3 τρόποι για να απλοποιήσετε τις τετραγωνικές ρίζες

2024 Συγγραφέας: Jason Gerald | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-16 11:05

Η απλοποίηση της τετραγωνικής ρίζας δεν είναι τόσο δύσκολη όσο φαίνεται. Για να απλοποιήσετε την τετραγωνική ρίζα, πρέπει απλώς να συνυπολογίσετε τον αριθμό και να λάβετε την τετραγωνική ρίζα όποιου τέλειου τετραγώνου βρίσκεται κάτω από την τετραγωνική ρίζα. Εάν θυμάστε τα τέλεια τετράγωνα που χρησιμοποιούνται συνήθως και γνωρίζετε πώς να παριστάνετε αριθμούς, θα μπορείτε να απλοποιήσετε αρκετά καλά τις τετραγωνικές ρίζες.

Βήμα

Μέθοδος 1 από 3: Απλοποίηση τετραγωνικών ριζών με Factoring

Βήμα 1. Κατανοήστε τους παράγοντες

Ο στόχος της απλοποίησης των τετραγωνικών ριζών είναι να τα γράψουμε σε μια μορφή που να είναι εύκολα κατανοητή και να χρησιμοποιείται σε μαθηματικά προβλήματα. Με την παραμέτρηση, ένας μεγάλος αριθμός χωρίζεται σε δύο ή περισσότερους μικρότερους αριθμούς "συντελεστών", για παράδειγμα αλλάζοντας 9 σε 3 x 3. Μόλις βρούμε αυτόν τον παράγοντα, μπορούμε να ξαναγράψουμε την τετραγωνική ρίζα σε απλούστερη μορφή, μερικές φορές ακόμη και να τον αλλάξουμε ένας κανονικός ακέραιος αριθμός. Για παράδειγμα, 9 = (3x3) = 3. Ακολουθήστε αυτά τα βήματα για να μάθετε για αυτήν τη διαδικασία σε πιο πολύπλοκες τετραγωνικές ρίζες.

Βήμα 2. Διαιρέστε τον αριθμό με τον μικρότερο δυνατό πρώτο αριθμό

Εάν ο αριθμός κάτω από την τετραγωνική ρίζα είναι ζυγός αριθμός, διαιρέστε με 2. Αν ο αριθμός σας είναι μονός, δοκιμάστε να διαιρέσετε με το 5. Αν κανένα από αυτά τα τμήματα δεν σας δίνει έναν ακέραιο, δοκιμάστε τον επόμενο αριθμό στην παρακάτω λίστα, διαιρώντας με κάθε αριθμός. πρώτος για να πάρετε έναν ακέραιο ως αποτέλεσμα. Χρειάζεται μόνο να δοκιμάσετε πρώτους αριθμούς, γιατί όλοι οι άλλοι αριθμοί έχουν πρώτους αριθμούς ως παράγοντες. Για παράδειγμα, δεν χρειάζεται να δοκιμάσετε με τον αριθμό 4, επειδή όλοι οι αριθμοί που διαιρούνται με το 4 διαιρούνται επίσης με το 2, το οποίο έχετε δοκιμάσει στο παρελθόν.

• 2
• 3
• 5
• 7
• 11
• 13
• 17

Βήμα 3. Ξαναγράψτε την τετραγωνική ρίζα ως πρόβλημα πολλαπλασιασμού

Συνεχίστε να γράφετε αυτόν τον πολλαπλασιασμό κάτω από την τετραγωνική ρίζα και μην ξεχάσετε να συμπεριλάβετε και τους δύο παράγοντες. Για παράδειγμα, εάν προσπαθείτε να απλοποιήσετε το 98, ακολουθήστε τα παραπάνω βήματα για να διαπιστώσετε ότι 98 2 = 49, άρα 98 = 2 x 49. Ξαναγράψτε τον αριθμό "98" στην αρχική του τετραγωνική ρίζα χρησιμοποιώντας αυτές τις πληροφορίες: 98 = (2 x 49).

