Πώς να απλοποιήσετε σύνθετα κλάσματα: 9 βήματα (με εικόνες)

2024 Συγγραφέας: Jason Gerald | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-15 08:12

Ένα σύνθετο κλάσμα είναι ένα κλάσμα στο οποίο ο αριθμητής, ο παρονομαστής ή και τα δύο περιέχουν επίσης ένα κλάσμα. Για το λόγο αυτό τα σύνθετα κλάσματα αναφέρονται μερικές φορές ως "στοιβαγμένα κλάσματα". Η απλοποίηση σύνθετων κλασμάτων μπορεί να είναι εύκολη ή δύσκολη, ανάλογα με το πόσοι αριθμοί υπάρχουν στον αριθμητή και τον παρονομαστή, αν ένας από τους αριθμούς είναι μεταβλητός ή η πολυπλοκότητα του μεταβλητού αριθμού. Δείτε το Βήμα 1 παρακάτω για να ξεκινήσετε!

Βήμα

Μέθοδος 1 από 2: Απλοποίηση σύνθετων κλασμάτων με αντίστροφο πολλαπλασιασμό

Βήμα 1. Απλοποιήστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε ένα μόνο κλάσμα, εάν χρειάζεται

Τα σύνθετα κλάσματα δεν είναι πάντα δύσκολο να επιλυθούν. Στην πραγματικότητα, σύνθετα κλάσματα των οποίων ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν ένα μόνο κλάσμα είναι συνήθως αρκετά εύκολο να επιλυθούν. Έτσι, εάν ο αριθμητής ή ο παρονομαστής (ή και τα δύο) ενός σύνθετου κλάσματος περιέχει πολλαπλά κλάσματα ή κλάσματα και έναν ακέραιο, απλοποιήστε το για να πάρετε ένα μόνο κλάσμα τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή. Βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) δύο ή περισσότερων κλασμάτων.

• Για παράδειγμα, ας πούμε ότι θέλουμε να απλοποιήσουμε ένα σύνθετο κλάσμα (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Πρώτον, θα απλοποιήσουμε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή ενός σύνθετου κλάσματος σε ένα μόνο κλάσμα.

  • Για να απλοποιήσετε τον αριθμητή, χρησιμοποιήστε το LCM 15 που λαμβάνεται πολλαπλασιάζοντας τα 3/5 επί και 3/3. Ο αριθμητής θα είναι 9/15 + 2/15, που ισούται με 11/15.
  • Για να απλοποιήσουμε τον παρονομαστή, θα χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα LCM του 70 που λαμβάνεται πολλαπλασιάζοντας 5/7 επί 10/10 και 3/10 επί 7/7. Ο παρονομαστής θα είναι 50/70 - 21/70, που ισούται με 29/70.
  • Έτσι, το νέο σύνθετο κλάσμα είναι (11/15)/(29/70).

Βήμα 2. Αντιστρέψτε τον παρονομαστή για να βρείτε το αμοιβαίο του

Εξ ορισμού, η διαίρεση ενός αριθμού με έναν άλλο είναι το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό του πρώτου αριθμού με το αντίστροφο του δεύτερου αριθμού. Τώρα που έχουμε ένα σύνθετο κλάσμα με ένα μόνο κλάσμα τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή, θα χρησιμοποιήσουμε αυτήν τη διαίρεση για να απλοποιήσουμε το σύνθετο κλάσμα. Αρχικά, βρείτε το αντίστροφο του κλάσματος στο κάτω μέρος του σύνθετου κλάσματος. Κάντε το "αντιστρέφοντας" το κλάσμα - βάζοντας τον αριθμητή στη θέση του παρονομαστή και αντίστροφα.

• Στο παράδειγμά μας, το κλάσμα στον παρονομαστή του σύνθετου κλάσματος (11/15)/(29/70) είναι 29/70. Για να βρούμε το αντίστροφο, το "αντιστρέφουμε" έτσι ώστε να πάρουμε 70/29.

  Σημειώστε ότι εάν ένα σύνθετο κλάσμα έχει έναν ακέραιο στον παρονομαστή, μπορούμε να το αντιμετωπίσουμε ως κλάσμα και να βρούμε το αντίστροφο. Για παράδειγμα, εάν το σύνθετο κλάσμα είναι (11/15)/(29), μπορούμε να κάνουμε τον παρονομαστή 29/1, που σημαίνει ότι το αμοιβαίο είναι 1/29.

Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του σύνθετου κλάσματος με τον αντίστροφο του παρονομαστή

Τώρα που έχουμε το αντίστροφο του παρονομαστή του σύνθετου κλάσματος, πολλαπλασιάστε τον με τον αριθμητή για να πάρετε ένα απλό κλάσμα. Θυμηθείτε ότι για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα, διασταυρώνουμε μόνο πολλαπλασιασμό - ο αριθμητής του νέου κλάσματος είναι ο αριθμός του αριθμητή των δύο παλαιών κλασμάτων, καθώς και ο παρονομαστής.

Στο παράδειγμά μας, θα πολλαπλασιάσουμε 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 και 15 × 29 = 435. Άρα, το νέο απλό κλάσμα είναι 770/435.

Βήμα 4. Απλοποιήστε το νέο κλάσμα βρίσκοντας τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα

Έχουμε ήδη ένα απλό κλάσμα, οπότε το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να βρούμε τον απλούστερο αριθμό. Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό συντελεστή (GCF) του αριθμητή και του παρονομαστή και διαιρέστε και τα δύο με αυτόν τον αριθμό για να τον απλοποιήσετε.

Ένας από τους κοινούς παράγοντες των 770 και 435 είναι 5. Έτσι, αν διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το 5, παίρνουμε 154/87 Το Τα 154 και 87 δεν έχουν κοινούς παράγοντες, οπότε αυτή είναι η τελική απάντηση!

Μέθοδος 2 από 2: Απλοποίηση σύνθετων κλασμάτων που περιέχουν μεταβλητούς αριθμούς

Βήμα 1. Εάν είναι δυνατόν, χρησιμοποιήστε την παραπάνω αντίστροφη μέθοδο πολλαπλασιασμού

Για να είναι σαφές, σχεδόν όλα τα σύνθετα κλάσματα μπορούν να απλοποιηθούν αφαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με ένα μόνο κλάσμα και πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή με το αντίστροφο του παρονομαστή. Περιλαμβάνονται επίσης σύνθετα κλάσματα που περιέχουν μεταβλητές, αν και όσο πιο περίπλοκη είναι η έκφραση των μεταβλητών σε σύνθετα κλάσματα, τόσο πιο δύσκολη και χρονοβόρα θα είναι η χρήση αντίστροφου πολλαπλασιασμού. Για "εύκολα" σύνθετα κλάσματα που περιέχουν μεταβλητές, ο αντίστροφος πολλαπλασιασμός είναι μια καλή επιλογή, αλλά τα σύνθετα κλάσματα με πολλαπλούς μεταβλητούς αριθμούς στον αριθμητή και τον παρονομαστή μπορεί να είναι ευκολότερο να απλοποιηθούν με τον εναλλακτικό τρόπο που περιγράφεται παρακάτω.

• Για παράδειγμα, το (1/x)/(x/6) είναι εύκολο να απλοποιηθεί με αντίστροφο πολλαπλασιασμό. 1/x × 6/x = 6/x² Το Εδώ δεν χρειάζεται να χρησιμοποιήσετε εναλλακτικές μεθόδους.
• Ωστόσο, το (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))) είναι πιο δύσκολο να απλοποιηθεί με αντίστροφο πολλαπλασιασμό. Η μείωση του αριθμητή και του παρονομαστή των σύνθετων κλασμάτων σε μεμονωμένα κλάσματα, ο πολλαπλασιασμός αντιστρόφως και η μείωση του αποτελέσματος στους απλούστερους αριθμούς μπορεί να είναι μια περίπλοκη διαδικασία. Σε αυτή την περίπτωση, η παρακάτω εναλλακτική μέθοδος μπορεί να είναι ευκολότερη.

Βήμα 2. Εάν ο αντίστροφος πολλαπλασιασμός δεν είναι πρακτικός, ξεκινήστε βρίσκοντας το LCM του κλασματικού αριθμού στο σύνθετο κλάσμα

Το πρώτο βήμα είναι να βρούμε το LCM όλων των κλασματικών αριθμών σε ένα σύνθετο κλάσμα - τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή. Συνήθως, εάν ένας ή περισσότεροι κλασματικοί αριθμοί έχουν έναν αριθμό στον παρονομαστή, το LCM είναι ο αριθμός στον παρονομαστή.

