Κάθε συνάρτηση έχει δύο μεταβλητές, δηλαδή την ανεξάρτητη μεταβλητή και την εξαρτημένη μεταβλητή. Κυριολεκτικά η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής "εξαρτάται" από την ανεξάρτητη μεταβλητή. Για παράδειγμα, στη συνάρτηση y = f (x) = 2 x + y, το x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και το y είναι η εξαρτημένη μεταβλητή (με άλλα λόγια, το y είναι συνάρτηση του x). Οι έγκυρες τιμές για τη γνωστή μεταβλητή x ονομάζονται "τομείς προέλευσης". Οι έγκυρες τιμές για τη γνωστή μεταβλητή y ονομάζονται "εύρος αποτελεσμάτων".
Βήμα
Μέρος 1 από 3: Εύρεση του τομέα μιας συνάρτησης
Βήμα 1. Αποφασίστε τι είδους λειτουργία πρόκειται να εκτελέσετε
Ο τομέας της συνάρτησης είναι όλες οι τιμές x (οριζόντιος άξονας) που θα επιστρέψουν έγκυρες τιμές y. Η εξίσωση της συνάρτησης μπορεί να είναι τετραγωνική, κλάσμα ή να περιέχει ρίζα. Για να υπολογίσετε τον τομέα της συνάρτησης, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να εξετάσετε τις μεταβλητές στην εξίσωση.
- Μια τετραγωνική συνάρτηση έχει τη μορφή άξονα2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Παραδείγματα συναρτήσεων με κλάσματα περιλαμβάνουν: f (x) = (1/Χ), f (x) = (x+1)/(x - 1), και άλλοι.
- Οι συναρτήσεις που έχουν ρίζες περιλαμβάνουν: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x, και ούτω καθεξής.
Βήμα 2. Γράψτε τον τομέα με σωστή σημειογραφία
Η συγγραφή του τομέα μιας συνάρτησης περιλαμβάνει τη χρήση τετραγωνικών παρενθέσεων [,] καθώς και αγκυλών (,). Χρησιμοποιήστε τετράγωνες αγκύλες [,] εάν ο αριθμός ανήκει στον τομέα και χρησιμοποιήστε αγκύλες (,) εάν ο τομέας δεν περιλαμβάνει τον αριθμό. Το γράμμα U υποδηλώνει μια ένωση που συνδέει τμήματα του τομέα που μπορεί να χωριστούν με απόσταση.
- Για παράδειγμα, ο τομέας του [-2, 10) U (10, 2] περιλαμβάνει -2 και 2, αλλά δεν περιλαμβάνει τον αριθμό 10.
- Χρησιμοποιείτε πάντα παρενθέσεις () εάν χρησιμοποιείτε το σύμβολο του άπειρου,.
Βήμα 3. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της τετραγωνικής εξίσωσης
Οι τετραγωνικές εξισώσεις παράγουν ένα παραβολικό γράφημα που ανοίγει πάνω ή κάτω. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η παραβολή θα συνεχίσει το άπειρο στον άξονα x, το πεδίο των περισσότερων τετραγωνικών εξισώσεων είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. Με άλλα λόγια, μια τετραγωνική εξίσωση περιλαμβάνει όλες τις τιμές x στην αριθμητική γραμμή, δίνοντας τον τομέα R (σύμβολο για όλους τους πραγματικούς αριθμούς).
- Για να λύσετε τη συνάρτηση, επιλέξτε οποιαδήποτε τιμή x και εισαγάγετε τη στη συνάρτηση. Η επίλυση μιας συνάρτησης με μια τιμή x θα επιστρέψει μια τιμή y. Οι τιμές των x και y είναι οι (x, y) συντεταγμένες ενός γραφήματος της συνάρτησης.
- Σχεδιάστε αυτές τις συντεταγμένες σε ένα γράφημα και επαναλάβετε τη διαδικασία με μια άλλη τιμή x.
- Η γραφική παράσταση ορισμένων τιμών σε αυτό το μοντέλο θα σας δώσει μια επισκόπηση του σχήματος της τετραγωνικής συνάρτησης.
Βήμα 4. Εάν η εξίσωση της συνάρτησης είναι κλάσμα, κάντε τον παρονομαστή ίσο με το μηδέν
Όταν εργάζεστε με κλάσματα, δεν μπορείτε ποτέ να διαιρέσετε με το μηδέν. Κάνοντας τον παρονομαστή ίσο με το μηδέν και βρίσκοντας την τιμή του x, μπορείτε να υπολογίσετε τις τιμές που θα εξαγάγετε από τη συνάρτηση.
- Για παράδειγμα: Καθορίστε τον τομέα της συνάρτησης f (x) = (x+1)/(x - 1).
- Ο παρονομαστής της συνάρτησης είναι (x - 1).
