Συχνά οι μαθητές καλούνται να γράψουν τις απαντήσεις τους στην απλούστερη μορφή τους - με άλλα λόγια, να γράψουν τις απαντήσεις όσο πιο κομψά γίνεται. Αν και οι μακριές, δύσκαμπτες και σύντομες, καθώς και κομψές, εξισώσεις είναι τεχνικά το ίδιο πράγμα, συχνά, ένα μαθηματικό πρόβλημα δεν θεωρείται ολοκληρωμένο εάν η τελική απάντηση δεν μειωθεί στην απλούστερη μορφή του. Επίσης, η απάντηση στην απλούστερη μορφή της είναι σχεδόν πάντα η ευκολότερη εξίσωση για εργασία. Για το λόγο αυτό, η εκμάθηση του τρόπου απλοποίησης των εξισώσεων είναι μια σημαντική δεξιότητα για τους μαθηματικούς.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 2: Χρήση της ακολουθίας λειτουργίας
Βήμα 1. Γνωρίστε τη σειρά των εργασιών
Όταν απλοποιείτε μαθηματικές εκφράσεις, δεν μπορείτε να εργαστείτε μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, πολλαπλασιάζοντας, προσθέτοντας, αφαιρώντας και ούτω καθεξής με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά. Ορισμένες μαθηματικές πράξεις πρέπει να έχουν προτεραιότητα έναντι άλλων και να γίνονται πρώτα. Στην πραγματικότητα, η χρήση λανθασμένης σειράς λειτουργιών μπορεί να δώσει τη λάθος απάντηση. Η σειρά των πράξεων είναι: το μέρος σε παρένθεση, ο εκθέτης, ο πολλαπλασιασμός, η διαίρεση, η πρόσθεση και τέλος, η αφαίρεση. Ένα ακρωνύμιο που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για να θυμάστε είναι επειδή η μητέρα δεν είναι καλή, κακή και φτωχή.
Σημειώστε ότι, ενώ μια βασική γνώση της σειράς των πράξεων μπορεί να απλοποιήσει τις πιο βασικές εξισώσεις, απαιτούνται ειδικές τεχνικές για την απλοποίηση πολλών μεταβλητών εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένων σχεδόν όλων των πολυωνύμων. Ανατρέξτε στην ακόλουθη δεύτερη μέθοδο για περισσότερες πληροφορίες
Βήμα 2. Ξεκινήστε συμπληρώνοντας όλες τις ενότητες σε παρένθεση
Στα μαθηματικά, οι παρενθέσεις υποδεικνύουν ότι το εσωτερικό μέρος πρέπει να υπολογίζεται ξεχωριστά από την έκφραση που βρίσκεται έξω από τις παρενθέσεις. Ανεξάρτητα από τις πράξεις που υπάρχουν μέσα στις παρενθέσεις, φροντίστε να συμπληρώσετε πρώτα το τμήμα μέσα στις αγκύλες όταν προσπαθείτε να απλοποιήσετε μια εξίσωση. Για παράδειγμα, σε παρένθεση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε πριν προσθέσετε, αφαιρέσετε και ούτω καθεξής.
-
Για παράδειγμα, ας προσπαθήσουμε να απλοποιήσουμε την εξίσωση 2x + 4 (5 + 2) + 32 - (3 + 4/2). Σε αυτήν την εξίσωση, πρέπει πρώτα να λύσουμε το τμήμα μέσα στις αγκύλες, δηλαδή 5 + 2 και 3 + 4/2. 5 + 2 =
Βήμα 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2
Βήμα 5
Το τμήμα στη δεύτερη παρένθεση απλοποιείται σε 5 επειδή σύμφωνα με τη σειρά των λειτουργιών, διαιρούμε τα 4/2 πρώτα στις αγκύλες. Αν δουλεύουμε απλώς από αριστερά προς τα δεξιά, προσθέτουμε πρώτα 3 και 4 και μετά διαιρούμε με 2, δίνοντας τη λάθος απάντηση 7/2
- Σημείωση - εάν υπάρχουν πολλές παρενθέσεις σε παρενθέσεις, συμπληρώστε την ενότητα στην εσωτερική παρένθεση, στη συνέχεια τη δεύτερη εσωτερική, και ούτω καθεξής.
