3 Τρόποι Παράγοντας Αλγεβρικές Εξισώσεις

2024 Συγγραφέας: Jason Gerald | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-15 08:12

Στα μαθηματικά, factoring είναι ένας τρόπος εύρεσης αριθμών ή εκφράσεων οι οποίοι όταν πολλαπλασιαστούν παράγουν έναν δεδομένο αριθμό ή εξίσωση. Το Factoring είναι μια χρήσιμη δεξιότητα για να μάθεις να λύνεις απλά προβλήματα άλγεβρας. η ικανότητα να συντελεστεί καλά, γίνεται σημαντική όταν ασχολούμαστε με τετραγωνικές εξισώσεις και άλλες μορφές πολυωνύμων. Το Factoring μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να απλοποιήσει τις αλγεβρικές εκφράσεις για να διευκολύνει τις λύσεις τους. Το Factoring μπορεί ακόμη και να σας δώσει τη δυνατότητα να εξαλείψετε ορισμένες πιθανές απαντήσεις, πολύ πιο γρήγορα από το να τις λύσετε χειροκίνητα.

Βήμα

Μέθοδος 1 από 3: Παράγοντες αριθμοί και απλές αλγεβρικές εκφράσεις

Βήμα 1. Κατανοήστε τον ορισμό του factoring όταν εφαρμόζεται σε μεμονωμένους αριθμούς

Το Factoring είναι μια απλή έννοια, αλλά στην πράξη, μπορεί να είναι προκλητικό όταν εφαρμόζεται σε πολύπλοκες εξισώσεις. Ως εκ τούτου, είναι πιο εύκολο να προσεγγίσουμε την έννοια του factoring ξεκινώντας με απλούς αριθμούς, στη συνέχεια προχωρώντας σε απλές εξισώσεις, προτού τελικά περάσουμε σε πιο πολύπλοκες εφαρμογές. Παράγοντες ενός αριθμού είναι οι αριθμοί που όταν πολλαπλασιάζονται παράγουν τον αριθμό. Για παράδειγμα, οι συντελεστές του 12 είναι 1, 12, 2, 6, 3 και 4, επειδή 1 × 12, 2 × 6 και 3 × 4 είναι ίσοι με 12.

• Ένας άλλος τρόπος για να το σκεφτούμε είναι ότι οι παράγοντες ενός αριθμού είναι αριθμοί που μπορούν να χωριστούν ομοιόμορφα στον αριθμό.

• Μπορείτε να βρείτε όλους τους συντελεστές του αριθμού 60; Χρησιμοποιούμε τον αριθμό 60 για διάφορους σκοπούς (λεπτά σε ώρα, δευτερόλεπτα σε λεπτό κ.λπ.) γιατί μπορεί να διαιρεθεί με πολλούς άλλους αριθμούς.

  Οι συντελεστές του 60 είναι 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 και 60

Βήμα 2. Κατανοήστε ότι οι μεταβλητές εκφράσεις μπορούν επίσης να ληφθούν υπόψη

Ακριβώς όπως μπορούν να ληφθούν υπόψη οι ίδιοι οι αριθμοί, μπορούν επίσης να ληφθούν υπόψη μεταβλητές με συντελεστές αριθμών. Για να το κάνετε αυτό, απλώς βρείτε τους παράγοντες των μεταβλητών συντελεστών. Η γνώση του τρόπου παραμετροποίησης μιας μεταβλητής είναι πολύ χρήσιμη για την απλοποίηση αλγεβρικών εξισώσεων που περιλαμβάνουν αυτήν τη μεταβλητή.

• Για παράδειγμα, η μεταβλητή 12x μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο των συντελεστών 12 και x. Μπορούμε να γράψουμε 12x ως 3 (4x), 2 (6x) κ.λπ., χρησιμοποιώντας όποιον από τους 12 παράγοντες λειτουργεί καλύτερα για τους σκοπούς μας.

