τη σωστή απάντηση. Ως ακέραιος αριθμός. Ωστόσο, βρίσκοντας όσους τέλειους τετραγωνικούς συντελεστές μπορείτε να βρείτε, μπορείτε να βρείτε την απάντηση με τη μορφή μιας τετραγωνικής ρίζας που είναι μικρότερη, απλούστερη και ευκολότερη στον υπολογισμό. Για να το κάνετε αυτό, μειώστε τον αριθμό σας σε έναν συνδυασμό τέλειων τετραγωνικών συντελεστών και ατελών τετραγωνικών συντελεστών και, στη συνέχεια, απλοποιήστε.

• Ας χρησιμοποιήσουμε την τετραγωνική ρίζα του 147 ως παράδειγμα. Το 147 δεν είναι προϊόν δύο τέλειων τετραγώνων, οπότε δεν μπορούμε να πάρουμε την ακριβή ακέραιη τιμή όπως παραπάνω. Ωστόσο, το 147 είναι το γινόμενο ενός τέλειου τετραγώνου και ενός άλλου αριθμού - 49 και 3. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες για να γράψουμε την απάντησή μας στην απλούστερη μορφή της ως εξής:

  • Root (147)
  • = Ρίζα (49 3)
  • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
  • = 7 ρίζα (3)

Βήμα 4. Εάν χρειάζεται, εκτιμήστε

Με την τετραγωνική ρίζα σας στην απλούστερη μορφή της, είναι συνήθως αρκετά εύκολο να λάβετε μια πρόχειρη εκτίμηση της αριθμητικής απάντησης μαντεύοντας την αξία της υπόλοιπης τετραγωνικής ρίζας και πολλαπλασιάζοντάς την. Ένας τρόπος για να καθοδηγήσετε την εικασία σας είναι να αναζητήσετε τέλεια τετράγωνα που είναι μεγαλύτερα και μικρότερα από τον αριθμό στην τετραγωνική ρίζα σας. Θα παρατηρήσετε ότι η δεκαδική τιμή του αριθμού στην τετραγωνική ρίζα σας είναι μεταξύ των δύο αριθμών, ώστε να μπορείτε να μαντέψετε την τιμή μεταξύ των δύο αριθμών.

• Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας. γιατί 2² = 4 και 1² = 1, γνωρίζουμε ότι η ρίζα (3) είναι μεταξύ 1 και 2 - πιθανώς πιο κοντά στο 2 από 1. Υπολογίζουμε 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9 Το Εάν ελέγξουμε την απάντησή μας στην αριθμομηχανή, μπορούμε να δούμε ότι η απάντησή μας είναι αρκετά κοντά στην πραγματική απάντηση που είναι 12, 13.

  Αυτό ισχύει και για μεγαλύτερους αριθμούς. Για παράδειγμα, το Root (35) μπορεί να προσεγγιστεί μεταξύ 5 και 6 (πιθανώς πιο κοντά στο 6). 5² = 25 και 6² = 36. Το 35 είναι μεταξύ 25 και 36, άρα η τετραγωνική ρίζα πρέπει να είναι μεταξύ 5 και 6. Δεδομένου ότι το 35 είναι μόνο ένα μικρότερο από 36, μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι η τετραγωνική ρίζα είναι ελαφρώς μικρότερη από 6. Ο έλεγχος με μια αριθμομηχανή θα δώστε μας την απάντηση είναι περίπου 5, 92 - έχουμε δίκιο.

Βήμα 5. Εναλλακτικά, μειώστε τον αριθμό σας στους λιγότερο κοινούς παράγοντες ως πρώτο βήμα

Η εύρεση των συντελεστών τέλειων τετραγώνων δεν είναι απαραίτητη εάν μπορείτε εύκολα να προσδιορίσετε τους πρώτους συντελεστές ενός αριθμού (παράγοντες που είναι επίσης πρώτοι αριθμοί). Γράψτε τον αριθμό σας ως προς τους λιγότερο κοινούς παράγοντες. Στη συνέχεια, βρείτε τα ζεύγη πρώτων αριθμών που ταιριάζουν με τους παράγοντες σας. Όταν βρείτε δύο πρώτους παράγοντες που είναι ίδιοι, αφαιρέστε αυτούς τους δύο αριθμούς από την τετραγωνική ρίζα και τοποθετήστε έναν από αυτούς τους αριθμούς έξω από την τετραγωνική ρίζα.

