6 τρόποι συντελεστών πολυωνύμων δεύτερου βαθμού (τετραγωνικές εξισώσεις)

2024 Συγγραφέας: Jason Gerald | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-19 22:12

Ένα πολυώνυμο περιέχει μια μεταβλητή (x) με μια δύναμη, γνωστή ως βαθμό, και αρκετούς όρους και/ή σταθερές. Ο παράγοντας πολυωνύμου σημαίνει να σπάσουμε την εξίσωση σε απλούστερες εξισώσεις που μπορούν να πολλαπλασιαστούν. Αυτή η δεξιότητα βρίσκεται στην Άλγεβρα 1 και πάνω και μπορεί να είναι δύσκολο να κατανοηθεί εάν οι μαθηματικές σας δεξιότητες δεν είναι σε αυτό το επίπεδο.

Βήμα

Αρχή

Βήμα 1. Ρυθμίστε την εξίσωση σας

Η τυπική μορφή για μια τετραγωνική εξίσωση είναι:

τσεκούρι² + bx + c = 0

Ξεκινήστε παραγγέλνοντας τους όρους στην εξίσωση από την υψηλότερη στη χαμηλότερη ισχύ, όπως ακριβώς σε αυτήν την τυπική μορφή. Για παράδειγμα:

6 + 6x² + 13x = 0

Θα αναδιατάξουμε αυτήν την εξίσωση έτσι ώστε να είναι πιο εύκολο να δουλέψουμε μετακινώντας απλώς τους όρους:

6x² + 13x + 6 = 0

Βήμα 2. Βρείτε τον παράγοντα φόρμας χρησιμοποιώντας μία από τις ακόλουθες μεθόδους

Ο υπολογισμός του πολυωνύμου οδηγεί σε δύο απλούστερες εξισώσεις που μπορούν να πολλαπλασιαστούν για να παραχθεί το αρχικό πολυώνυμο:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

Σε αυτό το παράδειγμα, (2x + 3) και (3x + 2) είναι οι συντελεστές της αρχικής εξίσωσης, 6x² +13x+6.

Βήμα 3. Ελέγξτε τη δουλειά σας

Πολλαπλασιάστε τους παράγοντες που έχετε. Στη συνέχεια, συνδυάστε όρους και τελειώσατε. Αρχισε με:

(2x + 3) (3x + 2)

Ας προσπαθήσουμε, να πολλαπλασιάσουμε τους όρους χρησιμοποιώντας το PLDT (πρώτο - έξω - μέσα - τελευταίο), με αποτέλεσμα:

6x² + 4x + 9x + 6

Από εδώ, μπορούμε να προσθέσουμε 4x και 9x επειδή είναι όροι. Γνωρίζουμε ότι οι παράγοντες μας είναι σωστοί επειδή παίρνουμε την αρχική μας εξίσωση:

6x² + 13x + 6

Μέθοδος 1 από 6: Δοκιμή και σφάλμα

Εάν έχετε ένα αρκετά απλό πολυώνυμο, ίσως μπορείτε να βρείτε τους παράγοντες μόνοι σας κοιτάζοντάς τους. Για παράδειγμα, μετά από εξάσκηση, πολλοί μαθηματικοί μπορούν να καταλάβουν ότι η εξίσωση 4x² Το + 4x + 1 έχει συντελεστή (2x + 1) και (2x + 1) απλά κοιτάζοντάς το συχνά. (Αυτό φυσικά δεν θα είναι εύκολο για πιο περίπλοκα πολυώνυμα). Για αυτό το παράδειγμα, ας χρησιμοποιήσουμε μια εξίσωση που χρησιμοποιείται λιγότερο συχνά:

3x² + 2x - 8

Βήμα 1. Γράψτε μια λίστα με τους παράγοντες του όρου α και του όρου γ

Χρησιμοποιώντας τη μορφή εξίσωσης ax² + bx + c = 0, προσδιορίστε τους όρους a και c και γράψτε τους παράγοντες που έχουν και οι δύο όροι. Για 3x² + 2x - 8, που σημαίνει:

a = 3 και έχει ένα σύνολο παραγόντων: 1 * 3

c = -8 και έχει τέσσερις ομάδες παραγόντων: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 και -1 * 8.

