Οι παράγοντες ενός αριθμού είναι αριθμοί που μπορούν να πολλαπλασιαστούν για να πάρουν αυτόν τον αριθμό. Ένας άλλος τρόπος για να το δούμε είναι ότι κάθε αριθμός είναι το προϊόν πολλαπλών παραγόντων. Η εκμάθηση του πώς να συντελεστεί - δηλαδή, η διάσπαση ενός αριθμού στους συνιστώσες του - είναι μια μαθηματική δεξιότητα που χρησιμοποιείται όχι μόνο στη βασική αριθμητική αλλά και στην άλγεβρα, τον λογισμό και άλλα. Δείτε το Βήμα 1 παρακάτω για να αρχίσετε να μαθαίνετε πώς να παράγοντας!
Βήμα
Μέθοδος 1 από 2: Παράγοντες βασικοί ακέραιοι
Βήμα 1. Γράψτε τον αριθμό σας
Για να ξεκινήσετε το factoring, το μόνο που χρειάζεστε είναι αριθμοί - οποιοσδήποτε αριθμός δεν έχει σημασία, αλλά, σε αυτή την περίπτωση, ας χρησιμοποιήσουμε απλούς ακέραιους αριθμούς. Ο ακέραιος είναι ένας αριθμός που δεν είναι ούτε κλάσμα ούτε δεκαδικό (όλοι οι θετικοί και αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί είναι ακέραιοι).
-
Ας υποθέσουμε ότι επιλέγουμε τον αριθμό
Βήμα 12. Το Γράψτε αυτόν τον αριθμό σε ένα κομμάτι χαρτί.
Βήμα 2. Βρείτε τους δύο αριθμούς οι οποίοι όταν πολλαπλασιαστούν δίνουν τον πρώτο σας αριθμό
Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφτεί ως προϊόν δύο άλλων ακεραίων. Ακόμη και οι πρώτοι αριθμοί μπορούν να γραφτούν ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του 1 με τον ίδιο τον αριθμό. Η σκέψη ενός αριθμού ως προϊόντος δύο παραγόντων απαιτεί οπισθοδρομική σκέψη - πρέπει να αναρωτηθείτε, ποιος πολλαπλασιασμός παράγει αυτόν τον αριθμό;
- Στο παράδειγμά μας, το 12 έχει πολλούς παράγοντες - 12 × 1, 6 × 2 και 3 × 4 ίσοι με 12. Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι οι συντελεστές του 12 είναι 1, 2, 3, 4, 6 και 12 Το Για το σκοπό αυτό, ας χρησιμοποιήσουμε τους παράγοντες 6 και 2.
- Οι ζυγοί αριθμοί είναι πολύ εύκολο να συντελεστούν επειδή κάθε ακέραιος έχει συντελεστή 2. 4 = 2 × 2, 26 = 13 × 2 κ.ο.κ.
Βήμα 3. Προσδιορίστε εάν ο παράγοντας σας μπορεί να ληφθεί υπόψη
Πολλοί αριθμοί - ειδικά μεγάλοι αριθμοί - μπορούν ακόμα να ληφθούν υπόψη πολλές φορές. Όταν βρείτε δύο παράγοντες ενός αριθμού, εάν ο ένας έχει συντελεστή, μπορείτε να παραγάγετε αυτόν τον αριθμό ανάλογα με τον παράγοντα. Ανάλογα με την κατάσταση, μπορεί να είναι πλεονεκτικό ή μειονεκτικό να γίνει κάτι τέτοιο.
Για παράδειγμα, στο παράδειγμά μας, έχουμε συνυπολογίσει το 12 σε 2 × 6. Παρατηρήστε ότι το 6 έχει τον δικό του συντελεστή - 3 × 2 = 6. Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι 12 = 2 × (3 × 2).