Βήμα 4. Επαναλάβετε έναν από τους υπόλοιπους αριθμούς

Πριν μπορέσουμε να απλοποιήσουμε την τετραγωνική ρίζα, πρέπει να συνεχίσουμε να την παραμετροποιούμε έως ότου γίνει δύο ακριβώς ίσοι αριθμοί. Αυτό έχει νόημα αν θυμάστε τι σημαίνει η τετραγωνική ρίζα: ο αριθμός (2 x 2) σημαίνει "ένας αριθμός που μπορείτε να πολλαπλασιάσετε από μόνος του ισούται με 2 x 2". Φυσικά, η απάντηση είναι 2! Έχοντας αυτό κατά νου, ας επαναλάβουμε τα παραπάνω βήματα για να λύσουμε το πρόβλημά μας (2 x 49):

• 2 έχει υπολογιστεί όσο το δυνατόν μικρότερο. (Με άλλα λόγια, αυτός ο αριθμός είναι ένας από τους πρώτους αριθμούς που αναφέρονται παραπάνω). Θα αγνοήσουμε αυτόν τον αριθμό προς το παρόν και θα προσπαθήσουμε πρώτα να διαιρέσουμε με 49.
• Το 49 δεν μπορεί να διαιρεθεί πλήρως με 2, ή με 3 ή με 5. Μπορείτε να το δοκιμάσετε μόνοι σας χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή ή χρησιμοποιώντας μια μακρά διαίρεση. Δεδομένου ότι αυτή η διαίρεση δεν δίνει έναν ακέραιο αριθμό, θα τον αγνοήσουμε και θα δοκιμάσουμε τον επόμενο αριθμό.
• Το 49 διαιρείται πλήρως με 7. 49 7 = 7, άρα 49 = 7 x 7.
• Ξαναγράψτε το παραπάνω πρόβλημα με: (2 x 49) = (2 x 7 x 7).

Βήμα 5. Λύστε με "εξαγωγή" ενός ακέραιου

Αφού λύσετε το πρόβλημα σε δύο ακριβώς ίσους παράγοντες, μπορείτε να το μετατρέψετε σε κανονικό ακέραιο εκτός της τετραγωνικής ρίζας. Αφήστε τους υπόλοιπους παράγοντες να παραμείνουν στην τετραγωνική ρίζα. Για παράδειγμα, (2 x 7 x 7) = (2) √ (7 x 7) = (2) x 7 = 7√ (2).

Ακόμα κι αν μπορείτε να συνειδητοποιήσετε περαιτέρω, δεν θα χρειαστεί να το κάνετε ξανά μόλις βρείτε δύο παράγοντες που ταιριάζουν ακριβώς. Για παράδειγμα, (16) = (4 x 4) = 4. Αν συνεχίσουμε το factoring, θα λάβουμε την ίδια απάντηση αλλά με μεγαλύτερο τρόπο: (16) = (4 x 4) = (2 x 2 x 2 x 2) = (2 x 2) √ (2 x 2) = 2 x 2 = 4

Βήμα 6. Πολλαπλασιάστε όλους τους ακέραιους αριθμούς εάν υπάρχουν περισσότεροι από ένας

Για μερικούς μεγάλους αριθμούς τετραγωνικής ρίζας, μπορείτε να απλοποιήσετε περισσότερες από μία φορές. Εάν συμβαίνει αυτό, πολλαπλασιάστε τον ακέραιο αριθμό που παίρνετε για να πάρετε την τελική απάντηση. Εδώ είναι ένα παράδειγμα:

• 180 = (2 x 90)
• 180 = (2 x 2 x 45)
• 180 = 2√45, αλλά αυτή η τιμή μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω.
• 180 = 2√ (3 x 15)
• 180 = 2√ (3 x 3 x 5)
• √180 = (2)(3√5)
• √180 = 6√5

Βήμα 7. Γράψτε "δεν μπορεί να απλοποιηθεί" εάν δεν υπάρχουν δύο παράγοντες ίσοι

Ορισμένοι αριθμοί τετραγωνικής ρίζας είναι ήδη στην απλούστερη μορφή τους. Εάν συνεχίσετε το factoring έως ότου όλοι είναι πρώτοι αριθμοί (όπως αναφέρονται στο παραπάνω βήμα) και κανένα από τα ζεύγη δεν είναι το ίδιο, τότε δεν μπορείτε να κάνετε τίποτα. Μπορεί να σας δοθεί μια ερώτηση παγίδας! Για παράδειγμα, δοκιμάστε να απλοποιήσετε το 70:

• 70 = 35 x 2, άρα 70 = (35 x 2)
• 35 = 7 x 5, άρα (35 x 2) = (7 x 5 x 2)
• Και οι τρεις αριθμοί εδώ είναι πρώτοι αριθμοί, οπότε δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη περαιτέρω. Οι τρεις αριθμοί είναι διαφορετικοί, επομένως είναι αδύνατο να παραχθεί ένας ακέραιος αριθμός. 70 δεν μπορεί να απλοποιηθεί.