• Για παράδειγμα, βρείτε την τετραγωνική ρίζα του 45 χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο. Γνωρίζουμε ότι 45 × 5 και γνωρίζουμε ότι κάτω από 9 = 3 × 3. Έτσι, μπορούμε να γράψουμε την τετραγωνική ρίζα μας από την άποψη των παραγόντων όπως αυτό: Sqrt (3 × 3 × 5). Απλώς αφαιρέστε και τα 3 και βάλτε ένα 3 έξω από την τετραγωνική ρίζα για να απλοποιήσετε την τετραγωνική ρίζα σας στην απλούστερη μορφή της: (3) Ρίζα (5).

  Από εδώ, θα είναι εύκολο να εκτιμηθεί.

• Ως τελικό παράδειγμα προβλήματος, ας προσπαθήσουμε να βρούμε την τετραγωνική ρίζα του 88:

  • Root (88)
  • = Ρίζα (2 × 44)
  • = Ρίζα (2 × 4 × 11)
  • = Ρίζα (2 × 2 × 2 × 11). Έχουμε περίπου 2 στην τετραγωνική μας ρίζα. Δεδομένου ότι το 2 είναι ένας πρώτος αριθμός, μπορούμε να αφαιρέσουμε ένα ζευγάρι 2 και να βάλουμε ένα από αυτά έξω από την τετραγωνική ρίζα.

  • = Η τετραγωνική μας ρίζα στην απλούστερη μορφή της είναι (2) Sqrt (2 × 11) ή (2) Ρίζα (2) Ρίζα (11).

    Από εδώ, μπορούμε να εκτιμήσουμε το Sqrt (2) και το Sqrt (11) και να βρούμε την κατά προσέγγιση απάντηση όπως θέλουμε.

Μέθοδος 2 από 2: Εύρεση της τετραγωνικής ρίζας χειροκίνητα

Χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο Long Division

Βήμα 1. Διαχωρίστε τα ψηφία του αριθμού σας σε ζεύγη

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιεί μια διαδικασία παρόμοια με τη μακρά διαίρεση για να βρει το ακριβές ψηφίο ανά τετραγωνική ρίζα. Παρόλο που δεν είναι υποχρεωτικό, μπορεί να είναι πιο εύκολο να πραγματοποιήσετε αυτήν τη διαδικασία εάν οργανώσετε οπτικά τον χώρο εργασίας σας και τους αριθμούς σας σε μέρη που είναι εύκολα στην εργασία. Αρχικά, σχεδιάστε μια κατακόρυφη γραμμή που χωρίζει την περιοχή εργασίας σας σε δύο τμήματα και, στη συνέχεια, σχεδιάστε μια μικρότερη οριζόντια γραμμή κοντά στην επάνω δεξιά γωνία για να χωρίσετε το δεξί τμήμα σε ένα μικρότερο επάνω τμήμα και ένα μεγαλύτερο κάτω τμήμα. Στη συνέχεια, χωρίστε τα ψηφία σας σε ζεύγη, ξεκινώντας από το δεκαδικό ψηφίο. Για παράδειγμα, ακολουθώντας αυτόν τον κανόνα, 79,520,789,182, 47897 γίνεται "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Γράψτε τον αριθμό σας επάνω αριστερά.

Για παράδειγμα, ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα του 780, 14. Σχεδιάστε δύο γραμμές για να διαιρέσετε τον χώρο εργασίας σας όπως παραπάνω και γράψτε "7 80. 14" στο επάνω αριστερό μέρος. Δεν έχει σημασία αν ο αριστερός αριθμός είναι ένας μόνο αριθμός και όχι ένα ζεύγος αριθμών. Θα γράψετε την απάντησή σας (τετραγωνική ρίζα 780, 14) επάνω δεξιά

Βήμα 2. Βρείτε τον μεγαλύτερο ακέραιο του οποίου η τετραγωνική τιμή είναι μικρότερη ή ίση με τον αριθμό (ή ζεύγος αριθμών) στα αριστερά

Ξεκινήστε από την αριστερή πλευρά του αριθμού σας, τόσο ζευγάρια αριθμών όσο και απλούς αριθμούς. Βρείτε το μεγαλύτερο τέλειο τετράγωνο που είναι μικρότερο ή ίσο με αυτόν τον αριθμό και, στη συνέχεια, βρείτε την τετραγωνική ρίζα αυτού του τέλειου τετραγώνου. Αυτός ο αριθμός είναι n. Γράψτε το n πάνω δεξιά και γράψτε το τετράγωνο του n στο κάτω δεξί τεταρτημόριο.