Βήμα 4. Σταματήστε το factoring εάν συναντήσετε έναν πρώτο αριθμό
Ένας πρώτος αριθμός είναι ένας αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί μόνο του και 1. Για παράδειγμα, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 και 17 είναι πρώτοι αριθμοί. Εάν συντελέσετε έναν αριθμό και το αποτέλεσμα είναι ένας πρώτος αριθμός, η συνέχιση του παράγοντα είναι άσκοπη. Δεν έχει νόημα να το υπολογίζουμε μια φορά, οπότε σταματήστε το.
Στο παράδειγμά μας, ορίσαμε το 12 σε 2 × (2 × 3). 2, 2 και 3 είναι πρώτοι αριθμοί. Εάν το επαναλάβουμε, θα πρέπει να το συνυπολογίσουμε σε (2 × 1) × ((2 × 1) (3 × 1)), το οποίο είναι άχρηστο, οπότε καλύτερα να αποφεύγεται
Βήμα 5. Παράγοντας τους αρνητικούς αριθμούς με τον ίδιο τρόπο
Οι αρνητικοί αριθμοί μπορούν να ληφθούν υπόψη με τον ίδιο τρόπο όπως και οι θετικοί αριθμοί. Η διαφορά είναι ότι οι συντελεστές πρέπει να παράγουν τον αριθμό όταν πολλαπλασιάζονται, οπότε εάν κάποιος από τους παράγοντες ο αριθμός πρέπει να είναι αρνητικός.
-
Για παράδειγμα, ας συντελέσουμε -60. Δείτε τα παρακάτω:
- -60 = -10 × 6
- -60 = (-5 × 2) × 6
- -60 = (-5 × 2) × (3 × 2)
- -60 = - 5 × 2 × 3 × 2 Το Σημειώστε ότι το γινόμενο ενός αρνητικού αριθμού και πολλών περιττών αριθμών αρνητικών αριθμών θα έχουν το ίδιο αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, - 5 × 2 × -3 × -2 ισούται επίσης με 60.
Μέθοδος 2 από 2: Στρατηγική για τον υπολογισμό μεγάλων αριθμών
Βήμα 1. Γράψτε τους αριθμούς σας παραπάνω σε έναν πίνακα 2 στηλών
Ενώ είναι συνήθως εύκολο να συντελεστούν μικροί ακέραιοι αριθμοί, ο υπολογισμός μεγάλων ακεραίων μπορεί να προκαλέσει σύγχυση. Για τους περισσότερους από εμάς θα είναι απογοητευτικό να λύσουμε έναν αριθμό με 4 ή 5 ψηφία στην ακμή του χρησιμοποιώντας μαθηματικά. Ευτυχώς, η χρήση πινάκων κάνει αυτή τη διαδικασία πολύ πιο εύκολη. Γράψτε τους αριθμούς σας παραπάνω σε έναν πίνακα σε σχήμα Τ με 2 στήλες-θα χρησιμοποιήσετε αυτόν τον πίνακα για να καταγράψετε το factoring σας.
Για αυτό το παράδειγμα, ας επιλέξουμε έναν τετραψήφιο αριθμό προς συντελεστή - 6.552.
Βήμα 2. Διαιρέστε τον αριθμό σας με τον μικρότερο δυνατό πρώτο συντελεστή
Διαιρέστε τον αριθμό σας με τον μικρότερο πρώτο συντελεστή (εκτός από 1), ώστε να μην έχει υπόλοιπο. Γράψτε τους πρώτους παράγοντες στην αριστερή στήλη και γράψτε την απάντηση διαίρεσης στη δεξιά στήλη. Όπως σημειώθηκε παραπάνω, οι ζυγοί αριθμοί είναι πολύ εύκολο να συντελεστούν επειδή ο μικρότερος πρώτος συντελεστής τους είναι πάντα 2. Ωστόσο, οι περιττοί αριθμοί έχουν διαφορετικούς μικρότερους πρώτους συντελεστές.
-
Στο παράδειγμά μας, αφού το 6.552 είναι ζυγός αριθμός, γνωρίζουμε ότι ο μικρότερος πρώτος συντελεστής είναι 2. 6.552 2 = 3.276. Στην αριστερή στήλη, γράφουμε
Βήμα 2. και στη δεξιά στήλη, γράψτε 3.276.
