Τα μαγικά τετράγωνα έχουν γίνει δημοφιλή με την εφεύρεση μαθηματικών παιχνιδιών όπως το Sudoku. Ένα μαγικό τετράγωνο είναι μια διάταξη αριθμών σε ένα τετράγωνο έτσι ώστε το άθροισμα κάθε σειράς, στήλης και διαγώνιου να ισούται με έναν σταθερό αριθμό, που ονομάζεται "μαγική σταθερά". Αυτό το άρθρο θα σας πει πώς να λύσετε όλα τα είδη μαγικών τετραγώνων, τόσο περίεργης τάξης, ακόμη και παραγγελίας όχι πολλαπλών τεσσάρων ή ακόμη και πολλαπλών τεσσάρων.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 3: Επίλυση μαγικών τετραγώνων περίεργης τάξης
Βήμα 1. Υπολογίστε τη μαγική σταθερά
Μπορείτε να βρείτε αυτόν τον αριθμό χρησιμοποιώντας έναν απλό μαθηματικό τύπο, όπου n = ο αριθμός των γραμμών ή των στηλών στο μαγικό τετράγωνο. Για παράδειγμα, για ένα μαγικό τετράγωνο 3x3, τότε n = 3. Μαγική σταθερά = [n * (n * n + 1)] / 2. Έτσι στο παράδειγμα με τετράγωνο 3x3:
- Άθροισμα = [3*(3*3+1)]/2
- Άθροισμα = [3 * (9 + 1)] / 2
- Ποσότητα = (3 * 10) / 2
- Ποσότητα = 30/2
- Η μαγική σταθερά για ένα μαγικό τετράγωνο 3x3 είναι 30/2, που είναι 15.
- Όλες οι γραμμές, οι στήλες και οι διαγώνιες πρέπει να αθροίζονται σε αυτόν τον αριθμό.
Βήμα 2. Τοποθετήστε τον αριθμό 1 στο μεσαίο τετράγωνο στην επάνω σειρά
Εδώ ξεκινάτε πάντα για μαγικά τετράγωνα παράξενης τάξης, ανεξάρτητα από το πόσο μεγάλα ή μικρά είναι τα μαγικά τετράγωνα. Έτσι, εάν έχετε ένα μαγικό τετράγωνο 3x3, τοποθετήστε 1 στο τετράγωνο 2 (δεύτερο τετράγωνο από αριστερά ή δεξιά). Ένα άλλο παράδειγμα, για ένα μαγικό τετράγωνο 15x15, τοποθετήστε τον αριθμό 1 στο τετράγωνο 8 (το όγδοο τετράγωνο από αριστερά ή δεξιά).
Βήμα 3. Συμπληρώστε τους υπόλοιπους αριθμούς χρησιμοποιώντας το μοτίβο "ένα τετράγωνο επάνω, ένα τετράγωνο δεξιά"
Θα εισάγετε πάντα τους αριθμούς διαδοχικά (1, 2, 3, 4 και ούτω καθεξής) μετακινώντας μία γραμμή προς τα πάνω και μετά δεξιά μία στήλη. Σύντομα θα παρατηρήσετε ότι για να τοποθετήσετε τον αριθμό 2, θα μετακινηθείτε πέρα από την επάνω σειρά, έξω από το μαγικό τετράγωνο. Δεν έχει σημασία, γιατί παρόλο που εισάγετε πάντα αριθμούς κατά ένα τετράγωνο, στα δεξιά αυτού του ενός πλαισίου, υπάρχουν τρεις εξαιρέσεις που έχουν επίσης διαμορφωμένους και προβλέψιμους κανόνες:
- Εάν η κίνηση της πλήρωσης αριθμών σας οδηγήσει σε ένα πλαίσιο που περνάει από την επάνω σειρά του μαγικού τετραγώνου, τότε μείνετε στη στήλη του τετραγώνου, αλλά τοποθετήστε τον αριθμό στην κάτω σειρά αυτής της στήλης.