Βήμα 3. Λύστε τον εκθέτη
Αφού ολοκληρώσετε τις αγκύλες, στη συνέχεια, λύστε τον εκθέτη της εξίσωσης σας. Αυτό είναι εύκολο να το θυμηθούμε, επειδή στους εκθέτες, ο βασικός αριθμός και η ισχύς της ισχύος βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο. Βρείτε την απάντηση σε κάθε μέρος του εκθέτη και, στη συνέχεια, συνδέστε την απάντησή σας στην εξίσωση για να αντικαταστήσετε το μέρος του εκθέτη.
Μετά την ολοκλήρωση του τμήματος σε παρένθεση, η εξίσωση του παραδείγματος γίνεται τώρα 2x + 4 (7) + 32 - 5 Το μόνο εκθετικό στο παράδειγμά μας είναι το 32, το οποίο είναι ίσο με 9. Προσθέστε αυτό το αποτέλεσμα στην εξίσωση για να αντικαταστήσετε το 32 με αποτέλεσμα 2x + 4 (7) + 9 - 5.
Βήμα 4. Λύστε το πρόβλημα πολλαπλασιασμού στην εξίσωση σας
Στη συνέχεια, κάντε ό, τι πολλαπλασιασμό χρειάζεται στην εξίσωση σας. Θυμηθείτε ότι ο πολλαπλασιασμός μπορεί να γραφτεί με διάφορους τρόπους. Το σύμβολο × τελεία ή αστερίσκος είναι ένας τρόπος εμφάνισης του πολλαπλασιασμού. Ωστόσο, ένας αριθμός δίπλα σε παρενθέσεις ή μια μεταβλητή (όπως 4 (x)) αντιπροσωπεύει επίσης έναν πολλαπλασιασμό.
-
Υπάρχουν δύο μέρη για τον πολλαπλασιασμό στο πρόβλημά μας: 2x (2x είναι 2 × x) και 4 (7). Δεν γνωρίζουμε την τιμή του x, οπότε το αφήνουμε στο 2x. 4 (7) = 4 × 7 =
Βήμα 28. Το Μπορούμε να ξαναγράψουμε την εξίσωση μας 2x + 28 + 9 - 5.
Βήμα 5. Προχωρήστε στη διαίρεση
Όταν αναζητάτε προβλήματα διαίρεσης στις εξισώσεις σας, λάβετε υπόψη ότι, όπως ο πολλαπλασιασμός, η διαίρεση μπορεί να γραφτεί με διάφορους τρόπους. Ένα από αυτά είναι το σύμβολο, αλλά λάβετε υπόψη ότι οι περικοπές και οι παύλες όπως σε κλάσματα (π.χ. 3/4) υποδηλώνουν επίσης διαίρεση.
Επειδή έχουμε ήδη κάνει τη διαίρεση (4/2) όταν τελειώσαμε τα μέρη σε αγκύλες. Το παράδειγμά μας δεν έχει ήδη πρόβλημα διαίρεσης, οπότε θα παραλείψουμε αυτό το βήμα. Αυτό δείχνει ένα σημαντικό σημείο - δεν χρειάζεται να εκτελέσετε όλες τις λειτουργίες όταν απλοποιείτε μια έκφραση, μόνο τις πράξεις που περιέχονται στο πρόβλημά σας
Βήμα 6. Στη συνέχεια, προσθέστε ό, τι υπάρχει στην εξίσωση σας
Μπορείτε να εργαστείτε από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά είναι ευκολότερο να προσθέσετε πρώτα τους εύκολους προς προσθήκη αριθμούς. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα 49 + 29 + 51 + 71, είναι ευκολότερο να προσθέσουμε 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 και 100 + 100 = 200, από 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129, και 129 + 71 = 200.