Βήμα 3. Συνεχίστε να λαμβάνετε υπόψη τους αριθμούς με αυτόν τον τρόπο
Στη συνέχεια, πληκτρολογήστε τον αριθμό στη δεξιά στήλη με τον μικρότερο πρώτο συντελεστή, και όχι τον αριθμό στην κορυφή του πίνακα. Γράψτε τον πρώτο συντελεστή στην αριστερή στήλη και τον νέο αριθμό στη δεξιά στήλη. Συνεχίστε να επαναλαμβάνετε αυτήν τη διαδικασία - με κάθε επανάληψη, ο αριθμός στη δεξιά στήλη θα μειώνεται.
-
Συνεχίστε τη διαδικασία μας. 3.276 2 = 1.638, οπότε στο κάτω μέρος της αριστερής στήλης, θα γράψουμε τον αριθμό
Βήμα 2. και πάλι, και κάτω από τη δεξιά στήλη, θα γράψουμε 1.638 Το 1,638 2 = 819, οπότε θα γράψουμε
Βήμα 2. και 819 κάτω από την προηγούμενη στήλη.
Βήμα 4. Προσδιορίστε τους περιττούς αριθμούς δοκιμάζοντας μικρούς πρώτους παράγοντες
Είναι πιο δύσκολο να βρεθεί ο μικρότερος πρώτος συντελεστής ενός περιττού αριθμού από έναν ζυγό αριθμό επειδή ο μικρότερος πρώτος συντελεστής δεν είναι 2. Εάν συναντήσετε έναν περιττό αριθμό, δοκιμάστε να διαιρέσετε με έναν μικρό πρώτο αριθμό διαφορετικό από 2 - 3, 5, 7, 11, και ούτω καθεξής - μέχρι να βρείτε τον παράγοντα που μπορεί να τον διαιρέσει χωρίς υπόλοιπο. Αυτός είναι ο μικρότερος πρώτος συντελεστής του αριθμού.
-
Στο παράδειγμά μας, βρίσκουμε το 819. Το 819 είναι μονός αριθμός, άρα το 2 δεν είναι συντελεστής 819. Αντί να γράψουμε τον αριθμό 2, δοκιμάζουμε τον επόμενο πρώτο αριθμό που είναι 3. 819 3 = 273 και δεν υπάρχει υπόλοιπο, γράφουμε λοιπόν
Βήμα 3. και 273.
- Όταν μαντεύετε παράγοντες, θα πρέπει να δοκιμάσετε όλους τους πρώτους αριθμούς μέχρι την τετραγωνική ρίζα του μεγαλύτερου συντελεστή που βρέθηκε. Εάν δεν μπορείτε να βρείτε έναν συντελεστή που διαιρεί έναν αριθμό χωρίς υπόλοιπο, είναι πιθανώς ένας πρώτος αριθμός και σταματάτε τη διαδικασία παραμετροποίησης.
Βήμα 5. Συνεχίστε μέχρι να βρείτε τον αριθμό 1
Συνεχίστε να διαιρείτε τους αριθμούς στη δεξιά στήλη χρησιμοποιώντας τον μικρότερο πρώτο συντελεστή τους μέχρι να βρείτε τους πρώτους αριθμούς στη δεξιά στήλη. Χωρίστε αυτόν τον αριθμό από μόνο του - έτσι ώστε να παραμείνει ο αριθμός στη δεξιά στήλη και 1 στη δεξιά στήλη.
-
Ολοκληρώστε το factoring του αριθμού μας. Δείτε τα παρακάτω για μια λεπτομερή ανάλυση:
-
Διαιρέστε ξανά με το 3: 273 3 = 91, κανένα υπόλοιπο, οπότε γράφουμε
Βήμα 3. και 91.
