Κατά τον υπολογισμό των πιθανοτήτων, προσπαθείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν για έναν δεδομένο αριθμό δοκιμών. Πιθανότητα είναι η πιθανότητα να συμβούν ένα ή περισσότερα γεγονότα διαιρούμενα με τον αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων. Ο υπολογισμός της πιθανότητας εμφάνισης πολλών γεγονότων γίνεται διαιρώντας το πρόβλημα σε πολλές πιθανότητες και πολλαπλασιάζοντάς τα το ένα με το άλλο.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 3: Εύρεση της πιθανότητας ενός τυχαίου συμβάντος
Βήμα 1. Επιλέξτε γεγονότα με αμοιβαία αποκλειστικά αποτελέσματα
Οι πιθανότητες μπορούν να υπολογιστούν μόνο όταν το συμβάν (για το οποίο υπολογίζονται οι πιθανότητες) συμβαίνει ή δεν συμβαίνει. Τα γεγονότα και τα αντίθετά τους δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα. Το να ρίξετε τον αριθμό 5 στα ζάρια, το άλογο που κερδίζει τον αγώνα, είναι ένα παράδειγμα αμοιβαίως αποκλεισμένου γεγονότος. Είτε κυλάτε τον αριθμό 5, είτε όχι. είτε το άλογό σας κερδίζει τον αγώνα, είτε όχι.
Παράδειγμα:
Είναι αδύνατο να υπολογίσετε την πιθανότητα ενός γεγονότος: "Οι αριθμοί 5 και 6 θα εμφανιστούν σε έναν κύκλο του ζαριού".
Βήμα 2. Προσδιορίστε όλα τα πιθανά γεγονότα και αποτελέσματα που θα μπορούσαν να συμβούν
Πείτε ότι προσπαθείτε να βρείτε την πιθανότητα να πάρετε τους αριθμούς 3 και 6 στο ζάρι. Το "Rolling the Number 3" είναι ένα γεγονός, και δεδομένου ότι μια μήτρα 6 όψεων μπορεί να εμφανίσει οποιονδήποτε από τους αριθμούς 1-6, ο αριθμός των αποτελεσμάτων είναι 6. Έτσι, σε αυτή την περίπτωση γνωρίζουμε ότι υπάρχουν 6 πιθανά αποτελέσματα και 1 γεγονός που μετράμε τις αποδόσεις του Ακολουθούν 2 παραδείγματα που θα σας βοηθήσουν:
-
Παράδειγμα 1: Ποια είναι η πιθανότητα να λάβετε μια μέρα που πέφτει το Σαββατοκύριακο όταν επιλέγετε μια μέρα τυχαία;
"Η επιλογή μιας ημέρας που πέφτει το Σαββατοκύριακο" είναι μια εκδήλωση και ο αριθμός των αποτελεσμάτων είναι η συνολική ημέρα της εβδομάδας, η οποία είναι 7.
-
Παράδειγμα 2: Το βάζο περιέχει 4 μπλε μάρμαρα, 5 κόκκινα μάρμαρα και 11 λευκά μάρμαρα. Εάν ένα μάρμαρο τραβηχτεί τυχαία από το βάζο, ποια είναι η πιθανότητα να σχεδιαστεί ένα κόκκινο μάρμαρο;
Το «Επιλέγοντας τα κόκκινα μάρμαρα» είναι η εκδήλωσή μας και ο αριθμός των αποτελεσμάτων είναι ο συνολικός αριθμός των μαρμάρων στο βάζο, ο οποίος είναι 20.
Βήμα 3. Διαιρέστε τον αριθμό των συμβάντων με το συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων
Αυτός ο υπολογισμός θα δείξει την πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν. Σε περίπτωση κύλισης 3 σε μήτρα 6 όψεων, ο αριθμός των συμβάντων είναι 1 (υπάρχει μόνο ένα 3 στη μήτρα) και ο αριθμός των αποτελεσμάτων είναι 6. Μπορείτε επίσης να εκφράσετε αυτήν τη σχέση ως 1 6, 1 /6, 0, 166, ή 16, 6%. Δείτε μερικά άλλα παραδείγματα παρακάτω:
-
Παράδειγμα 1: Ποια είναι η πιθανότητα να λάβετε μια μέρα που πέφτει το Σαββατοκύριακο όταν επιλέγετε μια μέρα τυχαία;
Ο αριθμός των εκδηλώσεων είναι 2 (αφού το Σαββατοκύριακο αποτελείται από 2 ημέρες) και ο αριθμός των αποτελεσμάτων είναι 7. Η πιθανότητα είναι 2 7 = 2/7. Μπορείτε επίσης να το εκφράσετε ως 0,285 ή 28,5%.