Μέθοδος 2 από 3: Αναγνώριση τέλειων τετραγώνων

Βήμα 1. Θυμηθείτε μερικά τέλεια τετράγωνα

Ο τετραγωνισμός ενός αριθμού ή ο πολλαπλασιασμός με τον ίδιο τον αριθμό, δημιουργεί ένα τέλειο τετράγωνο. Για παράδειγμα, το 25 είναι ένα τέλειο τετράγωνο, επειδή 5 x 5 ή 5², ισούται με 25. Θυμηθείτε τουλάχιστον τα πρώτα δέκα τέλεια τετράγωνα που θα σας βοηθήσουν να εντοπίσετε και να απλοποιήσετε τέλειες τετραγωνικές ρίζες. Ακολουθούν οι πρώτοι δέκα τέλειοι τετράγωνοι αριθμοί:

• 1² = 1
• 2² = 4
• 3² = 9
• 4² = 16
• 5² = 25
• 6² = 36
• 7² = 49
• 8² = 64
• 9² = 81
• 10² = 100

Βήμα 2. Βρείτε την τετραγωνική ρίζα του τέλειου τετραγώνου

Εάν αναγνωρίζετε ένα τέλειο τετράγωνο κάτω από την τετραγωνική ρίζα, μπορείτε αμέσως να το μετατρέψετε σε τετραγωνική ρίζα και να το αφαιρέσετε από το πρόσημο (). Για παράδειγμα, εάν βλέπετε τον αριθμό 25 κάτω από την τετραγωνική ρίζα, γνωρίζετε ήδη ότι η απάντηση είναι 5, επειδή το 25 είναι ένα τέλειο τετράγωνο. Η λίστα είναι η ίδια με την παραπάνω, ξεκινώντας από την τετραγωνική ρίζα μέχρι την απάντηση:

• √1 = 1
• √4 = 2
• √9 = 3
• √16 = 4
• √25 = 5
• √36 = 6
• √49 = 7
• √64 = 8
• √81 = 9
• √100 = 10

Βήμα 3. Προσδιορίστε τον αριθμό σε ένα τέλειο τετράγωνο

Επωφεληθείτε από τα τέλεια τετράγωνα όταν συνεχίζετε με τη μέθοδο παράγοντα απλοποίησης των τετραγωνικών ριζών. Εάν γνωρίζετε τους παράγοντες ενός τέλειου τετραγώνου, τότε θα είστε πιο γρήγοροι και ευκολότεροι να λύσετε προβλήματα. Ακολουθούν μερικές συμβουλές που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε:

• 50 = (25 x 2) = 5√2. Εάν τα δύο τελευταία ψηφία ενός αριθμού τελειώνουν σε 25, 50 ή 75, μπορείτε πάντα να συντελέσετε 25 από αυτόν τον αριθμό.
• 1700 = (100 x 17) = 10√17. Εάν οι δύο τελευταίοι αριθμοί τελειώνουν σε 00, τότε μπορείτε πάντα να συντελέσετε 100 από αυτόν τον αριθμό.
• 72 = (9 x 8) = 3√8. Γνωρίστε τον πολλαπλασιασμό των εννέα για να σας διευκολύνει. Εδώ είναι μια συμβουλή για την αναγνώρισή τους: εάν "όλοι" οι αριθμοί σε έναν αριθμό αθροίζονται σε εννέα, τότε οι εννέα είναι ένας παράγοντας.
• 12 = (4 x 3) = 2√3. Δεν υπάρχουν συγκεκριμένες συμβουλές εδώ, αλλά είναι συνήθως εύκολο να ελέγξετε εάν ένας μικρός αριθμός διαιρείται με το 4. Έχετε αυτό υπόψη κατά την αναζήτηση άλλων παραγόντων.