Βήμα 2. Γράψτε δύο σετ αγκύλες με κενά κενά

Θα συμπληρώσετε τα κενά που έχετε δημιουργήσει με σταθερές για κάθε εξίσωση:

(x) (x)

Βήμα 3. Συμπληρώστε τα κενά μπροστά από το x με τα πιθανά ζεύγη παραγόντων για την τιμή του a

Για τον όρο α στο παράδειγμά μας, 3x², υπάρχει μόνο μία πιθανότητα για το παράδειγμά μας:

(3x) (1x)

Βήμα 4. Συμπληρώστε τα δύο κενά μετά το x με ζεύγη παραγόντων για τη σταθερά

Ας υποθέσουμε ότι επιλέγουμε 8 και 1. Γράψτε σε αυτά:

(3x

Βήμα 8.)(

Βήμα 1

Βήμα 5. Προσδιορίστε το πρόσημο (συν ή πλην) μεταξύ της μεταβλητής x και του αριθμού

Ανάλογα με τα σημάδια στην αρχική εξίσωση, μπορεί να είναι δυνατή η αναζήτηση σημείων για σταθερές. Ας υποθέσουμε ότι καλούμε τις δύο σταθερές h και k για τους δύο παράγοντες μας:

Αν τσεκούρι² + bx + c τότε (x + h) (x + k)

Αν τσεκούρι² - bx - c ή τσεκούρι² + bx - c τότε (x - h) (x + k)

Αν τσεκούρι² - bx + c τότε (x - h) (x - k)

Για το παράδειγμά μας, 3x² + 2x - 8, τα σημάδια είναι: (x - h) (x + k), δίνοντάς μας δύο παράγοντες:

(3x + 8) και (x - 1)

Βήμα 6. Δοκιμάστε τις επιλογές σας χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιασμό first-out-in-last (PLDT)

Η πρώτη γρήγορη δοκιμή είναι να διαπιστωθεί εάν ο μεσαίος όρος έχει τουλάχιστον τη σωστή τιμή. Εάν όχι, μπορεί να έχετε επιλέξει λάθος παράγοντες c. Ας δοκιμάσουμε την απάντησή μας:

(3x + 8) (x - 1)

Πολλαπλασιάζοντας παίρνουμε:

3x² - 3x + 8x - 8

Απλοποιώντας αυτήν την εξίσωση προσθέτοντας τους όρους (-3x) και (8x), παίρνουμε:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

Τώρα γνωρίζουμε ότι πρέπει να έχουμε χρησιμοποιήσει λάθος παράγοντες:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

Βήμα 7. Αλλάξτε την επιλογή σας εάν χρειάζεται

Στο παράδειγμά μας, ας δοκιμάσουμε 2 και 4 αντί για 1 και 8:

(3x + 2) (x - 4)

Τώρα ο όρος c μας είναι -8, αλλά το εξωτερικό/εσωτερικό προϊόν μας (3x * -4) και (2 * x) είναι -12x και 2x, το οποίο σε συνδυασμό δεν θα παράγει τον σωστό όρο b +2x.

-12x + 2x = 10x

10x 2x

Βήμα 8. Αντιστρέψτε την παραγγελία εάν είναι απαραίτητο

Ας δοκιμάσουμε να αλλάξουμε 2 και 4:

(3x + 4) (x - 2)

Τώρα, ο όρος c μας (4 * 2 = 8) είναι σωστός, αλλά το εξωτερικό/εσωτερικό προϊόν είναι -6x και 4x. Αν τα συνδυάσουμε:

-6x + 4x = 2x

2x -2x Είμαστε πολύ κοντά στο 2x που ψάχνουμε, αλλά το πρόσημο είναι λάθος.