-
Παράδειγμα 2: Το βάζο περιέχει 4 μπλε μάρμαρα, 5 κόκκινα μάρμαρα και 11 λευκά μάρμαρα. Εάν ένα μάρμαρο τραβηχτεί τυχαία από το βάζο, ποια είναι η πιθανότητα να σχεδιαστεί ένα κόκκινο μάρμαρο;
Ο αριθμός των γεγονότων είναι 5 (αφού υπάρχουν 5 κόκκινα μάρμαρα), και το άθροισμα των αποτελεσμάτων είναι 20. Έτσι, η πιθανότητα είναι 5 20 = 1/4. Μπορείτε επίσης να το εκφράσετε ως 0, 25 ή 25%.
Βήμα 4. Προσθέστε όλα τα συμβάντα πιθανότητας για να βεβαιωθείτε ότι είναι ίσα με 1
Η πιθανότητα εμφάνισης όλων των συμβάντων πρέπει να φτάσει το 1 aka 100%. Εάν οι πιθανότητες δεν φτάνουν το 100%, είναι πιθανό ότι κάνατε λάθος επειδή υπήρξε ένα συμβάν χαμένης ευκαιρίας. Ελέγξτε ξανά τους υπολογισμούς σας για σφάλματα.
Για παράδειγμα, η πιθανότητά σας να πάρετε 3 όταν τυλίγετε μια μήτρα 6 όψεων είναι 1/6. Ωστόσο, οι πιθανότητες να ρίξετε τους άλλους πέντε αριθμούς στα ζάρια είναι επίσης 1/6. 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, που ισούται με 100%
Σημειώσεις:
Για παράδειγμα, εάν έχετε ξεχάσει να συμπεριλάβετε τις πιθανότητες του αριθμού 4 στα ζάρια, οι συνολικές πιθανότητες είναι μόνο 5/6 ή 83%, υποδεικνύοντας σφάλμα.
Βήμα 5. Δώστε 0 για την αδύνατη ευκαιρία
Αυτό σημαίνει ότι το συμβάν δεν θα γίνει ποτέ πραγματικότητα και εμφανίζεται κάθε φορά που χειρίζεστε ένα επικείμενο συμβάν. Ενώ ο υπολογισμός των 0 αποδόσεων είναι σπάνιος, δεν είναι επίσης αδύνατος.
Για παράδειγμα, εάν υπολογίσετε την πιθανότητα ότι οι διακοπές του Πάσχα πέφτουν τη Δευτέρα του 2020, η πιθανότητα είναι 0 επειδή το Πάσχα γιορτάζεται πάντα την Κυριακή
Μέθοδος 2 από 3: Υπολογισμός της πιθανότητας πολλαπλών τυχαίων συμβάντων
Βήμα 1. Διαχειριστείτε κάθε ευκαιρία ξεχωριστά για τον υπολογισμό ανεξάρτητων συμβάντων
Αφού μάθετε ποιες είναι οι πιθανότητες κάθε γεγονότος, υπολογίστε τις ξεχωριστά. Ας πούμε ότι θέλετε να μάθετε την πιθανότητα να κυλήσετε τον αριθμό 5 δύο φορές στη σειρά σε μήτρα 6 όψεων. Το πρώτο αποτέλεσμα δεν παρεμβαίνει στο δεύτερο αποτέλεσμα.
Σημειώσεις:
Η πιθανότητα λήψης ενός αριθμού 5 καλείται ανεξάρτητη εκδήλωση γιατί αυτό που συμβαίνει την πρώτη φορά δεν επηρεάζει αυτό που συμβαίνει τη δεύτερη φορά.
Βήμα 2. Εξετάστε τον αντίκτυπο των προηγούμενων συμβάντων κατά τον υπολογισμό εξαρτημένων συμβάντων
Εάν η εμφάνιση ενός συμβάντος αλλάξει την πιθανότητα του δεύτερου συμβάντος, υπολογίζετε την πιθανότητα εξαρτημένο γεγονός Το Για παράδειγμα, εάν έχετε 2 φύλλα από μια τράπουλα με 52 κάρτες, όταν επιλέξετε την πρώτη κάρτα, αυτό επηρεάζει τις πιθανότητες των καρτών που μπορούν να αντληθούν από το κατάστρωμα. Για να υπολογίσετε την πιθανότητα μιας δεύτερης κάρτας από δύο εξαρτημένα γεγονότα, αφαιρέστε τον αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων κατά 1 κατά τον υπολογισμό της πιθανότητας του δεύτερου συμβάντος.
