Όλα τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία ορθή γωνία (90 μοίρες) και η υποτείνουσα είναι η πλευρά απέναντι από αυτήν. Η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου και είναι επίσης πολύ εύκολο να τη βρείτε χρησιμοποιώντας μερικούς διαφορετικούς τρόπους. Αυτό το άρθρο θα σας διδάξει πώς να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα εάν γνωρίζετε τα μήκη των άλλων δύο πλευρών του τριγώνου. Στη συνέχεια, αυτό το άρθρο θα σας διδάξει πώς να προσδιορίσετε την υποτείνουσα ορισμένων ειδικών ορθογώνιων τριγώνων που εμφανίζονται συχνά στις εξετάσεις. Τέλος, αυτό το άρθρο θα σας διδάξει πώς να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας χρησιμοποιώντας το νόμο του Sine εάν γνωρίζετε μόνο το μήκος της μιας πλευράς και τη μέτρηση μιας γωνίας διαφορετικής από την ορθή γωνία.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 3: Χρήση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος
Βήμα 1. Μάθετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα
Το Πυθαγόρειο θεώρημα περιγράφει τη σχέση μεταξύ των πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου. Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι για κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές κατά μήκος του α και β και υποτείνουσα κατά μήκος του γ, ένα2 + β2 = γ2.
Βήμα 2. Βεβαιωθείτε ότι το τρίγωνό σας είναι ορθογώνιο τρίγωνο
Το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει μόνο για ορθογώνια τρίγωνα και εξ ορισμού, μόνο ορθογώνια τρίγωνα έχουν υποτείνουσα. Εάν το τρίγωνό σας έχει μία γωνία ακριβώς 90 μοίρες, είναι ορθογώνιο τρίγωνο και μπορείτε να προχωρήσετε.
Οι ορθές γωνίες συμβολίζονται συχνά σε σχολικά βιβλία και εξετάσεις με ένα μικρό τετράγωνο στη γωνία της γωνίας. Το συγκεκριμένο σήμα σημαίνει "90 μοίρες"
Βήμα 3. Εκχωρήστε μεταβλητές a, b και c στις πλευρές του τριγώνου σας
Η μεταβλητή "c" θα εκχωρείται πάντα στην υποτείνουσα, ή τη μεγαλύτερη πλευρά. Επιλέξτε μία από τις άλλες πλευρές για να είναι "a" και ονομάστε την άλλη πλευρά "b" (δεν έχει σημασία ποια πλευρά είναι a ή b, ο υπολογισμός θα παραμείνει ο ίδιος). Στη συνέχεια, συνδέστε τα μήκη a και b στον τύπο, σύμφωνα με το ακόλουθο παράδειγμα:
Εάν το τρίγωνό σας έχει πλευρές μήκους 3 και 4 και έχετε αντιστοιχίσει τα γράμματα στις πλευρές έτσι ώστε a = 3 και b = 4, θα γράφατε την εξίσωση ως: 32 + 42 = γ2.
Βήμα 4. Βρείτε το τετράγωνο των α και β
Για να βρείτε το τετράγωνο ενός αριθμού, απλά πολλαπλασιάστε τον αριθμό από μόνο του, έτσι ώστε ένα2 = a x a Το Βρείτε τα τετράγωνα των a και b και συνδέστε τα στον τύπο σας.
- Αν a = 3, a2 = 3 x 3, ή 9. Εάν b = 4, β2 = 4 x 4 ή 16.
- Όταν συνδέετε αυτές τις τιμές στην εξίσωση, η εξίσωση σας θα πρέπει τώρα να μοιάζει με αυτήν: 9 + 16 = γ2.
Βήμα 5. Προσθέστε τις τιμές του α2 και σι2.
Συνδέστε το άθροισμα στην εξίσωση και αυτό θα σας δώσει την τιμή του c2Το Απομένει μόνο ένα βήμα και θα λύσετε την υποτείνουσα!
Στο παράδειγμά μας, 9 + 16 = 25, έτσι θα έγραφες 25 = γ2.
Βήμα 6. Βρείτε την τετραγωνική ρίζα του γ2.
Χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας στην αριθμομηχανή σας (ή τη μνήμη ή τον πίνακα πολλαπλασιασμού σας) για να βρείτε την τετραγωνική ρίζα του c2Το Η απάντηση είναι το μήκος της υποτείνουσας σας!
Στο παράδειγμά μας, ντο2 = 25 Το Η τετραγωνική ρίζα του 25 είναι 5 (5 x 5 = 25, Έτσι Ρίζα (25) = 5). Σημαίνει, c = 5, το μήκος της υποτείνουσας μας!
Μέθοδος 2 από 3: Εύρεση της υποτείνουσας ενός ειδικού ορθογώνιου τριγώνου
Βήμα 1. Μάθετε να αναγνωρίζετε τρίγωνα με το Πυθαγόρειο Τριπλό
Τα πλευρικά μήκη του τριπλού Πυθαγόρειου είναι ακέραιοι σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Αυτά τα ειδικά τρίγωνα εμφανίζονται συχνά σε εγχειρίδια γεωμετρίας και τυποποιημένες εξετάσεις όπως ο ΟΗΕ. Αν θυμάστε ιδιαίτερα τα 2 πρώτα τρίδυμα του Πυθαγόρειου, μπορείτε να εξοικονομήσετε πολύ χρόνο σε αυτές τις δοκιμές επειδή θα ανακαλύψετε γρήγορα την υποτείνουσα ενός από αυτά τα τρίγωνα μόνο κοιτάζοντας τα μήκη των πλευρών!
- Το πρώτο τριπλό του Πυθαγόρειου ήταν 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Όταν δείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πόδια μήκους 3 και 4, θα πιστέψετε αμέσως ότι η υποτείνουσα του είναι 5 χωρίς να χρειάζεται να κάνετε υπολογισμούς.
-
Ο τριπλός λόγος Πυθαγόρειας ισχύει ακόμη και αν οι πλευρές πολλαπλασιαστούν με άλλο αριθμό. Για παράδειγμα, ορθογώνιο τρίγωνο με μήκος ποδιού
Βήμα 6. ντα
Βήμα 8. θα έχει υποτείνουσα
Βήμα 10. (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100). Το ίδιο ισχύει και για 9-12-15, και ακόμα 1, 5-2-2, 5 Το Δοκιμάστε τους υπολογισμούς και δείτε μόνοι σας!
- Το δεύτερο πυθαγόρειο τρίπτυχο που εμφανίζεται συχνά στις εξετάσεις είναι 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169). Δώστε επίσης προσοχή στα πολλαπλάσια όπως 10-24-26 και 2, 5-6-6, 5.
Βήμα 2. Θυμηθείτε την αναλογία των πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου 45-45-90
Ένα ορθογώνιο τρίγωνο 45-45-90 έχει γωνίες 45, 45 και 90 μοίρες και ονομάζεται επίσης ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο. Αυτό το τρίγωνο εμφανίζεται συχνά σε τυποποιημένες εξετάσεις και είναι πολύ εύκολο να λυθεί. Ο λόγος των πλευρών αυτού του τριγώνου είναι 1: 1: Ρίζα (2), πράγμα που σημαίνει ότι τα μήκη των ποδιών είναι ίδια και το μήκος της υποτείνουσας είναι απλά το μήκος των ποδιών επί την τετραγωνική ρίζα των δύο.
- Για να υπολογίσετε την υποτείνουσα αυτού του τριγώνου με βάση το μήκος ενός ποδιού του, απλώς πολλαπλασιάστε το μήκος του ποδιού με Sqrt (2).
- Η γνώση αυτών των συγκρίσεων είναι χρήσιμη, ειδικά όταν οι ερωτήσεις για τις εξετάσεις ή τις εργασίες του σπιτιού σας δίνουν τις πλευρές ως μεταβλητές αντί για ακέραιους αριθμούς.