- Εάν η κίνηση της αρίθμησης σας οδηγήσει σε ένα πλαίσιο που περνάει από τη δεξιά στήλη του μαγικού τετραγώνου, τότε μείνετε στη σειρά αυτού του τετραγώνου, αλλά τοποθετήστε τους αριθμούς στην αριστερή στήλη αυτής της σειράς.
- Εάν η κίνηση των αριθμών πλήρωσης σας κάνει να μεταβείτε σε ένα κουτί που έχει γεμίσει, επιστρέψτε στο προηγούμενο που έχει γεμίσει και τοποθετήστε τον επόμενο αριθμό κάτω από αυτό το πλαίσιο.
Μέθοδος 2 από 3: Επίλυση μαγικών τετραγώνων άρτιας τάξης όχι πολλαπλάσιων τεσσάρων
Βήμα 1. Κατανοήστε τι σημαίνει μαγικό τετράγωνο άρτιας τάξης όχι πολλαπλάσιο τεσσάρων
Όλοι γνωρίζουν ότι οι άρτιοι αριθμοί διαιρούνται με δύο, αλλά στα μαγικά τετράγωνα, υπάρχουν διαφορετικές μεθοδολογίες για την επίλυση τετραγώνων ζυγής τάξης που δεν είναι πολλαπλάσια του τεσσάρου (μεμονωμένα ακόμη και μαγικό τετράγωνο) και εκείνων που είναι πολλαπλάσια του τεσσάρου (διπλάσια ακόμη και μαγικό τετράγωνο) Το
- Τα τετράγωνα ζυγής τάξης που δεν είναι πολλαπλάσια του τεσσάρου έχουν έναν αριθμό τετραγώνων σε κάθε πλευρά που διαιρούνται με δύο, αλλά δεν διαιρούνται με τέσσερα.
- Τα μαγικά τετράγωνα άρτιας τάξης που δεν είναι πολλαπλάσια του τεσσάρου είναι το μικρότερο είναι 6x6, επειδή 2x2 μαγικά τετράγωνα δεν μπορούν να δημιουργηθούν.
Βήμα 2. Υπολογίστε τη μαγική σταθερά
Χρησιμοποιήστε την ίδια μέθοδο όπως θα κάνατε με ένα μαγικό τετράγωνο παράξενης τάξης: η μαγική σταθερά = [n * (n * n + 1)] / 2, όπου n = ο αριθμός των τετραγώνων σε κάθε πλευρά. Έτσι, στο παράδειγμα ενός μαγικού τετραγώνου 6x6:
- Άθροισμα = [6*(6*6+1)]/2
- Άθροισμα = [6 * (36 + 1)] / 2
- Ποσότητα = (6 * 37) / 2
- Ποσότητα = 222 /2
- Η μαγική σταθερά για ένα μαγικό τετράγωνο 6x6 είναι 222/2, που είναι 111.
- Όλες οι γραμμές, οι στήλες και οι διαγώνιες πρέπει να αθροίζονται σε αυτόν τον αριθμό.
Βήμα 3. Χωρίστε το μαγικό τετράγωνο σε τέσσερα τετράγωνα ίσου μεγέθους
Σημειώστε τα με A (πάνω αριστερά), C (πάνω δεξιά), D (κάτω αριστερά) και B (κάτω δεξιά). Για να μάθετε πόσο μεγάλο πρέπει να είναι κάθε τετράγωνο, απλώς διαιρέστε τον αριθμό τετραγώνων σε κάθε γραμμή ή στήλη με δύο.
Έτσι, για ένα τετράγωνο 6x6, το μέγεθος κάθε τεταρτημορίου είναι 3x3 τετράγωνα
Βήμα 4. Δώστε σε κάθε τεταρτημόριο μια σειρά αριθμών
Το τεταρτημόριο Α παίρνει το ένα τέταρτο των πρώτων αριθμών, το τεταρτημόριο Β είναι το τέταρτο των δεύτερων αριθμών, το τεταρτημόριο Γ είναι το τέταρτο των τρίτων αριθμών και το τεταρτημόριο Δ είναι το τελευταίο τέταρτο του συνολικού εύρους αριθμών για ένα μαγικό τετράγωνο 6x6.