-
Παράδειγμα 1: Εξετάστε ένα συμβάν: Δύο φύλλα τραβούνται τυχαία από το κατάστρωμα καρτών. Ποια είναι η πιθανότητα και τα δύο να είναι φύλλα με φτυάκια;
Οι πιθανότητες του πρώτου φύλλου που έχει το σύμβολο φτυάρι είναι 13/52, ή 1/4. (Υπάρχουν 13 φύλλα φτυάρι σε ένα πλήρες κατάστρωμα καρτών).
Τώρα, η πιθανότητα το δεύτερο φύλλο να έχει το σύμβολο του φτυάρι είναι 12/51 επειδή 1 από τα φτυάκια έχει ήδη τραβηχτεί. Έτσι, το πρώτο συμβάν επηρεάζει το δεύτερο συμβάν. Εάν σχεδιάσετε 3 φτυάρια και δεν τα ξαναβάλλετε στο κατάστρωμα, σημαίνει ότι η κάρτα με το φτυάρι και το σύνολο του καταστρώματος μειώνονται κατά 1 (51 αντί για 52)
-
Παράδειγμα 2: Το βάζο περιέχει 4 μπλε μάρμαρα, 5 κόκκινα μάρμαρα και 11 λευκά μάρμαρα. Εάν 3 μάρμαρα τραβηχτούν τυχαία από το βάζο, ποια είναι η πιθανότητα να σχεδιαστεί ένα κόκκινο μάρμαρο, ένα μπλε δεύτερο μάρμαρο και ένα λευκό τρίτο μάρμαρο;
Η πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα κόκκινο μάρμαρο την πρώτη φορά είναι 5/20 ή 1/4. Η πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα μπλε χρώμα για το δεύτερο μάρμαρο είναι 4/19 επειδή ο συνολικός αριθμός μαρμάρων στο βάζο μειώνεται κατά ένα, αλλά ο αριθμός των μπλε μαρμάρων δεν έχει μειωθεί. Τέλος, η πιθανότητα το τρίτο μάρμαρο να είναι λευκό είναι 18/11 γιατί έχετε ήδη επιλέξει 2 μάρμαρα
Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τις πιθανότητες κάθε ξεχωριστού συμβάντος το ένα από το άλλο
Είτε εργάζεστε σε ανεξάρτητα είτε εξαρτώμενα γεγονότα και ο αριθμός των αποτελεσμάτων είναι 2, 3 ή ακόμη και 10, μπορείτε να υπολογίσετε τη συνολική πιθανότητα πολλαπλασιάζοντας αυτά τα ξεχωριστά συμβάντα. Το αποτέλεσμα είναι η πιθανότητα να συμβούν διάφορα γεγονότα το ένα μετά το άλλο Το Έτσι, για αυτό το σενάριο, ποια είναι η πιθανότητα να κυλήσετε 5 συνεχόμενα σε μια μήτρα έξι όψεων; Η πιθανότητα να εμφανιστεί ένα ρολό του αριθμού 5 είναι 1/6. Έτσι, υπολογίζετε 1/6 x 1/6 = 1/36. Μπορείτε επίσης να το παρουσιάσετε ως δεκαδικό αριθμό 0,027 ή ποσοστό 2,7%.
-
Παράδειγμα 1: Δύο φύλλα τραβιούνται από το κατάστρωμα τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα και τα δύο φύλλα να έχουν το σύμβολο φτυάρι;
Η πιθανότητα να συμβεί το πρώτο συμβάν είναι 13/52. Η πιθανότητα να συμβεί το δεύτερο συμβάν είναι 12/51. Η πιθανότητα και των δύο είναι 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17. Μπορείτε να το παρουσιάσετε ως 0,058 ή 5,8%.
-
Παράδειγμα 2: Ένα βάζο που περιέχει 4 μπλε μάρμαρα, 5 κόκκινα μάρμαρα και 11 λευκά μάρμαρα. Εάν τρία μάρμαρα τραβηχτούν τυχαία από το βάζο, ποια είναι η πιθανότητα το πρώτο μάρμαρο να είναι κόκκινο, το δεύτερο να είναι μπλε και το τρίτο να είναι λευκό;
Η πιθανότητα του πρώτου συμβάντος είναι 5/20. Η πιθανότητα του δεύτερου συμβάντος είναι 4/19. Τέλος, οι πιθανότητες ενός τρίτου γεγονότος είναι 18/11. Οι συνολικές πιθανότητες είναι 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032. Μπορείτε επίσης να το εκφράσετε ως 3,2%.