  Μπορούμε ακόμη και να συντελέσουμε 12x πολλές φορές. Με άλλα λόγια, δεν χρειάζεται να σταματήσουμε σε 3 (4x) ή 2 (6x) - μπορούμε να συντελέσουμε 4x και 6x για να παράγουμε 3 (2 (2x) και 2 (3 (2x). Φυσικά, αυτές οι δύο εκφράσεις είναι ισοδύναμα

Βήμα 3. Εφαρμόστε τη διανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε αλγεβρικές εξισώσεις συντελεστών

Χρησιμοποιώντας τις γνώσεις σας για τον τρόπο με τον οποίο συντελεστήτε τόσο τους απλούς αριθμούς όσο και τις μεταβλητές με συντελεστές, μπορείτε να απλοποιήσετε απλές αλγεβρικές εξισώσεις βρίσκοντας τους παράγοντες που μοιράζονται οι αριθμοί και οι μεταβλητές στις αλγεβρικές εξισώσεις. Συνήθως, για να απλοποιήσουμε μια εξίσωση, προσπαθούμε να βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα. Αυτή η διαδικασία απλοποίησης είναι δυνατή λόγω της ιδιότητας διανομής του πολλαπλασιασμού, η οποία ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό α, β και γ. a (b + c) = ab + ac.

• Ας δοκιμάσουμε ένα παράδειγμα ερώτησης. Για να παραγοντοποιήσουμε την αλγεβρική εξίσωση 12x + 6, ας προσπαθήσουμε να βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό συντελεστή 12x και 6. 6 είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να διαιρέσει ομοιόμορφα το 12x και το 6, οπότε μπορούμε να απλοποιήσουμε την εξίσωση σε 6 (2x + 1) Το
• Αυτή η διαδικασία ισχύει επίσης για εξισώσεις με αρνητικούς αριθμούς και κλάσματα. Για παράδειγμα, το x/2 + 4, μπορεί να απλοποιηθεί στο 1/2 (x + 8) και το -7x + -21 μπορεί να υπολογιστεί σε -7 (x + 3).

Μέθοδος 2 από 3: Παράγοντες Τετραγωνικές Εξισώσεις

Βήμα 1. Βεβαιωθείτε ότι η εξίσωση είναι σε τετραγωνική μορφή (ax² + bx + c = 0).

Οι τετραγωνικές εξισώσεις έχουν τη μορφή άξονα² + bx + c = 0, όπου a, b και c είναι σταθερές αριθμών και όχι ίσες με 0 (σημειώστε ότι το δοχείο ισούται με 1 ή -1). Εάν έχετε μια εξίσωση που έχει μία μεταβλητή (x) που έχει έναν όρο x στην ισχύ δύο ή περισσότερων, συνήθως μετακινείτε αυτούς τους όρους στην εξίσωση χρησιμοποιώντας απλές αλγεβρικές πράξεις για να πάρετε 0 σε κάθε πλευρά του σημείου και του άξονα ίσων², και τα λοιπά. στην άλλη πλευρά.

• Για παράδειγμα, ας σκεφτούμε μια αλγεβρική εξίσωση. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 μπορεί να απλοποιηθεί σε x² + 6x + 9 = 0, η οποία είναι η τετραγωνική μορφή.
• Εξισώσεις με τη μεγαλύτερη ισχύ του x, όπως το x³, Χ⁴, και τα λοιπά. δεν είναι τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτές οι εξισώσεις είναι κυβικές εξισώσεις, στην τέταρτη ισχύ και ούτω καθεξής, εκτός εάν η εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί για να αφαιρεθούν αυτοί οι όροι x με δυνάμεις μεγαλύτερες από 2.

Βήμα 2. Σε μια τετραγωνική εξίσωση, όπου a = 1, συντελεστής σε (x+d) (x+e), όπου d × e = c και d+e = b

Εάν η τετραγωνική σας εξίσωση έχει τη μορφή x² + bx + c = 0 (με άλλα λόγια, εάν ο συντελεστής του όρου x² = 1), είναι πιθανό (αλλά δεν είναι εγγυημένο) ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια αρκετά εύκολη μέθοδος συντομογραφίας για τον παράγοντα της εξίσωσης. Βρείτε δύο αριθμούς οι οποίοι όταν πολλαπλασιαστούν δίνουν γ και προστίθεται για παραγωγή β. Αφού αναζητήσετε αυτούς τους δύο αριθμούς d και e, τοποθετήστε τους στην ακόλουθη έκφραση: (x+d) (x+e) Το Αυτοί οι δύο όροι, όταν πολλαπλασιαστούν, σας δίνουν την τετραγωνική εξίσωση - με άλλα λόγια, είναι οι παράγοντες της τετραγωνικής σας εξίσωσης.

• Για παράδειγμα, ας σκεφτούμε την τετραγωνική εξίσωση x² + 5x + 6 = 0. 3 και 2 πολλαπλασιάζονται για να δώσουμε 6 και επίσης προστίθενται για να δώσουμε 5, οπότε μπορούμε να απλοποιήσουμε αυτήν την εξίσωση σε (x + 3) (x + 2).