Στο τετραγωνικό παράδειγμα 6x6, το τεταρτημόριο A θα αριθμηθεί από 1 έως 9, το τεταρτημόριο B με 10 έως 18, το τεταρτημόριο C με 19 έως 27 και το τεταρτημόριο D με 28 έως 36
Βήμα 5. Λύστε κάθε τεταρτημόριο χρησιμοποιώντας τη μεθοδολογία για μαγικά τετράγωνα παράξενης τάξης
Το τεταρτημόριο Α θα είναι εύκολο να γεμίσει, επειδή ξεκινά με τον αριθμό 1, ακριβώς όπως ένα μαγικό τετράγωνο γενικά. Αλλά για τα τεταρτημόρια B έως D, θα ξεκινήσουμε με τους ασυνήθιστους αριθμούς 10, 19 και 28, για αυτό το παράδειγμα.
- Σκεφτείτε τον πρώτο αριθμό σε κάθε τεταρτημόριο σαν να ήταν ένας. Τοποθετήστε το στο κεντρικό πλαίσιο στην επάνω σειρά κάθε τεταρτημορίου.
- Σκεφτείτε κάθε τετράγωνο σαν να ήταν το δικό του μαγικό τετράγωνο. Ακόμα κι αν ένα κουτί βρίσκεται σε παρακείμενο τεταρτημόριο, αγνοήστε το πλαίσιο και προχωρήστε σύμφωνα με τον κανόνα "εξαίρεση" που ταιριάζει στην κατάσταση.
Βήμα 6. Δημιουργήστε επισημάνσεις Α και Δ
Αν προσπαθήσετε να προσθέσετε τις στήλες, τις γραμμές και τις διαγώνιες σε αυτό το σημείο, θα παρατηρήσετε ότι δεν αντιστοιχούν ακόμη στη μαγική σταθερά. Θα χρειαστεί να αλλάξετε μερικά τετράγωνα μεταξύ του επάνω αριστερού και του κάτω αριστερού τεταρτημορίου για να ολοκληρώσετε το μαγικό τετράγωνο. Θα αναφερθούμε σε αυτές τις εναλλασσόμενες περιοχές ως Highlights A και Highlights D. (Σημειώσεις:
οι εξηγήσεις σε αυτό και στο επόμενο βήμα είναι πιο συγκεκριμένες για μαγικά τετράγωνα 6x6, τα οποία μπορεί να μην είναι κατάλληλα για μεγαλύτερα μαγικά τετράγωνα).
- Χρησιμοποιώντας ένα μολύβι, σημειώστε όλα τα πλαίσια στην επάνω σειρά μέχρι να φτάσετε στη μέση θέση του τετραγώνου Α. (Σημείωση: Ο διάμεσος μπορεί να βρεθεί από τον τύπο n = (4 * m) + 2, με το m ως διάμεσο) Το Έτσι, σε ένα τετράγωνο 6x6, θα σημειώσετε μόνο το τετράγωνο 1 (το οποίο περιέχει τον αριθμό 8 στο πλαίσιο), αλλά σε ένα τετράγωνο 10x10, θα σημειώσετε τα τετράγωνα 1 και 2 (που περιέχουν τους αριθμούς 17 και 24 και στα δύο τετράγωνα, αντίστοιχα).).
- Σημειώστε μια περιοχή ως τετράγωνο χρησιμοποιώντας τα πλαίσια που έχουν επισημανθεί ως επάνω σειρά. Εάν σημειώσετε μόνο ένα πλαίσιο, τότε το τετράγωνό σας είναι μόνο αυτό το ένα πλαίσιο. Θα αναφερθούμε σε αυτήν την περιοχή ως Highlight A-1.