Βήμα 4. Προσδιορίστε έναν αριθμό με περισσότερα από ένα τέλεια τετράγωνα

Εάν οι συντελεστές ενός αριθμού έχουν περισσότερα από ένα τέλεια τετράγωνα, βγάλτε τα όλα από την τετραγωνική ρίζα. Εάν έχετε πολλά τέλεια τετράγωνα στη διαδικασία απλοποίησης της τετραγωνικής ρίζας, μετακινήστε όλες τις τετραγωνικές ρίζες έξω από το πρόσημο και πολλαπλασιάστε τα όλα μαζί. Για παράδειγμα, προσπαθήστε να απλοποιήσετε το 72:

• 72 = (9 x 8)
• 72 = (9 x 4 x 2)
• 72 = (9) x (4) x (2)
• 72 = 3 x 2 x 2
• √72 = 6√2

Μέθοδος 3 από 3: Κατανόηση των Όρων

Βήμα 1. Γνωρίζετε ότι το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας (√) είναι το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας

Για παράδειγμα, στο πρόβλημα 25, "√" είναι το βασικό πρόσημο.

Βήμα 2. Γνωρίζετε ότι το radicand είναι ο αριθμός μέσα στο σημάδι ρίζας

Αυτός είναι ο αριθμός που πρέπει να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα του 25, το "25" είναι η τετραγωνική ρίζα.

Βήμα 3. Γνωρίζετε ότι ο συντελεστής είναι ένας αριθμός έξω από την τετραγωνική ρίζα

Αυτός ο αριθμός είναι η τετραγωνική ρίζα του πολλαπλασιαστή. αυτός ο αριθμός βρίσκεται αριστερά από το ριζικό πρόσημο. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα 7√2, "7" είναι η τιμή του συντελεστή.

Βήμα 4. Γνωρίζετε ότι ένας συντελεστής είναι ένας αριθμός που διαιρείται πλήρως με έναν αριθμό

Για παράδειγμα, το 2 είναι ένας συντελεστής 8 επειδή 8 4 = 2, αλλά το 3 δεν είναι συντελεστής 8 επειδή το 8 ÷ 3 δεν δίνει έναν ακέραιο αριθμό. Ακριβώς όπως στα άλλα παραδείγματα, το 5 είναι συντελεστής 25 επειδή 5 x 5 = 25.

Βήμα 5. Κατανοήστε το νόημα της απλοποίησης της τετραγωνικής ρίζας

Απλοποίηση της τετραγωνικής ρίζας σημαίνει απλώς υπολογίζοντας το τέλειο τετράγωνο της τετραγωνικής ρίζας, αφαιρώντας το αριστερά από το ριζικό πρόσημο και αφήνοντας τους υπόλοιπους παράγοντες κάτω από το ριζικό πρόσημο. Εάν ένας αριθμός είναι ένα τέλειο τετράγωνο, τότε η τετραγωνική ρίζα θα εξαφανιστεί όταν γράψετε τη ρίζα. Για παράδειγμα, το 98 μπορεί να απλοποιηθεί σε 7√2.

Συμβουλές

Ένας τρόπος για να βρείτε ένα τέλειο τετράγωνο που μπορεί να ληφθεί υπόψη σε έναν αριθμό είναι να δείτε μια λίστα με τέλεια τετράγωνα, ξεκινώντας από τη μικρότερη από την τετραγωνική σας ρίζα ή με τον αριθμό κάτω από την τετραγωνική ρίζα. Για παράδειγμα, όταν ψάχνετε για ένα τέλειο τετράγωνο που δεν είναι μεγαλύτερο από 27, ξεκινήστε με το 25 και προχωρήστε μέχρι το 16 και "σταματήστε στο 9", όταν βρείτε ένα τέλειο τετράγωνο που διαιρεί το 27

Προειδοποίηση

• Η απλοποίηση δεν είναι το ίδιο με τον υπολογισμό της τιμής. Κανένα από τα βήματα αυτής της διαδικασίας δεν απαιτεί να λάβετε έναν αριθμό με δεκαδικό.
• Οι υπολογιστές μπορούν να είναι χρήσιμοι για μεγάλους αριθμούς, αλλά όσο περισσότερο εξασκείστε μόνοι σας, τόσο πιο εύκολο θα είναι να απλοποιήσετε τις τετραγωνικές ρίζες.