Μια ορθολογική εξίσωση είναι ένα κλάσμα με μία ή περισσότερες μεταβλητές στον αριθμητή ή τον παρονομαστή. Ορθολογική εξίσωση είναι κάθε κλάσμα που περιλαμβάνει τουλάχιστον μία ορθολογική εξίσωση. Όπως και οι συνηθισμένες αλγεβρικές εξισώσεις, οι ορθολογικές εξισώσεις λύνονται εκτελώντας την ίδια πράξη και στις δύο πλευρές της εξίσωσης έως ότου οι μεταβλητές μπορούν να μεταφερθούν και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Δύο ειδικές τεχνικές, ο διασταυρούμενος πολλαπλασιασμός και η εύρεση του ελάχιστου κοινού παρονομαστή, είναι πολύ χρήσιμοι τρόποι μετακίνησης μεταβλητών και επίλυσης ορθολογικών εξισώσεων.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 2: Διασταυρωμένος πολλαπλασιασμός
Βήμα 1. Εάν χρειαστεί, αναδιατάξτε την εξίσωση σας για να πάρετε ένα κλάσμα στη μία πλευρά της εξίσωσης
Ο πολλαπλασιασμός είναι ένας γρήγορος και εύκολος τρόπος επίλυσης ορθολογικών εξισώσεων. Δυστυχώς, αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για ορθολογικές εξισώσεις που περιέχουν τουλάχιστον μία ορθολογική εξίσωση ή κλάσμα σε κάθε πλευρά της εξίσωσης. Εάν η εξίσωση σας δεν πληροί αυτές τις απαιτήσεις διασταυρούμενων προϊόντων, ίσως χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε αλγεβρικές πράξεις για να μετακινήσετε τα μέρη στα σωστά σημεία.
-
Για παράδειγμα, η εξίσωση (x + 3)/4-x/(-2) = 0 μπορεί εύκολα να τεθεί σε εγκάρσια μορφή προϊόντος προσθέτοντας x/(-2) και στις δύο πλευρές της εξίσωσης, έτσι ώστε να γίνει (x + 3)/4 = x/(-2).
Σημειώστε ότι οι δεκαδικοί και ακέραιοι αριθμοί μπορούν να μετατραπούν σε κλάσματα δίνοντας τον παρονομαστή 1. (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, για παράδειγμα, μπορούν να ξαναγραφούν ως (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, καθιστώντας το να πληροί τη συνθήκη πολλαπλασιασμού
- Ορισμένες ορθολογικές εξισώσεις δεν μπορούν εύκολα να μειωθούν σε μια μορφή που έχει ένα κλάσμα ή ορθολογική εξίσωση σε κάθε πλευρά. Σε τέτοιες περιπτώσεις, χρησιμοποιήστε την ίδια προσέγγιση ελάχιστου παρονομαστή.
Βήμα 2. Πολλαπλασιασμός σταυρών
Σταυρός πολλαπλασιασμός σημαίνει πολλαπλασιασμός ενός από τους αριθμητές ενός κλάσματος με τον παρονομαστή ενός άλλου κλάσματος και αντίστροφα. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος στα αριστερά με τον παρονομαστή του κλάσματος στα δεξιά. Επαναλάβετε με τον δεξιό παρονομαστή με τον αριστερό παρονομαστή.
Ο σταυρωτός πολλαπλασιασμός λειτουργεί σύμφωνα με βασικές αλγεβρικές αρχές. Οι ορθολογικές εξισώσεις και άλλα κλάσματα μπορούν να γίνουν μη κλάσματα πολλαπλασιάζοντάς τα με τον παρονομαστή. Το διασταυρούμενο προϊόν είναι βασικά ένας γρήγορος τρόπος πολλαπλασιασμού και των δύο πλευρών μιας εξίσωσης με τους δύο παρονομαστές. Δεν πιστεύω? Δοκιμάστε το - θα έχετε το ίδιο αποτέλεσμα αφού το απλοποιήσετε
Βήμα 3. Κάντε τα δύο προϊόντα ίσα μεταξύ τους
Μετά τον πολλαπλασιασμό σταυρών, θα έχετε δύο αποτελέσματα πολλαπλασιασμού. Κάντε τους ίσους μεταξύ τους και απλοποιήστε για να κάνετε την εξίσωση όσο το δυνατόν πιο απλή.