-
Ας δοκιμάσουμε ξανά τον αριθμό 3: Το 3 δεν είναι συντελεστής 91, και ο επόμενος πρώτος (5) δεν είναι συντελεστής, αλλά 91 7 = 13, χωρίς υπόλοιπο, οπότε γράφουμε
Βήμα 7. ντα
Βήμα 13..
-
Ας δοκιμάσουμε ξανά τον αριθμό 7: το 7 δεν είναι συντελεστής 13 και ο επόμενος πρώτος αριθμός (11) δεν είναι παράγοντας, αλλά διαιρείται από μόνος του: 13 13 = 1. Έτσι, για να συμπληρώσουμε τον πίνακα μας, γράφουμε
Βήμα 13. ντα
Βήμα 1. Το Το Factoring ολοκληρώθηκε.
-
Βήμα 6. Χρησιμοποιήστε τους αριθμούς στην αριστερή στήλη ως παράγοντες για τους αριθμούς σας
Εάν έχετε βρει 1 στη δεξιά στήλη, το factoring είναι πλήρες. Οι αριθμοί στην αριστερή στήλη είναι οι παράγοντες. Με άλλα λόγια, αν πολλαπλασιάσετε όλους αυτούς τους αριθμούς, θα λάβετε τον αριθμό που βρίσκεται στην κορυφή του πίνακα. Εάν ο ίδιος παράγοντας εμφανιστεί πολλές φορές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το τετράγωνο για να εξοικονομήσετε χώρο. Για παράδειγμα, εάν υπάρχουν 4 παράγοντες των 2, μπορείτε να γράψετε 24 έναντι της γραφής 2 × 2 × 2 × 2.
Στο παράδειγμά μας, 6.552 = 23 × 32 × 7 × 13 Το Πρόκειται για μια πλήρη παραγοντοποίηση των 6,552 σε πρωταρχικούς παράγοντες. Η σειρά αυτών των αριθμών δεν θα έχει καμία επίδραση. το προϊόν θα είναι ακόμα 6.552.
Συμβουλές
- Ένα άλλο σημαντικό πράγμα είναι η έννοια των αριθμών πρωταρχικό: αριθμός που έχει μόνο δύο παράγοντες, 1 και τον ίδιο. Το 3 είναι πρώτος αριθμός επειδή οι συντελεστές του είναι μόνο 1 και 3. Ωστόσο, το 4 έχει συντελεστή 2. Οι αριθμοί που δεν είναι πρώτοι ονομάζονται σύνθετοι. (Ωστόσο, ο αριθμός 1 δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος - είναι ξεχωριστός).
- Οι χαμηλότεροι πρώτοι αριθμοί είναι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 και 23.
- Κατανοήστε ότι ένας αριθμός είναι παράγοντας ένας άλλος αριθμός - έτσι ώστε ο μεγαλύτερος αριθμός να διαιρείται με τον μικρότερο αριθμό χωρίς υπόλοιπο. Για παράδειγμα, το 6 είναι συντελεστής 24 επειδή 24 6 = 4 και δεν υπάρχει υπόλοιπο. Ωστόσο, το 6 δεν είναι συντελεστής 25.
- Λάβετε υπόψη ότι μιλάμε μόνο για φυσικούς αριθμούς - που μερικές φορές ονομάζονται αριθμοί καταμέτρησης: 1, 2, 3, 4, 5… Δεν θα υπολογίζουμε αρνητικούς αριθμούς ή κλάσματα, καθώς δεν είναι κατάλληλοι για αυτό το άρθρο.
- Ορισμένοι αριθμοί μπορούν να ληφθούν υπόψη με γρηγορότερο τρόπο, αλλά λειτουργεί συνεχώς, ως μπόνους, οι κύριοι παράγοντες ταξινομούνται από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο όταν τελειώσετε.
- Εάν οι αριθμοί προστίθενται και είναι πολλαπλάσιοι του τριών, τότε ένας από τους παράγοντες του αριθμού είναι τρεις. (819 = 8+1+9 = 18, 1+8 = 9. Τρία είναι συντελεστής 9 άρα συντελεστής 819.)