Στο παράδειγμά μας, η άκρα αριστερά είναι ο αριθμός 7. Επειδή γνωρίζουμε ότι το 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, μπορούμε να πούμε ότι n = 2 επειδή το 2 είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος του οποίου η τετραγωνική τιμή είναι μικρότερη ή ίση με 7. Γράψτε 2 στο επάνω δεξί τεταρτημόριο. Αυτό είναι το πρώτο ψηφίο της απάντησής μας. Γράψτε 4 (τετραγωνική τιμή 2) στο κάτω δεξιό τεταρτημόριο. Αυτός ο αριθμός είναι σημαντικός για το επόμενο βήμα.

Βήμα 3. Αφαιρέστε τον αριθμό που μόλις υπολογίσατε από το αριστερότερο ζεύγος

Όπως και με τη μακρά διαίρεση, το επόμενο βήμα είναι να αφαιρέσουμε την τιμή του τετραγώνου που μόλις βρήκαμε από το τμήμα που μόλις αναλύσαμε. Γράψτε αυτόν τον αριθμό κάτω από το πρώτο μέρος και αφαιρέστε τον, γράφοντας την απάντησή σας κάτω από αυτό.

• Στο παράδειγμά μας, θα γράψουμε 4 κάτω από 7 και μετά θα το αφαιρέσουμε. Αυτή η αφαίρεση δίνει μια απάντηση

  Βήμα 3..

Βήμα 4. Ρίξτε το επόμενο ζεύγος

Μετακινηθείτε προς τα κάτω στην επόμενη ενότητα του αριθμού για τον οποίο αναζητάτε την τετραγωνική ρίζα, δίπλα στην τιμή αφαίρεσης που μόλις βρήκατε. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε τον αριθμό στο επάνω δεξιό τεταρτημόριο με δύο και γράψτε την απάντηση στο κάτω δεξί τεταρτημόριο. Δίπλα στον αριθμό που μόλις γράψατε, αφήστε ένα κενό για το πρόβλημα πολλαπλασιασμού που θα κάνετε στο επόμενο βήμα γράφοντας '"_ × _ ="'.

Στο παράδειγμά μας, το επόμενο ζεύγος των αριθμών μας είναι "80". Γράψτε "80" δίπλα στο 3 στο αριστερό τεταρτημόριο. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε τον αριθμό πάνω δεξιά με δύο. Αυτός ο αριθμός είναι 2, άρα 2 × 2 = 4. Γράψτε "" 4 "" στο κάτω δεξιό τεταρτημόριο, ακολουθούμενο από _×_=.

Βήμα 5. Συμπληρώστε τα κενά στο δεξιό τεταρτημόριο

Πρέπει να συμπληρώσετε όλα τα κενά που μόλις γράψατε στο δεξιό τεταρτημόριο με τον ίδιο ακέραιο αριθμό. Αυτός ο ακέραιος πρέπει να είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που κάνει το γινόμενο στο δεξιό τεταρτημόριο μικρότερο ή ίσο με τον αριθμό που βρίσκεται επί του παρόντος στα αριστερά.

Στο παράδειγμά μας, συμπληρώνουμε τα κενά με 8, με αποτέλεσμα 4 (8) 8 = 48 × 8 = 384. Αυτή η τιμή είναι μεγαλύτερη από 384. Έτσι, το 8 είναι πολύ μεγάλο, αλλά το 7 μπορεί να λειτουργήσει. Γράψτε 7 στα κενά και λύστε: 4 (7) × 7 = 329. Το 7 είναι ένας σωστός αριθμός γιατί το 329 είναι μικρότερο από 380. Γράψτε το 7 στο επάνω δεξί τεταρτημόριο. Αυτό είναι το δεύτερο ψηφίο στην τετραγωνική ρίζα του 780, 14

Βήμα 6. Αφαιρέστε τον αριθμό που μόλις υπολογίσατε από τον αριθμό που βρίσκεται τώρα στα αριστερά

Συνεχίστε με την αλυσίδα αφαίρεσης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μακράς διαίρεσης. Πάρτε το γινόμενο του προβλήματος στο δεξιό τεταρτημόριο και αφαιρέστε το από τον αριθμό που βρίσκεται τώρα στα αριστερά, ενώ γράφετε τις απαντήσεις σας παρακάτω.