Βήμα 3. Μελετήστε τις πλευρικές αναλογίες ενός ορθογώνιου τριγώνου 30-60-90
Αυτά τα τρίγωνα έχουν γωνιακές μετρήσεις 30, 60 και 90 μοιρών και συμβαίνουν όταν κόβετε το ισόπλευρο τρίγωνο στη μέση. Οι πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου 30-60-90 έχουν πάντα την αναλογία 1: Ρίζα (3): 2, ή x: Ρίζα (3) x: 2x Το Εάν σας δοθεί το μήκος ενός ποδιού ενός ορθογώνιου τριγώνου 30-60-90 και σας ζητηθεί να βρείτε την υποτείνουσα, αυτό το πρόβλημα θα ήταν πολύ εύκολο να γίνει:
-
Εάν σας δοθεί το μήκος του συντομότερου ποδιού (απέναντι σε γωνία 30 μοιρών), απλώς πολλαπλασιάστε το μήκος του ποδιού με 2 για να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας. Για παράδειγμα, αν το μήκος του συντομότερου σκέλους είναι
Βήμα 4., γνωρίζετε ότι το μήκος της υποτείνουσας πρέπει να είναι
Βήμα 8..
-
Εάν σας δοθεί το μήκος του μακρύτερου σκέλους (απέναντι από γωνία 60 μοιρών), πολλαπλασιάστε αυτό το μήκος κατά 2/Root (3) για να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας. Για παράδειγμα, αν το μήκος του μεγαλύτερου σκέλους είναι
Βήμα 4., γνωρίζετε ότι το μήκος της οριστικής υποτείνουσας είναι 4, 62.
Μέθοδος 3 από 3: Εύρεση της υποτείνουσας χρησιμοποιώντας τον νόμο του ημιτόνου
Βήμα 1. Κατανοήστε την έννοια του "Sine"
Οι όροι "ημιτόνος", "συνημίτονο" και "εφαπτομένη" αναφέρονται στις διάφορες αναλογίες μεταξύ των γωνιών και/ή των πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ημίτονο μια γωνία ορίζεται ως το μήκος της πλευράς απέναντι από τη γωνία διαιρείται με τριγωνική υποτείνουσα Το Η συντομογραφία για το ημίτονο στις εξισώσεις και τους αριθμομηχανές είναι αμαρτία.
Βήμα 2. Μάθετε πώς να υπολογίζετε το ημίτονο
Ακόμη και οι βασικοί επιστημονικοί υπολογιστές έχουν ημιτονοειδή λειτουργία. Αναζητήστε το κουμπί που λέει αμαρτία Το Για να βρείτε το ημίτονο μιας γωνίας, πατάτε συνήθως το πλήκτρο αμαρτία και στη συνέχεια εισάγετε τη μέτρηση γωνίας σε μοίρες. Ωστόσο, σε ορισμένες αριθμομηχανές, πρέπει πρώτα να εισαγάγετε τη μέτρηση γωνίας και στη συνέχεια να πατήσετε το κουμπί αμαρτία Το Θα πρέπει να πειραματιστείτε με την αριθμομηχανή σας ή να ελέγξετε το εγχειρίδιο για να καταλάβετε ποια μέθοδο θα χρησιμοποιήσετε.
- Για να βρείτε το ημίτονο γωνίας 80 μοιρών, πρέπει να εισαγάγετε αμαρτία 80 ακολουθούμενο από πρόσημο ίσου ή Enter, ή 80 αμαρτία Το (Η απάντηση είναι -0, 9939.)
- Μπορείτε επίσης να πληκτρολογήσετε "αριθμομηχανή ημιτόνου" σε μια αναζήτηση στον ιστό και να αναζητήσετε εύκολους υπολογιστές, οι οποίοι θα απομακρύνουν κάθε εικασία.
Βήμα 3. Μάθετε τον νόμο του Sine
Ο νόμος των ημιτόνων είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για την επίλυση τριγώνων. Συγκεκριμένα, αυτός ο νόμος μπορεί να σας βοηθήσει να βρείτε την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου εάν γνωρίζετε το μήκος μιας πλευράς και τη μέτρηση μίας γωνίας διαφορετικής από αυτήν την ορθή γωνία. Για οποιοδήποτε τρίγωνο με πλευρές ένα, σι, και ντο, και γωνίες ΕΝΑ, σι, και ντο, ο νόμος του Sine αναφέρει ότι a / sin A = β / αμαρτία Β = γ / αμαρτία Γ.