- Κάντε τον παρονομαστή ίσο με το μηδέν και υπολογίστε την τιμή του x: x - 1 = 0, x = 1.
- Γράψτε τον τομέα: Ο τομέας της συνάρτησης δεν περιλαμβάνει 1, αλλά περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούς αριθμούς εκτός από 1. Επομένως, ο τομέας είναι (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) μπορεί να διαβαστεί ως μια συλλογή όλων των πραγματικών αριθμών εκτός από 1. Το σύμβολο για το άπειρο,, αντιπροσωπεύει όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, όλοι οι πραγματικοί αριθμοί μεγαλύτεροι από 1 και μικρότεροι από 1 περιλαμβάνονται στον τομέα.
Βήμα 5. Εάν η εξίσωση είναι συνάρτηση ρίζας, κάντε τις μεταβλητές ρίζας μεγαλύτερες ή ίσες με το μηδέν
Δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού. Επομένως, κάθε τιμή x που οδηγεί σε αρνητικό αριθμό πρέπει να αφαιρεθεί από τον τομέα της συνάρτησης.
- Για παράδειγμα: Βρείτε τον τομέα της συνάρτησης f (x) = (x + 3).
- Οι μεταβλητές στη ρίζα είναι (x + 3).
- Κάντε την τιμή μεγαλύτερη ή ίση με μηδέν: (x + 3) 0.
- Υπολογίστε την τιμή για x: x -3. Λύστε για x: x -3.
- Ο τομέας της συνάρτησης περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούς αριθμούς μεγαλύτερους ή ίσους με -3. Επομένως, ο τομέας είναι [-3,].
Μέρος 2 από 3: Εύρεση του εύρους μιας τετραγωνικής εξίσωσης
Βήμα 1. Βεβαιωθείτε ότι έχετε μια τετραγωνική συνάρτηση
Η τετραγωνική συνάρτηση έχει τη μορφή άξονα2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Το γράφημα της τετραγωνικής συνάρτησης είναι μια παραβολή που ανοίγει πάνω ή κάτω. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να υπολογίσετε το εύρος της συνάρτησης ανάλογα με τον τύπο της συνάρτησης στην οποία εργάζεστε.
Ο ευκολότερος τρόπος για να προσδιορίσετε το εύρος άλλων συναρτήσεων, όπως μια συνάρτηση ρίζας ή μια συνάρτηση κλάσματος, είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή γραφικών παραστάσεων
Βήμα 2. Βρείτε την τιμή x της κορυφής της συνάρτησης
Η κορυφή μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι η κορυφή της παραβολής. Θυμηθείτε, η μορφή της τετραγωνικής συνάρτησης είναι ax2 + bx + c Για να βρείτε την συντεταγμένη x, χρησιμοποιήστε την εξίσωση x = -b/2a. Η εξίσωση είναι παράγωγο μιας βασικής τετραγωνικής συνάρτησης που αντιπροσωπεύει μια εξίσωση με μηδενική κλίση/κλίση (στην κορυφή του γραφήματος, η κλίση της συνάρτησης είναι μηδέν).
- Για παράδειγμα, βρείτε το εύρος του 3x2 + 6x -2.
- Υπολογίστε τη συντεταγμένη x της κορυφής: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Βήμα 3. Υπολογίστε την τιμή y της κορυφής της συνάρτησης
Συνδέστε τη συντεταγμένη x στη συνάρτηση για να υπολογίσετε την αντίστοιχη τιμή y της κορυφής. Αυτή η τιμή y υποδεικνύει το όριο του εύρους της συνάρτησης.
- Υπολογίστε την συντεταγμένη y: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Η κορυφή αυτής της συνάρτησης είναι (-1, -5).
Βήμα 4. Προσδιορίστε την κατεύθυνση της παραβολής συνδέοντας τουλάχιστον μία ακόμη τιμή x
Επιλέξτε οποιαδήποτε άλλη τιμή x και συνδέστε τη στη συνάρτηση για να υπολογίσετε την κατάλληλη τιμή y. Εάν η τιμή y είναι πάνω από την κορυφή, η παραβολή συνεχίζει στο +. Εάν η τιμή y είναι κάτω από την κορυφή, η παραβολή θα συνεχίσει σε -∞.
- Χρησιμοποιήστε x -τιμή -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Αυτός ο υπολογισμός επιστρέφει τις συντεταγμένες (-2, -2).
- Αυτές οι συντεταγμένες σας δείχνουν ότι η παραβολή συνεχίζεται πάνω από την κορυφή (-1, -5). Επομένως, το εύρος περιλαμβάνει όλες τις τιμές y υψηλότερες από -5.
- Το εύρος αυτής της συνάρτησης είναι [-5,].