Στο παράδειγμά μας, θα αφαιρέσουμε το 329 από το 380, το οποίο δίνει το αποτέλεσμα 51.

Βήμα 7. Επαναλάβετε το βήμα 4

Βγάλτε το επόμενο μέρος του αριθμού για τον οποίο αναζητάτε την τετραγωνική ρίζα. Όταν φτάσετε στο δεκαδικό σημείο στον αριθμό σας, γράψτε το δεκαδικό στην απάντησή σας στο επάνω δεξιό τεταρτημόριο. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε τον αριθμό πάνω δεξιά με 2 και γράψτε τον δίπλα στο κενό πρόβλημα πολλαπλασιασμού ("_ × _") όπως παραπάνω.

Στο παράδειγμά μας, δεδομένου ότι ασχολούμαστε τώρα με το δεκαδικό σημείο στο 780, 14, γράψτε το δεκαδικό σημείο μετά την τρέχουσα απάντησή μας επάνω δεξιά. Στη συνέχεια, χαμηλώστε το επόμενο ζεύγος (14) στο αριστερό τεταρτημόριο. Δύο φορές ο αριθμός στο πάνω δεξιά (27) ισούται με 54, οπότε γράψτε "54 _ × _ =" στο κάτω δεξιό τεταρτημόριο

Βήμα 8. Επαναλάβετε τα βήματα 5 και 6

Βρείτε το μεγαλύτερο ψηφίο για να συμπληρώσετε τα κενά στα δεξιά, το οποίο δίνει μια απάντηση μικρότερη ή ίση με τον αριθμό που βρίσκεται επί του παρόντος στα αριστερά. Στη συνέχεια, λύστε το πρόβλημα.

Στο παράδειγμά μας, 549 × 9 = 4941, το οποίο είναι μικρότερο ή ίσο με τον αριθμό στα αριστερά (5114). 549 × 10 = 5490 είναι πολύ μεγάλο, άρα 9 είναι η απάντησή σας. Γράψτε το 9 ως επόμενο ψηφίο στο επάνω δεξιό τεταρτημόριο και αφαιρέστε το γινόμενο από τον αριθμό στα αριστερά: 5114 μείον 4941 ισούται με 173

Βήμα 9. Για να συνεχίσετε να μετράτε τα ψηφία, χαμηλώστε το ζεύγος μηδενικών στα αριστερά και επαναλάβετε τα βήματα 4, 5 και 6

Για μεγαλύτερη ακρίβεια, συνεχίστε αυτήν τη διαδικασία για να βρείτε τις εκατοντάδες, χιλιάδες και περισσότερα μέρη στην απάντησή σας. Συνεχίστε να χρησιμοποιείτε αυτόν τον κύκλο μέχρι να βρείτε το δεκαδικό ψηφίο που θέλετε.

Κατανόηση της Διαδικασίας

Βήμα 1. Φανταστείτε τον αριθμό στον οποίο υπολογίσατε την τετραγωνική ρίζα ως την περιοχή S ενός τετραγώνου

Αφού το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι P² όπου P είναι το μήκος μιας πλευράς, τότε προσπαθώντας να βρείτε την τετραγωνική ρίζα του αριθμού σας, προσπαθείτε στην πραγματικότητα να υπολογίσετε το μήκος P αυτής της πλευράς του τετραγώνου.

Βήμα 2. Προσδιορίστε τις μεταβλητές γραμμάτων για κάθε ψηφίο της απάντησής σας

Ορίστε τη μεταβλητή Α ως πρώτο ψηφίο του Ρ (η τετραγωνική ρίζα που προσπαθούμε να υπολογίσουμε). Το Β θα είναι το δεύτερο ψηφίο, το Γ το τρίτο ψηφίο κ.ο.κ.

Βήμα 3. Προσδιορίστε τις μεταβλητές γραμμάτων για κάθε μέρος του αριθμού εκκίνησης

Ορίστε τη μεταβλητή S_ένα για το πρώτο ζεύγος ψηφίων στο S (η αρχική σας τιμή), S_σι για το δεύτερο ζεύγος ψηφίων κ.λπ.