Βήμα 9. Ελέγξτε ξανά τις ετικέτες σας εάν χρειάζεται

Θα χρησιμοποιήσουμε την ίδια σειρά, αλλά θα ανταλλάξουμε τις εξισώσεις που έχουν το σύμβολο μείον:

(3x - 4) (x + 2)

Τώρα ο όρος c δεν αποτελεί πρόβλημα και το τρέχον εξωτερικό/εσωτερικό προϊόν είναι (6x) και (-4x). Επειδή:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε θετικά 2x από το αρχικό πρόβλημα. Αυτοί πρέπει να είναι οι σωστοί παράγοντες.

Μέθοδος 2 από 6: Αποσύνθεση

Αυτή η μέθοδος θα προσδιορίσει όλους τους πιθανούς παράγοντες των όρων α και γ και θα τους χρησιμοποιήσει για να βρει τους σωστούς παράγοντες. Εάν οι αριθμοί είναι πολύ μεγάλοι ή η εικασία φαίνεται χρονοβόρα, χρησιμοποιήστε αυτήν τη μέθοδο. Ας χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα:

6x² + 13x + 6

Βήμα 1. Πολλαπλασιάστε τον όρο a με τον όρο c

Σε αυτό το παράδειγμα, το a είναι 6 και το c είναι επίσης 6.

6 * 6 = 36

Βήμα 2. Αποκτήστε τον όρο b πραγματοποιώντας παράμετρο και δοκιμές

Άχνουμε για δύο αριθμούς που είναι παράγοντες του προϊόντος a * c που έχουμε προσδιορίσει και επίσης αθροίζονται στον όρο b (13).

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Βήμα 3. Αντικαταστήστε τους δύο αριθμούς που παίρνετε στην εξίσωση σας ως αποτέλεσμα της προσθήκης του όρου b

Ας χρησιμοποιήσουμε το k και το h για να αναπαραστήσουμε τους δύο αριθμούς που έχουμε, 4 και 9:

τσεκούρι² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

Βήμα 4. Παράγοντας το πολυώνυμο ομαδοποιώντας

Τακτοποιήστε τις εξισώσεις έτσι ώστε να μπορείτε να λάβετε τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα τόσο του πρώτου όσο και του δεύτερου όρου. Η ομάδα των παραγόντων πρέπει να είναι η ίδια. Προσθέστε τον Μεγαλύτερο κοινό παράγοντα και τοποθετήστε τον σε παρενθέσεις δίπλα στην ομάδα παραγόντων. Το αποτέλεσμα είναι οι δύο παράγοντες σας:

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Μέθοδος 3 από 6: Τριπλό παιχνίδι

Παρόμοια με τη μέθοδο αποσύνθεσης, η μέθοδος τριπλού παιχνιδιού εξετάζει τους πιθανούς παράγοντες πολλαπλασιασμού των όρων α και γ και χρησιμοποίησης της τιμής β. Δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε αυτήν την εξίσωση παραδείγματος:

8x² + 10x + 2

Βήμα 1. Πολλαπλασιάστε τον όρο a με τον όρο c

Όπως και η μέθοδος ανάλυσης, αυτό θα μας βοηθήσει να προσδιορίσουμε υποψήφιους για τη θητεία β. Σε αυτό το παράδειγμα, το a είναι 8 και το c είναι 2.

8 * 2 = 16

Βήμα 2. Βρείτε δύο αριθμούς οι οποίοι, όταν πολλαπλασιαστούν με αριθμούς, παράγουν αυτόν τον αριθμό με συνολικό άθροισμα ίσο με τον όρο β

Αυτό το βήμα είναι το ίδιο με την ανάλυση - δοκιμάζουμε και απορρίπτουμε υποψήφιους για τη σταθερά. Το γινόμενο των όρων α και γ είναι 16 και ο όρος γ είναι 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Βήμα 3. Πάρτε αυτούς τους δύο αριθμούς και δοκιμάστε τους συνδέοντάς τους στον τύπο τριπλού παιχνιδιού

Πάρτε τους δύο αριθμούς μας από το προηγούμενο βήμα - ας τους πούμε h και k - και συνδέστε τους στην εξίσωση:

((ax + h) (ax + k))/ a

Θα πάρουμε:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Βήμα 4. Παρατηρήστε εάν κάποιος από τους δύο όρους του αριθμητή διαιρείται με α

Σε αυτό το παράδειγμα, είδαμε αν (8x + 8) ή (8x + 2) διαιρείται με 8. (8x + 8) διαιρείται με 8, οπότε θα διαιρέσουμε αυτόν τον όρο με το a και θα αφήσουμε τους άλλους παράγοντες ήσυχους.

