Στο λογισμό, όταν έχετε μια εξίσωση για y γραμμένη στη μορφή x (π.χ. y = x2 -3x), είναι εύκολο να χρησιμοποιηθούν βασικές τεχνικές εξαγωγής (που αναφέρονται από τους μαθηματικούς ως τεχνικές παραγώγων έμμεσης συνάρτησης) για να βρεθεί η παράγωγος. Ωστόσο, για εξισώσεις που είναι δύσκολο να κατασκευαστούν μόνο με τον όρο y στη μία πλευρά του σημείου ίσων (π.χ. x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19), απαιτείται διαφορετική προσέγγιση. Με μια τεχνική που ονομάζεται παράγωγα έμμεσης συνάρτησης, είναι εύκολο να βρείτε παράγωγα πολλαπλών μεταβλητών εξισώσεων, αρκεί να γνωρίζετε τα βασικά των ρητών παραγώγων συνάρτησης!
Βήμα
Μέθοδος 1 από 2: Γρήγορη εξαγωγή απλών εξισώσεων
Βήμα 1. Εξαγάγετε τους όρους x ως συνήθως
Όταν προσπαθείτε να εξάγετε μια εξίσωση πολλαπλών μεταβλητών όπως το x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19, μπορεί να είναι δύσκολο να γνωρίζουμε από πού να ξεκινήσουμε. Ευτυχώς, το πρώτο βήμα της παραγώγου μιας έμμεσης συνάρτησης είναι το πιο εύκολο. Απλώς αντλήστε τους όρους x και τις σταθερές και στις δύο πλευρές της εξίσωσης σύμφωνα με τους κανόνες των συνηθισμένων (ρητών) παραγώγων για αρχή. Αγνοήστε τους όρους y προς το παρόν.
-
Ας προσπαθήσουμε να παραγάγουμε ένα παράδειγμα της παραπάνω απλής εξίσωσης. Χ2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19 έχει δύο όρους x: x2 και -5x Αν θέλουμε να εξάγουμε μια εξίσωση, πρέπει να το κάνουμε πρώτα, όπως αυτό:
-
- Χ2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19
- (Κατεβάστε τη δύναμη του 2 σε x2 ως συντελεστής, αφαιρέστε το x σε -5x και αλλάξτε 19 σε 0)
- 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
-
Βήμα 2. Εξαγάγετε τους όρους y και προσθέστε (dy/dx) δίπλα σε κάθε όρο
Για το επόμενο βήμα σας, απλώς αντλήστε τους όρους y με τον ίδιο τρόπο που βγάλατε τους όρους x. Αυτή τη φορά, ωστόσο, προσθέστε (dy/dx) δίπλα σε κάθε όρο όπως θα προσθέσατε συντελεστές. Για παράδειγμα, εάν μειώσετε το y2, τότε το παράγωγο γίνεται 2y (dy/dx). Αγνοήστε τους όρους που έχουν x και y προς το παρόν.
-
Στο παράδειγμά μας, η εξίσωση μας μοιάζει τώρα με αυτήν: 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0. Θα εκτελέσουμε το επόμενο βήμα εξαγωγής του y ως εξής:
-
- 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
- (Κατεβάστε τη δύναμη του 2 σε y2 ως συντελεστές, αφαιρέστε το y σε 8y και τοποθετήστε dy/dx δίπλα σε κάθε όρο).
- 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy2= 0
-
Βήμα 3. Χρησιμοποιήστε τον κανόνα προϊόντος ή τον κανόνα πηλίκο για όρους που έχουν x και y
Η εργασία με όρους που έχουν x και y είναι λίγο δύσκολη, αλλά αν γνωρίζετε τους κανόνες για το προϊόν και το πηλίκο για τα παράγωγα, θα το βρείτε εύκολα. Εάν οι όροι x και y πολλαπλασιαστούν, χρησιμοποιήστε τον κανόνα προϊόντος ((f × g) '= f' × g + g × f '), αντικαθιστώντας τον όρο x με το f και τον όρο y με το g. Από την άλλη πλευρά, εάν οι όροι x και y αλληλοαποκλείονται, χρησιμοποιήστε τον κανόνα πηλίκο ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g2), αντικαθιστώντας τον αριθμητή με τη f και τον παρονομαστή με το g.
-
Στο παράδειγμά μας, 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy2 = 0, έχουμε μόνο έναν όρο που έχει x και y - 2xy2Το Δεδομένου ότι τα x και y πολλαπλασιάζονται το ένα με το άλλο, θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα προϊόντος για να προκύψει ως εξής:
-
- 2xy2 = (2x) (y2)- σύνολο 2x = f και y2 = g σε (f × g) '= f' × g + g × f '
- (f × g) '= (2x)' × (y2) + (2x) (y2)'
- (f × g) '= (2) × (y2) + (2x) × (2y (dy/dx))
- (f × g) '= 2y2 + 4xy (dy/dx)
-
- Προσθέτοντας αυτό στην κύρια εξίσωση, παίρνουμε 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0
Βήμα 4. Μόνος (dy/dx)
Εχεις σχεδόν τελειώσει! Τώρα, το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να λύσετε την εξίσωση (dy/dx). Αυτό φαίνεται δύσκολο, αλλά συνήθως δεν είναι - θυμηθείτε ότι οι δύο όροι a και b πολλαπλασιάζονται με (dy/dx) μπορούν να γραφτούν ως (a + b) (dy/dx) λόγω της διανεμητικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού. Αυτή η τακτική μπορεί να κάνει την απομόνωση (dy/dx) ευκολότερη - απλώς μετακινήστε όλους τους άλλους όρους στην άλλη πλευρά των παρενθέσεων και, στη συνέχεια, διαιρέστε με τους όρους στις παρενθέσεις δίπλα (dy/dx).