- Έτσι, για ένα μαγικό τετράγωνο 10x10, το Highlight A-1 θα αποτελείται από τετράγωνα 1 και 2 στις σειρές 1 και 2, αποτελώντας ένα τετράγωνο 2x2 στο πάνω αριστερό μέρος του τεταρτημορίου.
- Στη σειρά κάτω από το Highlight A-1, παραλείψτε τα τετράγωνα στην πρώτη στήλη και, στη συνέχεια, σημειώστε τα τετράγωνα στο κέντρο του τεταρτημορίου. Θα ονομάσουμε αυτήν τη μεσαία σειρά Highlight A-2.
- Το Highlight A-3 είναι ένα τετράγωνο πανομοιότυπο με το A-1, αλλά στην κάτω αριστερή γωνία του τεταρτημορίου.
- Τα κυριότερα σημεία A-1, A-2 και A-3 μαζί σχηματίζουν το Highlight A.
- Επαναλάβετε αυτήν τη διαδικασία στο τεταρτημόριο D, δημιουργώντας πανομοιότυπες περιοχές επισήμανσης που αναφέρονται ως D Highlights.
Βήμα 7. Ανταλλαγή επισημάνσεων Α και Δ
Αυτή είναι η μία ανταλλαγή μετά την άλλη. Μετακινήστε και εναλλάξτε τα πλαίσια μεταξύ του τεταρτημόριου Α και του τεταρτημορίου Δ χωρίς να αλλάξετε καθόλου τη σειρά (βλ. Εικόνα). Όταν το κάνετε αυτό, όλες οι γραμμές, οι στήλες και οι διαγώνιες στο μαγικό τετράγωνο θα πρέπει να αθροιστούν στη μαγική σταθερά που υπολογίσατε.
Μέθοδος 3 από 3: Επίλυση μαγικών τετραγώνων ζευγών τάξεων πολλαπλάσιων τεσσάρων
Βήμα 1. Κατανοήστε τι σημαίνει μαγικό τετράγωνο πολλαπλού τετραγώνου άρτιας τάξης
Ένα μαγικό τετράγωνο ζυγής τάξης που δεν είναι πολλαπλάσιο του τεσσάρου έχει έναν αριθμό τετραγώνων σε κάθε πλευρά που διαιρούνται με δύο, αλλά δεν διαιρούνται με τέσσερα. Ένα μαγικό τετράγωνο πολλαπλών τεσσάρων ζυγών τάξεων έχει τον αριθμό τετραγώνων σε κάθε πλευρά που διαιρείται με τέσσερα.
Το μικρότερο πολλαπλάσιο τεσσάρων ζυγών τάξεων που μπορεί να γίνει είναι 4x4
Βήμα 2. Υπολογίστε τη μαγική σταθερά
Χρησιμοποιήστε την ίδια μέθοδο όπως θα κάνατε με ένα μαγικό τετράγωνο παράξενης τάξης: η μαγική σταθερά = [n * (n * n + 1)] / 2, όπου n = ο αριθμός των τετραγώνων σε κάθε πλευρά. Έτσι, στο παράδειγμα ενός μαγικού τετραγώνου 4x4:
- Άθροισμα = [4*(4*4+1)]/2
- Άθροισμα = [4 * (16 + 1)] / 2
- Ποσότητα = (4 * 17) / 2
- Ποσότητα = 68 /2
- Η μαγική σταθερά για ένα μαγικό τετράγωνο 4x4 είναι 68/2, δηλαδή 34.
- Όλες οι γραμμές, οι στήλες και οι διαγώνιες πρέπει να αθροίζονται σε αυτόν τον αριθμό.
Βήμα 3. Δημιουργήστε επισημάνσεις Α έως Δ
Σε κάθε γωνία του μαγικού τετραγώνου, σημειώστε ένα μίνι τετράγωνο με μήκος πλευράς n/4, όπου n = μήκος πλευράς του μαγικού τετραγώνου. Ετικέτα με επισημάνσεις Α, Β, Γ και Δ αριστερόστροφα.