Για παράδειγμα, εάν η αρχική σας λογική εξίσωση ήταν (x+3)/4 = x/(-2), μετά τον πολλαπλασιασμό σταυρών, η νέα σας εξίσωση γίνεται -2 (x+3) = 4x. Εάν θέλετε, μπορείτε επίσης να το γράψετε ως -2x - 6 = 4x
Βήμα 4. Βρείτε την τιμή της μεταβλητής σας
Χρησιμοποιήστε αλγεβρικές πράξεις για να βρείτε την τιμή της μεταβλητής της εξίσωσης σας. Θυμηθείτε ότι, αν το x εμφανίζεται και στις δύο πλευρές της εξίσωσης, πρέπει να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε το x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης για να αφήσετε το x στη μία μόνο πλευρά της εξίσωσης.
Στο παράδειγμά μας, μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με -2, άρα x+3 = -2x. Η αφαίρεση του x και από τις δύο πλευρές δίνει 3 = -3x. Τέλος, διαιρώντας και τις δύο πλευρές με -3, το αποτέλεσμα γίνεται -1 = x, το οποίο μπορεί να γραφτεί ως x = -1. Βρήκαμε την τιμή του x, λύνοντας την ορθολογική μας εξίσωση
Μέθοδος 2 από 2: Εύρεση του λιγότερου κοινού παρονομαστή
Βήμα 1. Γνωρίστε την ακριβή ώρα για να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο μικρότερο παρονομαστή
Ο ίδιος μικρότερος παρονομαστής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να απλοποιήσει τις ορθολογικές εξισώσεις, καθιστώντας τις αναζητήσιμες για μεταβλητές τιμές. Η εύρεση του ελάχιστου κοινού παρονομαστή είναι καλή ιδέα εάν η ορθολογική εξίσωση σας δεν μπορεί εύκολα να γραφτεί με όρους ενός κλάσματος (και μόνο ενός κλάσματος) σε κάθε πλευρά της εξίσωσης. Για την επίλυση ορθολογικών εξισώσεων με τρία ή περισσότερα μέρη, βοηθάει ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής. Ωστόσο, για να λυθεί μια ορθολογική εξίσωση με δύο μόνο μέρη, είναι ταχύτερη η χρήση διασταυρούμενου προϊόντος.
Βήμα 2. Ελέγξτε τον παρονομαστή κάθε κλάσματος
Προσδιορίστε τον μικρότερο αριθμό που κάθε παρονομαστής μπορεί να διαιρέσει και να παράγει έναν ακέραιο αριθμό. Αυτός ο αριθμός είναι ο λιγότερο κοινός παρονομαστής για την εξίσωση σας.
- Μερικές φορές ο μικρότερος κοινός παρονομαστής - δηλαδή ο μικρότερος αριθμός που έχει όλους τους παράγοντες στον παρονομαστή - είναι σαφώς ορατός. Για παράδειγμα, εάν η εξίσωση σας είναι x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, δεν είναι δύσκολο να δείτε τον μικρότερο αριθμό που έχει συντελεστή 3, 2 και 6, που είναι ο αριθμός 6.
- Ωστόσο, συχνά, ο λιγότερο κοινός παρονομαστής μιας ορθολογικής εξίσωσης δεν είναι σαφώς ορατός. Σε μια τέτοια περίπτωση, δοκιμάστε να ελέγξετε πολλαπλάσια του μεγαλύτερου παρονομαστή μέχρι να βρείτε έναν αριθμό που έχει συντελεστή όλων των άλλων μικρότερων παρονομαστών. Συχνά, ο λιγότερο κοινός παρονομαστής είναι το γινόμενο δύο παρονομαστών. Για παράδειγμα, στην εξίσωση x/8 + 2/6 = (x-3)/9, ο λιγότερο κοινός παρονομαστής είναι 8*9 = 72.
- Εάν ένας ή περισσότεροι από τους παρονομαστές του κλάσματος σας έχουν μεταβλητές, αυτή η διαδικασία είναι πιο δύσκολη, αλλά εφικτή. Σε μια τέτοια περίπτωση, ο λιγότερο κοινός παρονομαστής είναι μια εξίσωση (με μια μεταβλητή) που διαιρείται με όλους τους άλλους παρονομαστές. Για παράδειγμα στην εξίσωση 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής είναι 3x (x-1) επειδή οποιοσδήποτε παρονομαστής μπορεί να τον διαιρέσει-διαιρώντας με (x-1) δίνει 3x, διαιρώντας με 3x δίνει (x-1) και διαιρώντας με x δίνει 3 (x-1).
Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε κάθε κλάσμα στην ορθολογική εξίσωση με 1
Ο πολλαπλασιασμός κάθε μέρους με 1 φαίνεται άχρηστος. Εδώ όμως είναι το κόλπο. Το 1 μπορεί να οριστεί ως οποιοσδήποτε αριθμός είναι ο ίδιος τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή, όπως -2/2 και 3/3, που είναι ο σωστός τρόπος γραφής του 1. Αυτή η μέθοδος εκμεταλλεύεται τον εναλλακτικό ορισμό. Πολλαπλασιάστε κάθε κλάσμα στην ορθολογική σας εξίσωση με 1, γράφοντας τον αριθμό 1 ο οποίος όταν πολλαπλασιαστεί με τον παρονομαστή δίνει τον μικρότερο κοινό παρονομαστή.
- Στο βασικό μας παράδειγμα, θα πολλαπλασιάσουμε το x/3 επί 2/2 για να πάρουμε 2x/6 και θα πολλαπλασιάσουμε το 1/2 επί 3/3 για να πάρουμε το 3/6. Το 2x + 1/6 έχει ήδη τον ίδιο μικρότερο παρονομαστή, που είναι 6, οπότε μπορούμε να τον πολλαπλασιάσουμε με 1/1 ή να τον αφήσουμε ήσυχο.
- Στο παράδειγμά μας με μια μεταβλητή στον παρονομαστή του κλάσματος, η διαδικασία είναι λίγο πιο περίπλοκη. Δεδομένου ότι ο μικρότερος παρονομαστής μας είναι 3x (x-1), πολλαπλασιάζουμε κάθε ορθολογική εξίσωση με κάτι που επιστρέφει 3x (x-1). Θα πολλαπλασιάσουμε το 5/(x-1) επί (3x)/(3x) το οποίο δίνει 5 (3x)/(3x) (x-1), θα πολλαπλασιάσουμε το 1/x επί 3 (x-1)/3 (x- 1) που δίνει 3 (x-1)/3x (x-1) και πολλαπλασιάζοντας το 2/(3x) με (x-1)/(x-1) δίνει 2 (x-1)/3x (x- 1).
Βήμα 4. Απλοποιήστε και βρείτε την τιμή του x
Τώρα, δεδομένου ότι κάθε μέρος της ορθολογικής εξίσωσης έχει τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να αφαιρέσετε τον παρονομαστή από την εξίσωση και να λύσετε τον αριθμητή. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης για να λάβετε την τιμή του αριθμητή. Στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε αλγεβρικές πράξεις για να βρείτε την τιμή του x (ή όποιας μεταβλητής θέλετε να λύσετε) στη μία πλευρά της εξίσωσης.
- Στο βασικό μας παράδειγμα, αφού πολλαπλασιάσουμε όλα τα μέρη με την εναλλακτική μορφή 1, παίρνουμε 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6. Δύο κλάσματα μπορούν να προστεθούν εάν έχουν τον ίδιο παρονομαστή, οπότε μπορούμε να απλοποιήσουμε αυτήν την εξίσωση σε (2x+3)/6 = (3x+1)/6 χωρίς να αλλάξουμε την τιμή. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με 6 για να αφαιρέσετε τον παρονομαστή, οπότε το αποτέλεσμα είναι 2x+3 = 3x+1. Αφαιρέστε το 1 και από τις δύο πλευρές για να πάρετε 2x+2 = 3x και αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές για να πάρετε 2 = x, το οποίο μπορεί να γραφτεί ως x = 2.
- Στο παράδειγμά μας με μια μεταβλητή στον παρονομαστή, η εξίσωση μας μετά τον πολλαπλασιασμό με 1 γίνεται 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). Πολλαπλασιάζοντας όλα τα μέρη με τον ίδιο μικρότερο παρονομαστή, επιτρέποντάς μας να παραλείψουμε τον παρονομαστή, γίνεται 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Αυτό ισχύει επίσης για 5x = 3x -3 + 2x -2, το οποίο απλοποιείται σε 15x = x -5. Η αφαίρεση του x και από τις δύο πλευρές δίνει 14x = -5, το οποίο, τελικά, απλοποιείται στο x = -5/14.
Συμβουλές
- Όταν λύσετε τη μεταβλητή, ελέγξτε την απάντησή σας συνδέοντας την τιμή της μεταβλητής στην αρχική εξίσωση. Εάν η τιμή της μεταβλητής σας είναι σωστή, μπορείτε να απλοποιήσετε την αρχική σας εξίσωση σε μια απλή πρόταση που ισούται πάντα με 1 = 1.
- Σημειώστε ότι μπορείτε να γράψετε οποιοδήποτε πολυώνυμο ως λογική εξίσωση. βάλτε το πάνω από τον παρονομαστή 1. Έτσι x+3 και (x+3)/1 έχουν την ίδια τιμή, αλλά η δεύτερη εξίσωση μπορεί να ταξινομηθεί ως ορθολογική εξίσωση επειδή γράφεται ως κλάσμα.