Ο νόμος των ημιτόνων μπορεί στην πραγματικότητα να χρησιμοποιηθεί για να λύσει οποιοδήποτε τρίγωνο, αλλά μόνο τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν υποτείνουσα
Βήμα 4. Εκχωρήστε μεταβλητές a, b και c στις πλευρές του τριγώνου σας
Η υποτείνουσα (η μεγαλύτερη πλευρά) πρέπει να είναι "c". Για ευκολία, σημειώστε την ετικέτα "a" για την πλευρά γνωστού μήκους και την ετικέτα "b" για την άλλη πλευρά. Η ορθή γωνία απέναντι από την υποτείνουσα είναι "C". Η αντίθετη γωνία "a" είναι η γωνία "A" και η απέναντι γωνία "b" είναι "B".
Βήμα 5. Υπολογίστε τη μέτρηση της τρίτης γωνίας
Δεδομένου ότι είναι ορθή γωνία, το γνωρίζουμε ήδη C = 90 μοίρες, και γνωρίζετε επίσης τις μετρήσεις ΕΝΑ ή σι Το Δεδομένου ότι η μέτρηση του εσωτερικού βαθμού ενός τριγώνου είναι πάντα 180 μοίρες, μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε τη μέτρηση των γωνιών και των τριών χρησιμοποιώντας τον τύπο: 180 - (90 + Α) = Β Το Μπορείτε επίσης να αντιστρέψετε την εξίσωση σε 180 - (90 + Β) = Α.
Για παράδειγμα, αν το γνωρίζετε Α = 40 μοίρες, Β = 180 - (90 + 40) Το Απλοποιήστε το σε Β = 180 - 130, και μπορείτε να το προσδιορίσετε γρήγορα Β = 50 μοίρες.
Βήμα 6. Ελέγξτε το τρίγωνό σας
Σε αυτό το βήμα, γνωρίζετε ήδη τις μετρήσεις των τριών γωνιών και το μήκος της πλευράς α. Τώρα ήρθε η ώρα να συνδέσουμε αυτές τις πληροφορίες στις εξισώσεις του Νόμου του Sine για να καθορίσουμε το μήκος των άλλων δύο πλευρών.
Για να συνεχίσουμε το παράδειγμά μας, ας πούμε το μήκος της πλευράς α = 10. Γωνία C = 90 μοίρες, γωνία Α = 40 μοίρες και γωνία Β = 50 μοίρες
Βήμα 7. Εφαρμόστε τον νόμο του Sine στο τρίγωνό σας
Απλώς πρέπει να συνδέσουμε τους αριθμούς μας και να λύσουμε την ακόλουθη εξίσωση για να βρούμε το μήκος της υποτείνουσας c: μήκος πλευράς a / sin A = μήκος πλευράς c / sin C Το Αυτή η εξίσωση μπορεί να φαίνεται λίγο τρομακτική, αλλά το ημίτονο των 90 μοιρών είναι πάντα το ίδιο και πάντα ισούται με 1! Έτσι, η εξίσωση μας μπορεί να απλοποιηθεί ως εξής: a / sin A = c / 1, ή απλά a / sin A = c.
Βήμα 8. Χωρίστε το μήκος της πλευράς α με το ημίτονο της γωνίας Α για να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας!
Μπορείτε να το βρείτε σε δύο ξεχωριστά βήματα, πρώτα υπολογίζοντας την αμαρτία Α και γράφοντας το αποτέλεσμα, στη συνέχεια διαιρώντας με ένα. Or μπορείτε να εισάγετε τα πάντα στην αριθμομηχανή ταυτόχρονα. Εάν χρησιμοποιείτε αριθμομηχανή, θυμηθείτε να βάλετε τις παρενθέσεις μετά το πρόσημο διαίρεσης. Για παράδειγμα, εισαγάγετε 10 / (αμαρτία 40) ή 10 / (40 αμαρτία), ανάλογα με την αριθμομηχανή σας.