-
Στο παράδειγμά μας, απλοποιούμε 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0 ως εξής:
-
- 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y2 - 2x + 5
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)
-
Μέθοδος 2 από 2: Χρήση προηγμένων τεχνικών
Βήμα 1. Εισαγάγετε την τιμή (x, y) για να βρείτε (dy/dx) για οποιοδήποτε σημείο
Ασφαλής! Έχετε ήδη εξάγει την εξίσωση σας σιωπηρά - δεν είναι εύκολη δουλειά στην πρώτη προσπάθεια! Η χρήση αυτής της εξίσωσης για να βρείτε την κλίση (dy/dx) για οποιοδήποτε σημείο (x, y) είναι τόσο εύκολη όσο το να συνδέσετε τις τιμές x και y για το σημείο σας στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης και, στη συνέχεια, να βρείτε (dy/dx) Το
-
Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε την κλίση στο σημείο (3, -4) για την παραπάνω εξίσωση παραδείγματος. Για να το κάνουμε αυτό, θα αντικαταστήσουμε το 3 με το x και το -4 με το y, λύνοντας ως εξής:
-
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)
- (dy/dx) = (-2 (-4)2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)
- (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))
- (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12)))
- (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12)))
- (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, ή 0, 6875.
-
Βήμα 2. Χρησιμοποιήστε τον κανόνα αλυσίδας για συναρτήσεις-εντός-συναρτήσεων
Ο κανόνας της αλυσίδας είναι μια σημαντική γνώση που πρέπει να έχετε όταν εργάζεστε σε προβλήματα λογισμού (συμπεριλαμβανομένων προβλημάτων παραγώγων έμμεσης συνάρτησης). Ο κανόνας της αλυσίδας δηλώνει ότι για μια συνάρτηση F (x) η οποία μπορεί να γραφτεί ως (f) ο ζ) (x), το παράγωγο του F (x) είναι ίσο με f '(g (x)) g' (x) Το Για δύσκολα προβλήματα σιωπηρών παραγώγων συνάρτησης, αυτό σημαίνει ότι είναι δυνατό να εξαχθούν τα διαφορετικά επιμέρους μέρη της εξίσωσης και στη συνέχεια να συνδυαστούν τα αποτελέσματα.
-
Ως απλό παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε το παράγωγο της αμαρτίας (3x2 + x) ως μέρος του μεγαλύτερου υπονοούμενου συνάρτησης παραγώγου προβλήματος για την εξίσωση sin (3x2 + x) + y3 = 0. Αν φανταστούμε την αμαρτία (3x2 + x) ως f (x) και 3x2 + x ως g (x), μπορούμε να βρούμε την παράγωγο ως εξής:
-
- f '(g (x)) g' (x)
- (αμαρτία (3x2 + x)) '× (3x2 +x) '
- cos (3x2 + x) × (6x + 1)
- (6x + 1) cos (3x2 +x)
-
Βήμα 3. Για εξισώσεις με τις μεταβλητές x, y και z, βρείτε (dz/dx) και (dz/dy)
Αν και ασυνήθιστο στον βασικό υπολογισμό, ορισμένες προηγμένες εφαρμογές μπορεί να απαιτούν την εξαγωγή έμμεσων συναρτήσεων περισσότερων από δύο μεταβλητών. Για κάθε πρόσθετη μεταβλητή, πρέπει να βρείτε το πρόσθετο παράγωγό της σε σχέση με το x. Για παράδειγμα, εάν έχετε x, y και z, θα πρέπει να αναζητήσετε και τα δύο (dz/dy) και (dz/dx). Μπορούμε να το κάνουμε αυτό αντλώντας την εξίσωση σε σχέση με το x δύο φορές - πρώτα, θα εισάγουμε (dz/dx) κάθε φορά που εξάγουμε έναν όρο που περιέχει z, και δεύτερον, θα εισάγουμε (dz/dy) κάθε φορά που παράγουμε z Μετά από αυτό, είναι απλώς θέμα επίλυσης (dz/dx) και (dz/dy).
- Για παράδειγμα, ας πούμε ότι προσπαθούμε να παράγουμε το x3z2 - 5xy5z = x2 + y3.
-
Αρχικά, ας βγάλουμε έναντι του x και πληκτρολογήστε (dz/dx). Μην ξεχάσετε να εφαρμόσετε τον κανόνα προϊόντος, εάν χρειάζεται!
-
- Χ3z2 - 5xy5z = x2 + y3
- 3x2z2 + 2x3z (dz/dx) - 5y5z - 5xy5(dz/dx) = 2x
- 3x2z2 + (2x3z - 5xy5) (dz/dx) - 5y5z = 2x
- (2x3z - 5xy5) (dz/dx) = 2x - 3x2z2 + 5ε5z
- (dz/dx) = (2x - 3x2z2 + 5ε5z)/(2x3z - 5xy5)
-
-
Τώρα, κάντε το ίδιο για (dz/dy)
-
- Χ3z2 - 5xy5z = x2 + y3
- 2x3z (dz/dy) - 25xy4z - 5xy5(dz/dy) = 3y2
- (2x3z - 5xy5) (dz/dy) = 3y2 + 25ξυ4z
- (dz/dy) = (3y2 + 25ξυ4z)/(2x3z - 5xy5)
-