• Η μικρή διαφορά σε αυτή τη βασική μέθοδο συντομογραφίας έγκειται στις διαφορές στις ίδιες τις ομοιότητες:

  • Εάν η τετραγωνική εξίσωση έχει τη μορφή x²-bx+c, η απάντησή σας έχει αυτή τη μορφή: (x - _) (x - _).
  • Αν η εξίσωση έχει τη μορφή x²+ bx + c, η απάντησή σας μοιάζει με αυτήν: (x + _) (x + _).
  • Αν η εξίσωση έχει τη μορφή x²-bx -c, η απάντησή σας έχει τη μορφή (x + _) (x -_).
• Σημείωση: οι αριθμοί στα κενά μπορεί να είναι κλάσματα ή δεκαδικά. Για παράδειγμα, η εξίσωση x² + (21/2) x + 5 = 0 λαμβάνεται υπόψη σε (x + 10) (x + 1/2).

Βήμα 3. Εάν είναι δυνατόν, συνυπολογίστε μέσω ελέγχων

Είτε το πιστεύετε είτε όχι, για απλές τετραγωνικές εξισώσεις, μία από τις επιτρεπόμενες μεθόδους factoring είναι να εξετάσετε το πρόβλημα και μετά να εξετάσετε τις πιθανές απαντήσεις μέχρι να βρείτε τη σωστή απάντηση. Αυτή η μέθοδος είναι επίσης γνωστή ως factoring μέσω εξέτασης. Αν η εξίσωση είναι στη μορφή ax²+bx +c και a> 1, η απάντησή σας είναι στη μορφή (dx +/- _) (πρώην +/- _), όπου d και e είναι σταθερές μη μηδενικών αριθμών που όταν πολλαπλασιάζονται δίνουν a. Ούτε το d ούτε το e (ή και τα δύο) δεν μπορεί να είναι 1, αν και δεν χρειάζεται να είναι. Εάν και τα δύο είναι 1, χρησιμοποιείτε βασικά τη μέθοδο συντομογραφίας που περιγράφεται παραπάνω.

Ας σκεφτούμε ένα παράδειγμα προβλήματος. 3x² - 8x + 4 φαίνεται δύσκολο στην αρχή. Ωστόσο, μόλις συνειδητοποιήσουμε ότι το 3 έχει μόνο δύο παράγοντες (3 και 1), αυτή η εξίσωση γίνεται ευκολότερη επειδή γνωρίζουμε ότι η απάντησή μας πρέπει να έχει τη μορφή (3x +/- _) (x +/- _). Σε αυτήν την περίπτωση, η προσθήκη -2 και στα δύο κενά δίνει τη σωστή απάντηση. -2 × 3x = -6x και -2 × x = -2x. -6x και -2x προσθέτουν έως -8x. -2 × -2 = 4, οπότε μπορούμε να δούμε ότι οι όροι που λαμβάνονται υπόψη στις παρενθέσεις όταν πολλαπλασιάζονται παράγουν την αρχική εξίσωση.

Βήμα 4. Λύστε συμπληρώνοντας το τετράγωνο

Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να υπολογιστούν γρήγορα και εύκολα χρησιμοποιώντας ειδικές αλγεβρικές ταυτότητες. Οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση με τη μορφή x² + 2xh + h² = (x + h)²Το Αν λοιπόν στην εξίσωση η τιμή b είναι διπλάσια από την τετραγωνική ρίζα της τιμής c, η εξίσωση μπορεί να υπολογιστεί ως (x + (ρίζα (c)))².

Για παράδειγμα, η εξίσωση x² Το+6x+9 έχει αυτό το σχήμα. 3² είναι 9 και 3 × 2 είναι 6. Άρα, γνωρίζουμε ότι ο συντελεστής αυτής της εξίσωσης είναι (x + 3) (x + 3), ή (x + 3)².

Βήμα 5. Χρησιμοποιήστε παράγοντες για να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις

Ανεξάρτητα από τον τρόπο με τον οποίο υπολογίσατε την τετραγωνική σας εξίσωση, μόλις ληφθεί υπόψη η εξίσωση, μπορείτε να βρείτε πιθανές απαντήσεις στην τιμή του x κάνοντας κάθε παράγοντα ίσο με το μηδέν και λύνοντάς τους. Δεδομένου ότι αναζητάτε την τιμή του x που καθιστά την εξίσωση σας μηδενική, η τιμή του x που κάνει κάθε παράγοντα ίσο με το μηδέν είναι μια πιθανή απάντηση στην τετραγωνική σας εξίσωση.