- Σε τετράγωνο 4x4, θα σημειώσετε μόνο τις τέσσερις γωνίες του τετραγώνου.
- Σε τετράγωνο 8x8, κάθε Highlight θα είναι μια περιοχή 2x2 στη γωνία του.
- Σε ένα τετράγωνο 12x12, κάθε Highlight θα είναι μια περιοχή 3x3 στη γωνία του και ούτω καθεξής.
Βήμα 4. Δημιουργήστε μια επισήμανση κέντρου
Σημειώστε όλα τα τετράγωνα στη μέση του μαγικού τετραγώνου στην τετραγωνική περιοχή μήκους n/2, όπου n = μήκος πλευράς του μαγικού τετραγώνου. Τα κεντρικά σημεία επισήμανσης δεν πρέπει να χτυπάνε καθόλου τα επισημάνσεις Α έως Δ, αλλά να τέμνονται μόνο με καθένα από αυτά στη γωνία.
- Σε τετράγωνο 4x4, το Center Highlight θα είναι μια περιοχή 2x2 στο κέντρο.
- Σε τετράγωνο 8x8, το Highlight του Κέντρου θα είναι η περιοχή 4x4 στο κέντρο κ.ο.κ.
Βήμα 5. Συμπληρώστε το μαγικό τετράγωνο, αλλά μόνο στις επισημασμένες περιοχές
Ξεκινήστε να συμπληρώνετε τον αριθμό στο μαγικό τετράγωνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά εισαγάγετε τον αριθμό μόνο εάν το τετράγωνο βρίσκεται στο πλαίσιο Επισήμανση. Έτσι, για ένα πλέγμα 4x4, θα συμπληρώνατε τα ακόλουθα πλαίσια:
- Αριθμός 1 στο επάνω αριστερό πλαίσιο και 4 στο επάνω δεξί πλαίσιο.
- Αριθμοί 6 και 7 στα μεσαία τετράγωνα της δεύτερης σειράς.
- Οι αριθμοί 10 και 11 βρίσκονται στα μεσαία τετράγωνα της τρίτης σειράς.
- Ο αριθμός είναι 13 στο κάτω αριστερό πλαίσιο και 16 στο κάτω δεξί πλαίσιο.
Βήμα 6. Συμπληρώστε τα υπόλοιπα τετράγωνα του μαγικού τετραγώνου με αντίστροφη σειρά μέτρησης
Αυτό το βήμα είναι βασικά το αντίστροφο του προηγούμενου βήματος. Ξεκινήστε ξανά από το επάνω αριστερό πλαίσιο, αλλά αυτή τη φορά παραλείψτε όλα τα τετράγωνα στην επισημασμένη περιοχή και συμπληρώστε τα τετράγωνα που δεν τονίζονται με αντίστροφη σειρά καταμέτρησης. Ξεκινήστε με τον μεγαλύτερο αριθμό στο εύρος αριθμών σας. Έτσι, για ένα μαγικό τετράγωνο 4x4, θα συμπληρώνατε τα ακόλουθα πλαίσια:
- Οι αριθμοί 15 και 14 βρίσκονται στα μεσαία τετράγωνα της πρώτης σειράς.
- Ο αριθμός 12 στο αριστερό τετράγωνο και 9 στο δεξί τετράγωνο στη δεύτερη σειρά.
- Αριθμοί 8 στο αριστερό τετράγωνο και 5 στο δεξί τετράγωνο στην τρίτη σειρά.
- Αριθμοί 3 και 2 στα μεσαία τετράγωνα της τέταρτης σειράς.
- Σε αυτό το σημείο, όλες οι στήλες, οι γραμμές και οι διαγώνιες πρέπει να αθροιστούν στη μαγική σταθερά που έχετε υπολογίσει.