Μέθοδος 3 από 3: Μετατροπή των ευκαιριών σε πιθανότητα
Βήμα 1. Παρουσιάστε την πιθανότητα ως αναλογία με θετικό αποτέλεσμα ως αριθμητή
Για παράδειγμα, ας δούμε ξανά το παράδειγμα ενός βάζου γεμάτου με χρωματιστά μάρμαρα. Πείτε ότι θέλετε να μάθετε την πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα λευκό μάρμαρο (εκ των οποίων υπάρχουν 11), από τον συνολικό αριθμό μαρμάρων στο βάζο (από τα οποία υπάρχουν 20). Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν είναι η αναλογία της πιθανότητας ενός συμβάντος θα συμβεί στην πιθανότητα δεν θα συμβεί. Δεδομένου ότι υπάρχουν 11 λευκά μάρμαρα και 9 μη λευκά μάρμαρα, οι πιθανότητες γράφονται στην αναλογία 11: 9.
- Ο αριθμός 11 αντιπροσωπεύει την πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα λευκό μάρμαρο και ο αριθμός 9 αντιπροσωπεύει την πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα μάρμαρο άλλου χρώματος.
- Έτσι, οι πιθανότητές σας να τραβήξετε λευκά μάρμαρα είναι αρκετά υψηλές.
Βήμα 2. Προσθέστε τους αριθμούς για να μετατρέψετε τις πιθανότητες σε πιθανότητες
Η αλλαγή των πιθανοτήτων είναι αρκετά απλή. Αρχικά, χωρίστε την πιθανότητα σε 2 ξεχωριστά γεγονότα: την πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα λευκό μάρμαρο (11) και την πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα άλλο χρωματιστό μάρμαρο (9). Προσθέστε τους αριθμούς μαζί για να υπολογίσετε τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων. Γράψτε το ως πιθανότητα, με τον νέο συνολικό αριθμό να υπολογίζεται ως παρονομαστής.
Ο αριθμός των αποτελεσμάτων από την επιλογή ενός λευκού μαρμάρου είναι 11. ο αριθμός των αποτελεσμάτων που σχεδιάζετε με άλλα χρώματα είναι 9. Ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων είναι 11 + 9 ή 20
Βήμα 3. Βρείτε την πιθανότητα σαν να υπολογίζατε την πιθανότητα ενός μεμονωμένου συμβάντος
Έχετε δει ότι υπάρχουν συνολικά 20 δυνατότητες, και 11 από αυτές είναι να σχεδιάσετε ένα λευκό μάρμαρο. Έτσι, η πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα λευκό μάρμαρο μπορεί τώρα να αντιμετωπιστεί όπως η αντιμετώπιση της πιθανότητας οποιουδήποτε άλλου γεγονότος. Διαιρέστε το 11 (αριθμός θετικών αποτελεσμάτων) με 20 (συνολικός αριθμός συμβάντων) για να λάβετε την πιθανότητα.
Έτσι, στο παράδειγμά μας, η πιθανότητα σχεδίασης λευκού μαρμάρου είναι 20/11. Διαιρέστε το κλάσμα: 11 20 = 0,55 ή 55%
Συμβουλές
- Οι μαθηματικοί συνήθως χρησιμοποιούν τον όρο "σχετική συχνότητα" για να αναφερθούν στην πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν. Η λέξη "σχετικός" χρησιμοποιείται επειδή κανένα αποτέλεσμα δεν είναι 100% εγγυημένο. Για παράδειγμα, αν χτυπήσετε ένα νόμισμα 100 φορές, δυνατόν Δεν θα λάβετε ακριβώς 50 πλευρές αριθμών και 50 πλευρές λογότυπων. Οι σχετικές πιθανότητες λαμβάνουν επίσης υπόψη αυτό.
- Η πιθανότητα ενός συμβάντος δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός. Εάν λάβετε αρνητικό αριθμό, ελέγξτε ξανά τους υπολογισμούς σας.
- Οι πιο συνηθισμένοι τρόποι παρουσίασης των αποδόσεων είναι με κλάσματα, δεκαδικούς αριθμούς, ποσοστά ή κλίμακα 1-10.
- Πρέπει να γνωρίζετε ότι στα αθλητικά στοιχήματα, οι αποδόσεις εκφράζονται ως "πιθανότητες έναντι" (πιθανότητες κατά), πράγμα που σημαίνει ότι οι πιθανότητες του συμβάντος να συμβεί καταχωρούνται πρώτα και οι πιθανότητες να μην συμβεί το συμβάν αναφέρονται αργότερα. Αν και μερικές φορές μπορεί να προκαλέσει σύγχυση, πρέπει να ξέρετε αν θέλετε να δοκιμάσετε την τύχη σας σε αθλητικές εκδηλώσεις.