Αυτό είναι πιο εύκολο να γίνει κατανοητό με ένα παράδειγμα. Ας προσπαθήσουμε να απλοποιήσουμε τα σύνθετα κλάσματα που αναφέρθηκαν παραπάνω, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Οι κλασματικοί αριθμοί σε αυτό το σύνθετο κλάσμα είναι (1)/(x+3) και (1)/(x-5). Το LCM των δύο κλασμάτων είναι ο αριθμός στον παρονομαστή: (x+3) (x-5).

Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του σύνθετου κλάσματος με το νεοσυσταθέν LCM

Στη συνέχεια, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό στο σύνθετο κλάσμα με το LCM του κλασματικού αριθμού. Με άλλα λόγια, θα πολλαπλασιάσουμε όλα τα σύνθετα κλάσματα με (KPK)/(KPK). Μπορούμε να το κάνουμε αυτό ανεξάρτητα επειδή (KPK)/(KPK) είναι ίσο με 1. Αρχικά, πολλαπλασιάστε τους ίδιους τους αριθμητές.

• Στο παράδειγμά μας, θα πολλαπλασιάσουμε το σύνθετο κλάσμα, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), δηλαδή ((x+ 3) (x-5))/((x+ 3) (x-5)). Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του σύνθετου κλάσματος, πολλαπλασιάζοντας κάθε αριθμό με (x + 3) (x-5).

  • Αρχικά, ας πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές: (((1)/(x+3))+x - 10) × (x+3) (x -5)

    • = (((x+3) (x-5)/(x+3))+x ((x+3) (x-5))-10 ((x+3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x.)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = Χ³ - 12x² +6x +145

Βήμα 4. Πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του σύνθετου κλάσματος με το LCM όπως θα κάνατε με τον αριθμητή

Συνεχίστε να πολλαπλασιάζετε το σύνθετο κλάσμα με το LCM που βρέθηκε προχωρώντας στον παρονομαστή. Πολλαπλασιάστε όλα, πολλαπλασιάστε κάθε αριθμό με το LCM.

• Ο παρονομαστής του σύνθετου κλάσματος μας, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), είναι x +4 +((1) // (x-5)). Θα το πολλαπλασιάσουμε με το LCM που βρέθηκε, (x+3) (x-5).

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x +3) (x -5)
  • = x ((x+3) (x-5))+4 ((x+3) (x-5))+(1/(x-5)) (x+3) (x-5).
  • = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x- 15) + ((x + 3) (x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = Χ³ + 2x² - 22x - 57

Βήμα 5. Δημιουργήστε ένα νέο και απλοποιημένο κλάσμα από τον πρόσφατα βρεθέντα αριθμητή και παρονομαστή

Αφού πολλαπλασιάσετε το κλάσμα με (KPK)/(KPK) και το απλοποιήσετε συνδυάζοντας τους αριθμούς, το αποτέλεσμα είναι ένα απλό κλάσμα που δεν περιέχει κλασματικό αριθμό. Σημειώστε ότι πολλαπλασιάζοντας με το LCM τον κλασματικό αριθμό στο αρχικό σύνθετο κλάσμα, ο παρονομαστής αυτού του κλάσματος θα εξαντληθεί και θα αφήσει τον μεταβλητό αριθμό και τον ακέραιο αριθμό στον αριθμητή και τον παρονομαστή της απάντησης, χωρίς κανένα κλάσμα.

Με τον αριθμητή και τον παρονομαστή που βρέθηκαν παραπάνω, μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα κλάσμα που είναι ίδιο με το αρχικό σύνθετο κλάσμα, αλλά δεν περιέχει τον κλασματικό αριθμό. Ο αριθμητής που ελήφθη είναι x³ - 12x² + 6x + 145 και ο παρονομαστής που πήραμε ήταν x³ + 2x² - 22x - 57, οπότε το νέο κλάσμα γίνεται (Χ³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

Συμβουλές

• Δείξτε κάθε βήμα της εργασίας. Τα κλάσματα μπορεί να προκαλέσουν σύγχυση εάν τα βήματα μετρούν πολύ γρήγορα ή προσπαθούν να το κάνουν από καρδιάς.
• Βρείτε παραδείγματα σύνθετων κλασμάτων στο διαδίκτυο ή σε βιβλία. Ακολουθήστε κάθε βήμα μέχρι να κατακτηθεί.