(8x + 8) = 8 (x + 1)

Ο όρος στις παρενθέσεις εδώ είναι αυτό που απομένει αφού διαιρέσουμε με τον όρο α.

Βήμα 5. Πάρτε τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα (GCF) ενός ή και των δύο όρων, εάν υπάρχουν

Σε αυτό το παράδειγμα, ο δεύτερος όρος, έχει GCF 2, επειδή 8x + 2 = 2 (4x + 1). Συνδυάστε αυτό το αποτέλεσμα με τον όρο που πήρατε από το προηγούμενο βήμα. Αυτοί είναι οι παράγοντες στην εξίσωση σας.

2 (x + 1) (4x + 1)

Μέθοδος 4 από 6: Διαφορά τετραγωνικών ριζών

Ορισμένοι συντελεστές στα πολυώνυμα μπορούν να είναι «τετράγωνα» ή το γινόμενο δύο αριθμών. Ο εντοπισμός αυτών των τετραγώνων σάς επιτρέπει να παραγοντοποιείτε γρηγορότερα πολλά πολυώνυμα. Δοκιμάστε αυτήν την εξίσωση:

27x² - 12 = 0

Βήμα 1. Βγάλτε τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα, αν είναι δυνατόν

Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να δούμε ότι το 27 και το 12 διαιρούνται με το 3, οπότε παίρνουμε:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

Βήμα 2. Προσδιορίστε εάν οι συντελεστές της εξίσωσης σας είναι τετραγωνικοί αριθμοί

Για να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο, πρέπει να είστε σε θέση να λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο όρων. (Σημειώστε ότι θα αγνοήσουμε το αρνητικό πρόσημο - επειδή αυτοί οι αριθμοί είναι τετράγωνα μπορούν να είναι το γινόμενο δύο θετικών ή αρνητικών αριθμών)

9x² = 3x * 3x και 4 = 2 * 2

Βήμα 3. Χρησιμοποιώντας την τετραγωνική ρίζα που έχετε, γράψτε τους παράγοντες

Θα πάρουμε τις τιμές των a και c από το παραπάνω βήμα μας - a = 9 και c = 4, στη συνέχεια βρίσκουμε την τετραγωνική ρίζα - a = 3 και c = 2. Το αποτέλεσμα είναι ο συντελεστής της εξίσωσης συντελεστή:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Μέθοδος 5 από 6: Τετραγωνικός τύπος

Εάν όλα τα άλλα αποτύχουν και η εξίσωση δεν μπορεί να υπολογιστεί ολόκληρη, χρησιμοποιήστε τον τετραγωνικό τύπο. Δοκιμάστε αυτό το παράδειγμα:

Χ² + 4x + 1 = 0

Βήμα 1. Εισαγάγετε τις απαιτούμενες τιμές στον τετραγωνικό τύπο:

x = -b ± (β² - 4ac)

2α

Παίρνουμε την εξίσωση:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

Βήμα 2. Βρείτε την τιμή του x

Θα λάβετε δύο τιμές. Όπως φαίνεται παραπάνω, έχουμε δύο απαντήσεις:

x = -2 + (3) ή x = -2 -(3)

Βήμα 3. Χρησιμοποιήστε την τιμή x για να βρείτε τους παράγοντες

Συνδέστε τις τιμές x που έχετε στις δύο πολυώνυμες εξισώσεις ως σταθερές. Το αποτέλεσμα είναι οι παράγοντες σας. Αν καλέσουμε τις απαντήσεις μας h και k, γράφουμε τους δύο παράγοντες ως εξής:

(x - h) (x - k)