Η παραδειγματική μας εξίσωση απλοποιήθηκε εν μέρει σε 2x + 28 + 9 - 5. Τώρα, πρέπει να αθροίσουμε τους αριθμούς που μπορούμε να προσθέσουμε - ας δούμε κάθε πρόβλημα προσθήκης από αριστερά προς τα δεξιά. Δεν μπορούμε να προσθέσουμε 2x και 28 επειδή δεν γνωρίζουμε την τιμή του x, οπότε απλά θα το παραλείψουμε. 28 + 9 = 37, μπορεί να ξαναγραφεί ως 2x + 37 - 5.
Βήμα 7. Το τελευταίο βήμα της ακολουθίας των πράξεων είναι η αφαίρεση
Συνεχίστε το πρόβλημά σας λύνοντας τα υπόλοιπα προβλήματα αφαίρεσης. Μπορεί να μπορείτε να σκεφτείτε την αφαίρεση ως πρόσθεση αρνητικών αριθμών σε αυτό το βήμα ή χρησιμοποιώντας τα ίδια βήματα όπως για ένα πρόβλημα κανονικής προσθήκης - η επιλογή σας δεν θα επηρεάσει την απάντησή σας.
-
Στο πρόβλημά μας, 2x + 37 - 5, υπάρχει μόνο ένα πρόβλημα αφαίρεσης. 37 - 5 =
Βήμα 32.
Βήμα 8. Ελέγξτε την εξίσωση
Μετά την επίλυση χρησιμοποιώντας τη σειρά των πράξεων, η εξίσωση σας θα πρέπει να απλοποιηθεί στην απλούστερη μορφή της. Ωστόσο, εάν η εξίσωση σας περιέχει μία ή περισσότερες μεταβλητές, κατανοήστε ότι οι μεταβλητές σας δεν χρειάζονται επεξεργασία. Για να απλοποιήσετε μια μεταβλητή, πρέπει είτε να βρείτε την τιμή της μεταβλητής σας είτε να χρησιμοποιήσετε ειδικές τεχνικές για να απλοποιήσετε την έκφραση (δείτε το παρακάτω βήμα).
Η τελική μας απάντηση είναι 2x + 32. Δεν μπορούμε να λύσουμε αυτήν την τελική προσθήκη αν δεν γνωρίζουμε την τιμή του x, αλλά αν γνωρίζαμε την τιμή του, αυτή η εξίσωση θα ήταν πολύ πιο εύκολο να λυθεί από τη μεγάλη αρχική μας εξίσωση
Μέθοδος 2 από 2: Απλοποίηση σύνθετων εξισώσεων
Βήμα 1. Προσθέστε τα μέρη που έχουν την ίδια μεταβλητή
Κατά την επίλυση μεταβλητών εξισώσεων, θυμηθείτε ότι μέρη που έχουν την ίδια μεταβλητή και εκθέτη (ή την ίδια μεταβλητή) μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν όπως οι κανονικοί αριθμοί. Αυτό το μέρος πρέπει να έχει την ίδια μεταβλητή και εκθέτη. Για παράδειγμα, μπορούν να προστεθούν 7x και 5x, αλλά 7x και 5x2 δεν μπορεί να προστεθεί.
- Αυτός ο κανόνας ισχύει επίσης για ορισμένες μεταβλητές. Για παράδειγμα, 2xy2 μπορεί να συνοψιστεί με -3xy2, αλλά δεν μπορεί να αθροιστεί με -3x2y ή -3y2.
- Δείτε την εξίσωση x2 + 3x + 6 - 8x. Σε αυτήν την εξίσωση, μπορούμε να προσθέσουμε 3x και -8x επειδή έχουν την ίδια μεταβλητή και εκθέτη. Η απλή εξίσωση γίνεται x2 - 5x + 6.