Βήμα 5. Γράψτε το εύρος με τη σωστή σημειογραφία
Όπως και οι τομείς, τα εύρη γράφονται με την ίδια σημειογραφία. Χρησιμοποιήστε τετράγωνες αγκύλες [,] εάν ο αριθμός βρίσκεται στην περιοχή και χρησιμοποιήστε αγκύλες (,) εάν το εύρος δεν περιλαμβάνει τον αριθμό. Το γράμμα U υποδεικνύει μια ένωση που συνδέει τμήματα του εύρους που μπορεί να χωριστούν με απόσταση.
- Για παράδειγμα, το εύρος [-2, 10) U (10, 2] περιλαμβάνει -2 και 2, αλλά δεν περιλαμβάνει τον αριθμό 10.
- Χρησιμοποιείτε πάντα παρενθέσεις εάν χρησιμοποιείτε το σύμβολο του άπειρου,.
Μέρος 3 από 3: Εύρεση του εύρους από το γράφημα μιας συνάρτησης
Βήμα 1. Σχεδιάστε τη συνάρτηση
Συχνά, ο ευκολότερος τρόπος για να προσδιορίσετε το εύρος μιας συνάρτησης είναι να τη γράψετε. Πολλές συναρτήσεις ρίζας έχουν εύρος (-∞, 0] ή [0, +∞) επειδή η κορυφή της οριζόντιας παραβολής (πλάγια παραβολή) βρίσκεται στον οριζόντιο άξονα x. Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση περιλαμβάνει όλες τις θετικές τιμές y αν ανοίξει η παραβολή ή όλες τις αρνητικές τιμές y αν η παραβολή ανοίξει προς τα κάτω. Οι κλασματικές συναρτήσεις θα έχουν ασύμπτωτα (γραμμές που δεν κόβονται ποτέ από ευθεία γραμμή / καμπύλη αλλά προσεγγίζονται στο άπειρο) που καθορίζουν το εύρος της συνάρτησης.
- Ορισμένες συναρτήσεις ρίζας θα ξεκινήσουν πάνω ή κάτω από τον άξονα x. Σε αυτήν την περίπτωση, το εύρος καθορίζεται από τον αριθμό από όπου ξεκινά η συνάρτηση ρίζας. Εάν η παραβολή ξεκινά από y = -4 και ανεβαίνει τότε το εύρος είναι [-4, +∞).
- Ο ευκολότερος τρόπος για να σχεδιάσετε μια συνάρτηση είναι να χρησιμοποιήσετε ένα πρόγραμμα γραφικών ή μια αριθμομηχανή γραφικών παραστάσεων.
- Εάν δεν έχετε αριθμομηχανή γραφικών παραστάσεων, μπορείτε να σχεδιάσετε ένα πρόχειρο σκίτσο του γραφήματος συνδέοντας την τιμή x στη συνάρτηση και παίρνοντας την κατάλληλη τιμή y. Σχεδιάστε αυτές τις συντεταγμένες σε ένα γράφημα για να πάρετε μια ιδέα για το πώς φαίνεται το γράφημα.
Βήμα 2. Βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης
Αμέσως μετά την κατάρτιση της συνάρτησης, θα πρέπει να μπορείτε να δείτε καθαρά το χαμηλότερο σημείο του γραφήματος. Εάν δεν υπάρχει σαφής ελάχιστη τιμή, να γνωρίζετε ότι ορισμένες συναρτήσεις θα συνεχίσουν στο -∞ (άπειρο).
Η συνάρτηση κλάσματος θα περιλαμβάνει όλα τα σημεία εκτός από αυτά στα ασύμπτωτα. Η συνάρτηση έχει εύρος όπως (-∞, 6) U (6,)
Βήμα 3. Προσδιορίστε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης
Και πάλι, αφού σχεδιάσετε το γράφημα, θα πρέπει να μπορείτε να προσδιορίσετε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης. Ορισμένες συναρτήσεις θα συνεχίσουν στο +∞ και επομένως, δεν θα έχουν ελάχιστη τιμή.
Βήμα 4. Γράψτε το εύρος με τη σωστή σημειογραφία
Όπως και οι τομείς, τα εύρη γράφονται με την ίδια σημειογραφία. Χρησιμοποιήστε τετράγωνες αγκύλες [,] εάν ο αριθμός βρίσκεται στην περιοχή και χρησιμοποιήστε αγκύλες (,) εάν το εύρος δεν περιλαμβάνει τον αριθμό. Το γράμμα U υποδεικνύει μια ένωση που συνδέει τμήματα του εύρους που μπορεί να χωριστούν με απόσταση.
- Για παράδειγμα, το εύρος [-2, 10) U (10, 2] περιλαμβάνει -2 και 2, αλλά δεν περιλαμβάνει τον αριθμό 10.
- Χρησιμοποιείτε πάντα παρενθέσεις εάν χρησιμοποιείτε το σύμβολο του άπειρου,.