Σε αυτό το παράδειγμα, η τελική μας απάντηση είναι:

(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))

Μέθοδος 6 από 6: Χρήση της Αριθμομηχανής

Εάν επιτρέπεται να χρησιμοποιείτε αριθμομηχανή, μια αριθμομηχανή γραφικών διευκολύνει πολύ τη διαδικασία παραμετροποίησης, ειδικά για τυποποιημένες δοκιμές. Αυτές οι οδηγίες είναι για την αριθμομηχανή γραφικών TI. Θα χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα εξίσωσης:

y = x² x 2

Βήμα 1. Εισαγάγετε την εξίσωση στην αριθμομηχανή

Θα χρησιμοποιήσετε το factoring της εξίσωσης, η οποία είναι γραμμένη [Y =] στην οθόνη.

Βήμα 2. Γράψτε την εξίσωση χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή σας

Όταν εισαγάγετε την εξίσωση, πατήστε [ΓΡΑΦΗΜΑ] - θα δείτε μια ομαλή καμπύλη που αντιπροσωπεύει την εξίσωση σας (και το σχήμα είναι μια καμπύλη επειδή χρησιμοποιούμε πολυώνυμα).

Βήμα 3. Βρείτε τη θέση όπου η καμπύλη τέμνεται με τον άξονα x

Δεδομένου ότι οι πολυωνυμικές εξισώσεις γράφονται συνήθως ως τσεκούρι² + bx + c = 0, αυτή η τομή είναι η δεύτερη τιμή του x που προκαλεί την εξίσωση μηδέν:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Εάν δεν μπορείτε να προσδιορίσετε πού τέμνεται το γράφημα με τον άξονα x κοιτάζοντάς το, πατήστε [2ο] και μετά [TRACE]. Πατήστε [2] ή επιλέξτε μηδέν. Μετακινήστε τον κέρσορα στα αριστερά της διασταύρωσης και πατήστε [ENTER]. Μετακινήστε τον κέρσορα στα δεξιά της διασταύρωσης και πατήστε [ENTER]. Μετακινήστε τον κέρσορα όσο το δυνατόν πιο κοντά στη διασταύρωση και πατήστε [ENTER]. Η αριθμομηχανή θα βρει την τιμή του x. Κάντε το και για τις άλλες διασταυρώσεις

Βήμα 4. Συνδέστε την τιμή x που ελήφθη από το προηγούμενο βήμα στις δύο παραγοντικές εξισώσεις

Αν ονομάζαμε και τις δύο τιμές x μας h και k, οι εξισώσεις που θα χρησιμοποιούσαμε θα ήταν:

(x - h) (x - k) = 0

Έτσι, οι δύο παράγοντες μας είναι:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Συμβουλές

• Εάν έχετε αριθμομηχανή TI-84 (γράφημα), υπάρχει ένα πρόγραμμα που ονομάζεται SOLVER που θα λύσει τις τετραγωνικές σας εξισώσεις. Αυτό το πρόγραμμα θα λύσει πολυώνυμα οποιουδήποτε βαθμού.
• Εάν ένας όρος δεν είναι γραμμένος, ο συντελεστής είναι 0. Είναι χρήσιμο να ξαναγράψετε την εξίσωση εάν συμβαίνει αυτό, για παράδειγμα: x² + 6 = x² +0x+6.
• Εάν έχετε λάβει υπόψη το πολυώνυμό σας χρησιμοποιώντας έναν τετραγωνικό τύπο και έχετε λάβει την απάντηση ως προς τις ρίζες, ίσως θελήσετε να μετατρέψετε την τιμή του x σε κλάσμα για έλεγχο.
• Εάν ένας όρος δεν έχει γραπτό συντελεστή, ο συντελεστής είναι 1, για παράδειγμα: x² = 1x².
• Μετά από αρκετή εξάσκηση, θα μπορέσετε τελικά να παραγάγετε πολυώνυμα στο κεφάλι σας. Μέχρι να το καταφέρετε, φροντίστε να γράφετε πάντα το πώς-να.