Βήμα 4. Κατανοήστε τη σχέση μεταξύ αυτής της μεθόδου και της μακράς διαίρεσης

Αυτή η μέθοδος εύρεσης της τετραγωνικής ρίζας είναι βασικά ένα πρόβλημα μακράς διαίρεσης που διαιρεί τον αρχικό σας αριθμό με την τετραγωνική ρίζα, δίνοντάς σας την τετραγωνική ρίζα της απάντησης. Ακριβώς όπως στο πρόβλημα της μακράς διαίρεσης, σας ενδιαφέρει μόνο το επόμενο ψηφίο σε κάθε βήμα. Με αυτόν τον τρόπο, ενδιαφέρεστε μόνο για τα επόμενα δύο ψηφία σε κάθε βήμα (που είναι το επόμενο ψηφίο σε κάθε βήμα για την τετραγωνική ρίζα).

Βήμα 5. Βρείτε τον μεγαλύτερο αριθμό του οποίου η τετραγωνική τιμή είναι μικρότερη ή ίση με το S_ένα.

Το πρώτο ψηφίο του Α στην απάντησή μας είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος του οποίου η τετραγωνική τιμή δεν υπερβαίνει το S_ένα (δηλαδή Α έτσι ώστε A² Sa <(A+1)). Στο παράδειγμά μας, ο S._ένα = 7, και 2² 7 <3², άρα Α = 2.

Σημειώστε ότι, για παράδειγμα, εάν θέλατε να διαιρέσετε το 88962 με το 7 χρησιμοποιώντας μακρά διαίρεση, τα πρώτα βήματα είναι σχεδόν τα ίδια: θα δείτε το πρώτο ψηφίο του 88962 (που είναι 8) και ψάχνετε το μεγαλύτερο ψηφίο το οποίο, όταν πολλαπλασιάζεται με 7, είναι μικρότερο ή ίσο με 8 Βασικά, ψάχνετε για d έτσι ώστε 7 × d 8 <7 × (d+1). Σε αυτή την περίπτωση, το d θα είναι ίσο με 1

Βήμα 6. Φανταστείτε την αξία του τετραγώνου, στην περιοχή του οποίου πρόκειται να αρχίσετε να εργάζεστε

Η απάντησή σας, η τετραγωνική ρίζα του αρχικού αριθμού σας, είναι P, το οποίο περιγράφει το μήκος του τετραγώνου με το εμβαδόν S (τον αρχικό σας αριθμό). Οι βαθμοί σας για τα Α, Β, Γ, αντιπροσωπεύουν τα ψηφία στην τιμή του Π. Ένας άλλος τρόπος για να το πείτε αυτό είναι 10Α + Β = Ρ (για διψήφια απάντηση), 100Α + 10Β + Γ = Ρ (για ένα τρι- ψηφιακή απάντηση) κλπ.

Στο παράδειγμά μας, (10Α+Β) ² = Ρ² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B² Το Θυμηθείτε ότι το 10Α+Β αντιπροσωπεύει την απάντησή μας, Ρ, με το Β στη θέση ενός και το Α στη θέση των δεκάδων. Για παράδειγμα, με Α = 1 και Β = 2, τότε 10Α+Β ισούται με 12. (10Α+Β) είναι η συνολική επιφάνεια του τετραγώνου, ενώ 100A² είναι η περιοχή της μεγαλύτερης πλατείας σε αυτήν, Β² είναι η περιοχή του μικρότερου τετραγώνου σε αυτό, και 10Α × Β είναι το εμβαδόν των δύο παραμένοντων ορθογωνίων. Κάνοντας αυτή τη μακρά και περίπλοκη διαδικασία, βρίσκουμε το συνολικό εμβαδόν ενός τετραγώνου προσθέτοντας τις επιφάνειες των τετραγώνων και των ορθογωνίων στο εσωτερικό του.

Βήμα 7. Αφαιρέστε το A² από το S_ένα.

Μειώστε ένα ζεύγος ψηφίων (S_σι) του S. Αξία του S_ένα μικρό_σι κοντά στο συνολικό εμβαδόν του τετραγώνου, το οποίο μόλις χρησιμοποιήσατε για να αφαιρέσετε το μεγαλύτερο εσωτερικό τετράγωνο. Το υπόλοιπο μπορεί να θεωρηθεί ως ο αριθμός Ν1, τον οποίο πήραμε στο βήμα 4 (Ν1 = 380 στο παράδειγμά μας). N1 ισούται με 2 & φορές: 10A × B + B² (εμβαδόν των δύο ορθογωνίων συν το εμβαδόν του μικρότερου τετραγώνου).