Βήμα 2. Απλοποιήστε τους κλασματικούς αριθμούς διαιρώντας ή διασταυρώνοντας τους παράγοντες
Τα κλάσματα που έχουν μόνο αριθμούς (και καμία μεταβλητή) στον αριθμητή και τον παρονομαστή μπορούν να απλοποιηθούν με διάφορους τρόπους. Το πρώτο, και ίσως το πιο εύκολο, είναι να σκεφτούμε το κλάσμα ως πρόβλημα διαίρεσης και να διαιρέσουμε τον παρονομαστή με τον αριθμητή. Επίσης, κάθε συντελεστής πολλαπλασιασμού που εμφανίζεται στον αριθμητή και τον παρονομαστή μπορεί να διασταυρωθεί επειδή διαιρώντας τους δύο παράγοντες προκύπτει ο αριθμός 1.
Για παράδειγμα, δείτε το κλάσμα 36/60. Αν έχουμε αριθμομηχανή, μπορούμε να τη διαιρέσουμε για να πάρουμε την απάντηση 0, 6 Το Ωστόσο, εάν δεν έχουμε αριθμομηχανή, μπορούμε ακόμα να την απλοποιήσουμε διασταυρώνοντας τους ίδιους παράγοντες. Ένας άλλος τρόπος φαντασίας 36/60 είναι (6 × 6)/(6 × 10). Αυτό το κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, άρα το κλάσμα μας είναι στην πραγματικότητα 1 × 6/10 = 6/10. Ωστόσο, δεν έχουμε τελειώσει ακόμα - και οι 6 και οι 10 έχουν τον ίδιο συντελεστή, που είναι 2. Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω μέθοδο, το αποτέλεσμα γίνεται 3/5.
Βήμα 3. Στο μεταβλητό κλάσμα, διαγράψτε όλους τους συντελεστές της μεταβλητής
Οι μεταβλητές εξισώσεις σε μορφή κλάσματος έχουν έναν μοναδικό τρόπο απλοποίησης. Όπως τα συνηθισμένα κλάσματα, έτσι και τα μεταβλητά κλάσματα σάς επιτρέπουν να εξαλείψετε παράγοντες που έχουν κοινό κοινό τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Ωστόσο, στα μεταβλητά κλάσματα, αυτοί οι παράγοντες μπορεί να είναι αριθμοί και εξισώσεις της πραγματικής μεταβλητής.
- Ας πούμε την εξίσωση (3x2 + 3x)/(-3x2 Αυτό το κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), το 3x εμφανίζεται τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή. Διασταυρώνοντας αυτούς τους παράγοντες εκτός της εξίσωσης, το αποτέλεσμα γίνεται (x + 1)/(5 - x). Όπως και στην έκφραση (2x2 + 4x + 6)/2, αφού κάθε μέρος διαιρείται με 2, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση ως (2 (x2 + 2x + 3))/2 και στη συνέχεια απλοποιήστε στο x2 + 2x + 3.
- Σημειώστε ότι δεν μπορείτε να διαγράψετε όλες τις ενότητες - μπορείτε να διαγράψετε μόνο τους συντελεστές πολλαπλασιασμού που εμφανίζονται στον αριθμητή και τον παρονομαστή. Για παράδειγμα, στην έκφραση (x (x + 2))/x, το x μπορεί να διασταυρωθεί τόσο από τον αριθμητή όσο και από τον παρονομαστή, έτσι ώστε να γίνει (x + 2)/1 = (x + 2). Ωστόσο, (x + 2)/x δεν μπορεί να διασταυρωθεί σε 2/1 = 2.
Βήμα 4. Πολλαπλασιάστε το τμήμα σε παρένθεση με τη σταθερά
Όταν πολλαπλασιάζετε το τμήμα που έχει τη μεταβλητή στις παρενθέσεις με μια σταθερά, μερικές φορές ο πολλαπλασιασμός κάθε τμήματος στις αγκύλες με μια σταθερά μπορεί να οδηγήσει σε μια απλούστερη εξίσωση. Αυτό ισχύει για σταθερές που αποτελούνται μόνο από αριθμούς και σταθερές που έχουν μεταβλητές.