Ας επιστρέψουμε στην εξίσωση x² + 5x + 6 = 0. Αυτή η εξίσωση λαμβάνεται υπόψη σε (x + 3) (x + 2) = 0. Εάν ένας από τους δύο παράγοντες ισούται με 0, όλες οι εξισώσεις είναι ίσες με 0, οπότε οι πιθανές απαντήσεις μας για το x είναι αριθμοί- ένας αριθμός που κάνει (x + 3) και (x + 2) ίσα 0. Οι αριθμοί αυτοί είναι -3 και -2, αντίστοιχα.

Βήμα 6. Ελέγξτε τις απαντήσεις σας - μερικές από τις απαντήσεις μπορεί να είναι παραπλανητικές

Όταν βρείτε πιθανές απαντήσεις για το x, συνδέστε τις ξανά στην αρχική σας εξίσωση για να δείτε αν η απάντηση είναι σωστή. Μερικές φορές, οι απαντήσεις που βρίσκετε δεν καθιστούν την αρχική εξίσωση ίση με μηδέν όταν εισάγετε ξανά. Ονομάζουμε αυτήν την απάντηση αποκλίνουσα και την αγνοούμε.

• Ας βάλουμε -2 και -3 στο x² + 5x + 6 = 0. Πρώτον, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Αυτή η απάντηση είναι σωστή, άρα -2 είναι η σωστή απάντηση.

• Τώρα, ας δοκιμάσουμε -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Αυτή η απάντηση είναι επίσης σωστή, οπότε το -3 είναι η σωστή απάντηση.

Μέθοδος 3 από 3: Παράγοντας άλλες εξισώσεις

Βήμα 1. Εάν η εξίσωση εκφράζεται με τη μορφή α²-σι², συντελεστής σε (a+b) (a-b).

Οι εξισώσεις με δύο μεταβλητές έχουν διαφορετικούς παράγοντες από τη βασική τετραγωνική εξίσωση. Για την εξίσωση α²-σι² οτιδήποτε όπου τα a και b δεν είναι ίσα με 0, οι συντελεστές της εξίσωσης είναι (a+b) (a-b).

Για παράδειγμα, η εξίσωση 9x² - 4 ετών² = (3x + 2y) (3x - 2y).

Βήμα 2. Εάν η εξίσωση εκφράζεται με τη μορφή α²+2ab+β², συντελεστής σε (a+b)².

Σημειώστε ότι, εάν το τριωνύμιο είναι της μορφής α²-2ab+b², οι παράγοντες μορφής είναι ελαφρώς διαφορετικοί: (α-β)².

4x. Εξίσωση² + 8xy + 4y² μπορεί να ξαναγραφεί ως 4x² + (2 × 2 × 2) xy + 4y²Το Τώρα, μπορούμε να δούμε ότι η φόρμα είναι σωστή, οπότε μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι οι παράγοντες της εξίσωσης μας είναι (2x + 2y)²

Βήμα 3. Εάν η εξίσωση εκφράζεται με τη μορφή α³-σι³, συντελεστής στο (α-β) (α²+ab+b²).

Τέλος, ήδη αναφέρθηκε ότι οι κυβικές εξισώσεις και ακόμη μεγαλύτερες δυνάμεις, μπορούν να ληφθούν υπόψη, αν και η διαδικασία παραμετροποίησης γίνεται γρήγορα πολύ περίπλοκη.

Για παράδειγμα, 8x³ - 27 ετών³ υπολογίζεται σε (2x - 3y) (4x² + ((2x) (3y)) + 9y²)

Συμβουλές

• ένα²-σι² μπορεί να ληφθεί υπόψη, α²+β² δεν μπορεί να ληφθεί υπόψη.
• Θυμηθείτε πώς να συντελεστεί μια σταθερά. Αυτό μπορεί να βοηθήσει.
• Να είστε προσεκτικοί με τα κλάσματα στη διαδικασία factoring και να εργάζεστε με τα κλάσματα σωστά και προσεκτικά.
• Εάν έχετε ένα τριωνύμιο της μορφής x²+ bx+ (b/2)², ο συντελεστής μορφής είναι (x+(b/2))²Το (Ενδέχεται να αντιμετωπίσετε αυτήν την κατάσταση όταν συμπληρώνετε το τετράγωνο.)
• Θυμηθείτε ότι a0 = 0 (η ιδιότητα του γινομένου του μηδέν).