Βήμα 8. Βρείτε N1 = 2 × 10A × B + B², το οποίο είναι επίσης γραμμένο ως N1 = (2 × 10A + B) Β

Στο παράδειγμά μας, γνωρίζετε ήδη τα Ν1 (380) και Α (2), οπότε πρέπει να βρείτε το Β. Πιθανότατα δεν είναι ακέραιος αριθμός, οπότε πρέπει πραγματικά να βρείτε τον μεγαλύτερο ακέραιο Β έτσι ώστε (2 × 10Α + Β) × Β N1. Έτσι έχετε: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)

Βήμα 9. Τελειώστε

Για να λύσετε αυτήν την εξίσωση, πολλαπλασιάστε το Α επί 2, μετατοπίστε το αποτέλεσμα στη θέση των δεκάδων (το ισοδύναμο του πολλαπλασιασμού με 10), βάλτε το Β στη θέση ενός και πολλαπλασιάστε τον αριθμό με το Β. Με άλλα λόγια, λύστε (2 × 10Α + Β) × Β. Αυτό ακριβώς κάνετε όταν γράφετε "N_ × _ =" (με N = 2 × A) στο κάτω δεξί τεταρτημόριο στο βήμα 4. Στο βήμα 5, βρίσκετε τον μεγαλύτερο ακέραιο Β που αντιστοιχεί σε τον αριθμό κάτω από αυτό έτσι ώστε (2 × 10A + B) B N1.

Βήμα 10. Αφαιρέστε την περιοχή (2 × 10A + B) × B από τη συνολική επιφάνεια

Αυτή η αφαίρεση οδηγεί στην περιοχή S- (10A+B) ² που δεν έχει υπολογιστεί (και η οποία θα χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του επόμενου ψηφίου με τον ίδιο τρόπο).

Βήμα 11. Για να υπολογίσετε το επόμενο ψηφίο, C, επαναλάβετε τη διαδικασία

Χαμηλώστε το επόμενο ζεύγος (S_ντο) του S για να πάρετε το Ν2 στα αριστερά και βρείτε το μεγαλύτερο C έτσι ώστε να έχετε (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (ισοδύναμο με το γράψιμο δύο φορές του διψήφιου αριθμού "AB" ακολουθούμενο από "_ × _ =". Βρείτε το μεγαλύτερο ψηφίο που ταιριάζει στα κενά, το οποίο δίνει μια απάντηση μικρότερη ή ίση με Ν2, όπως και πριν.

Συμβουλές

• Η μετακίνηση ενός δεκαδικού σημείου με πολλαπλάσιο δύο ψηφίων σε έναν αριθμό (πολλαπλάσιο του 100) σημαίνει μετακίνηση ενός δεκαδικού σημείου κατά πολλαπλάσιο ενός ψηφίου στην τετραγωνική του ρίζα (πολλαπλάσιο του 10).
• Σε αυτό το παράδειγμα, το 1,73 μπορεί να θεωρηθεί "υπόλοιπο": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
• Αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιαδήποτε βάση, όχι μόνο για τη βάση 10 (δεκαδικό).
• Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον υπολογισμό που είναι πιο βολικός για εσάς. Μερικοί άνθρωποι γράφουν το αποτέλεσμα πάνω από τον αρχικό αριθμό.
• Ένας εναλλακτικός τρόπος χρήσης επαναλαμβανόμενων κλασμάτων είναι να ακολουθήσετε αυτόν τον τύπο: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας του 780, 14, ο ακέραιος του οποίου η τετραγωνική τιμή είναι πλησιέστερη στο 780, το 14 είναι 28, άρα z = 780, 14, x = 28 και y = -3, 86. Εισαγωγή τιμών και υπολογίζοντας εκτιμήσεις μόνο για x + y/(2x) αποδίδει (με απλούστερους όρους) 78207/20800 ή περίπου 27, 931 (1) · επόμενη θητεία, 4374188/156607 ή περίπου 27, 930986 (5). Κάθε όρος προσθέτει περίπου 3 δεκαδικά ψηφία στην ακρίβεια του προηγούμενου αριθμού δεκαδικών ψηφίων.

Προειδοποίηση

Φροντίστε να χωρίσετε τα ψηφία σε ζεύγη ξεκινώντας από το δεκαδικό σημείο. Χωρίζεται 79.520.789.182, 47897 σε "79 52 07 89 18 2, 4 78 97 "θα επιστρέψει έναν άχρηστο αριθμό.