- Για παράδειγμα, η εξίσωση 3 (x2 + 8) μπορεί να απλοποιηθεί σε 3x2 + 24, ενώ 3x (x2 + 8) μπορεί να απλοποιηθεί σε 3x3 + 24x
- Σημειώστε ότι, σε ορισμένες περιπτώσεις, όπως μεταβλητά κλάσματα, οι σταθερές γύρω από τις παρενθέσεις μπορούν να διασταυρωθούν, ώστε να μην χρειάζεται να πολλαπλασιαστούν με το τμήμα των παρενθέσεων. Σε κλάσματα (3 (x2 + 8))/3x, για παράδειγμα, ο συντελεστής 3 εμφανίζεται τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή, ώστε να μπορούμε να τον διασταυρώσουμε και να απλοποιήσουμε την έκφραση σε (x2 + 8)/x Αυτή η έκφραση είναι απλούστερη και ευκολότερη στην εργασία από (3x)3 + 24x)/3x, που είναι το αποτέλεσμα που θα έχουμε αν το πολλαπλασιάσουμε.
Βήμα 5. Απλοποιήστε με το factoring
Το Factoring είναι μια τεχνική που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να απλοποιήσει ορισμένες μεταβλητές εκφράσεις, συμπεριλαμβανομένων των πολυωνύμων. Σκεφτείτε το factoring ως το αντίθετο του πολλαπλασιασμού με το μέρος της παρένθεσης στο παραπάνω βήμα - μερικές φορές, μια έκφραση μπορεί να θεωρηθεί ως δύο μέρη που πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους και όχι ως ενιαία έκφραση. Αυτό είναι ιδιαίτερα αληθές εάν ο υπολογισμός μιας εξίσωσης σας επιτρέπει να διαγράψετε ένα από τα μέρη της (όπως στα κλάσματα). Σε ορισμένες περιπτώσεις (συχνά με τετραγωνικές εξισώσεις), το factoring μπορεί ακόμη και να σας επιτρέψει να βρείτε τη λύση στην εξίσωση.
- Ας υποθέσουμε ξανά την έκφραση x2 - 5x + 6. Αυτή η έκφραση μπορεί να υπολογιστεί σε (x - 3) (x - 2). Έτσι, αν x2 - 5x + 6 είναι ο αριθμητής μιας δεδομένης εξίσωσης όπου ο παρονομαστής έχει έναν από αυτούς τους παράγοντες, όπως στην έκφραση (x2 - 5x + 6)/(2 (x - 2)), μπορεί να θέλουμε να το γράψουμε σε μορφή συντελεστή για να μπορέσουμε να διαγράψουμε τον παράγοντα με τον παρονομαστή. Με άλλα λόγια, στο (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)), το τμήμα (x - 2) μπορεί να διαγραφεί ως (x - 3)/2.
-
Όπως επισημάνθηκε παραπάνω, ένας άλλος λόγος που μπορεί να θέλετε να παραγοντοποιήσετε τις εξισώσεις σας είναι ότι το factoring μπορεί να σας δώσει απαντήσεις σε ορισμένες εξισώσεις, ειδικά αν είναι γραμμένες ως ίσες με 0. Για παράδειγμα, η εξίσωση x2 - 5x + 6 = 0. Η παραγοντοποίηση δίνει (x - 3) (x - 2) = 0. Δεδομένου ότι οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιασμένος με μηδέν ισούται με μηδέν, γνωρίζουμε ότι αν οποιοδήποτε μέρος της παρένθεσης ισούται με μηδέν, όλη η εξίσωση στα αριστερά του το σύμβολο ίσων, είναι επίσης μηδέν. Ετσι ώστε
Βήμα 3. ντα
Βήμα 2. είναι οι δύο απαντήσεις στην εξίσωση.
