Πώς να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο γράφημα: 10 βήματα (με εικόνες)

2024 Συγγραφέας: Jason Gerald | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-02-01 14:12

Όταν παρουσιάζεται γραφικά, η τετραγωνική εξίσωση έχει τη μορφή τσεκούρι² + bx + c ή α (x - h)² + κ σχηματίστε το γράμμα U ή μια ανεστραμμένη καμπύλη U που ονομάζεται παραβολή. Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής εξίσωσης αναζητά την κορυφή, την κατεύθυνση και συχνά τη διασταύρωση x και y. Σε περιπτώσεις αρκετά απλών τετραγωνικών εξισώσεων, η εισαγωγή ενός συνόλου x τιμών και η χάραξη της καμπύλης με βάση τα σημεία που προκύπτουν μπορεί να είναι αρκετή. Δείτε το Βήμα 1 παρακάτω για να ξεκινήσετε.

Βήμα

Βήμα 1. Προσδιορίστε τη μορφή της τετραγωνικής εξίσωσης που έχετε

Οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να γραφτούν σε τρεις διαφορετικές μορφές: γενική μορφή, μορφή κορυφής και τετραγωνική μορφή. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε μορφή για να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση. η διαδικασία απεικόνισης κάθε γραφήματος είναι ελαφρώς διαφορετική. Εάν κάνετε εργασία, συνήθως θα λαμβάνετε ερωτήσεις σε μία από αυτές τις δύο μορφές - με άλλα λόγια, δεν θα μπορείτε να επιλέξετε, οπότε είναι καλύτερο να καταλάβετε και τα δύο. Οι δύο μορφές της τετραγωνικής εξίσωσης είναι:

• Γενική μορφή.

  Σε αυτή τη μορφή, η τετραγωνική εξίσωση γράφεται ως: f (x) = ax² + bx + c όπου a, b και c είναι πραγματικοί αριθμοί και το a δεν είναι μηδέν.

  Για παράδειγμα, δύο τετραγωνικές εξισώσεις γενικής μορφής είναι f (x) = x² + 2x + 1 και f (x) = 9x² + 10x -8.

• Σχήμα κορυφής.

  Σε αυτή τη μορφή, η τετραγωνική εξίσωση γράφεται ως: f (x) = a (x - h)² + k όπου a, h και k είναι πραγματικοί αριθμοί και το a δεν είναι μηδέν. Ονομάζεται μορφή κορυφής επειδή τα h και k θα δώσουν αμέσως την κορυφή (μεσαίο σημείο) της παραβολής σας στο σημείο (h, k).

  Οι δύο εξισώσεις της κορυφής είναι f (x) = 9 (x - 4)² + 18 και -3 (x - 5)² + 1

• Για τη γραφική παράσταση οποιουδήποτε τύπου εξίσωσης, πρέπει πρώτα να βρούμε την κορυφή της παραβολής, η οποία είναι το μέσο σημείο (h, k) στο τέλος της καμπύλης. Οι συντεταγμένες των κορυφών στη γενική μορφή υπολογίζονται ως: h = -b/2a και k = f (h), ενώ στη μορφή κορυφής, h και k βρίσκονται στην εξίσωση.

Βήμα 2. Ορίστε τις μεταβλητές σας

Για να λυθεί ένα τετραγωνικό πρόβλημα, οι μεταβλητές a, b και c (ή a, h, και k) πρέπει συνήθως να οριστούν. Ένα συνηθισμένο πρόβλημα άλγεβρας θα δώσει μια τετραγωνική εξίσωση με τις διαθέσιμες μεταβλητές, συνήθως σε γενική μορφή, αλλά μερικές φορές σε μορφή αιχμής.

• Για παράδειγμα, για εξίσωση γενικής μορφής f (x) = 2x² + 16x + 39, έχουμε a = 2, b = 16 και c = 39.
• Για την εξίσωση κορυφής μορφής f (x) = 4 (x - 5)² + 12, έχουμε a = 4, h = 5 και k = 12.

Βήμα 3. Υπολογίστε h

Στην εξίσωση της κορυφής, η τιμή h είναι ήδη δεδομένη, αλλά στην εξίσωση γενικής μορφής, η τιμή h πρέπει να υπολογιστεί. Θυμηθείτε ότι, για εξισώσεις γενικής μορφής, h = -b/2a.

• Στη γενική μας μορφή παράδειγμα (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Μετά την επίλυση, βρίσκουμε ότι h = - 4.
• Στο σχήμα κορυφής μας παράδειγμα (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), γνωρίζουμε ότι h = 5 χωρίς να κάνουμε κανένα μαθηματικό.

Βήμα 4. Υπολογίστε k

Όπως το h, το k είναι ήδη γνωστό στην εξίσωση της μορφής κορυφής. Για εξισώσεις γενικής μορφής, θυμηθείτε ότι k = f (h). Με άλλα λόγια, μπορείτε να βρείτε το k αντικαθιστώντας όλες τις τιμές x στην εξίσωση σας με τις τιμές h που μόλις βρήκατε.

• Έχουμε ήδη καθορίσει στη γενική μας μορφή παράδειγμα ότι h = -4. Για να βρούμε το k, λύνουμε την εξίσωση μας συνδέοντας την τιμή μας h αντί του x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Βήμα 7.

• Στο παράδειγμα μορφής αιχμής, πάλι, γνωρίζουμε την τιμή του k (που είναι 12) χωρίς να χρειάζεται να κάνουμε μαθηματικά.

Βήμα 5. Σχεδιάστε την κορυφή σας

Η κορυφή της παραβολής σας είναι το σημείο (h, k)-το h αντιπροσωπεύει τη συντεταγμένη x, ενώ το k αντιπροσωπεύει την συντεταγμένη y. Η κορυφή είναι το μέσο της παραβολής σας - είτε στο κάτω μέρος του U είτε στην κορυφή του ανεστραμμένου U. Η γνώση των κορυφών είναι ένα σημαντικό μέρος της σχεδίασης μιας ακριβούς παραβολής - συχνά, στις σχολικές εργασίες, ο προσδιορισμός της κορυφής είναι το μέρος που πρέπει να αναζητήσετε σε μια ερώτηση.

• Στο γενικό μας παράδειγμα, η κορυφή μας είναι (-4, 7). Έτσι, η παραβολή μας θα κορυφωθεί 4 βήματα προς τα αριστερά από 0 και 7 βήματα παραπάνω (0, 0). Πρέπει να απεικονίσουμε αυτό το σημείο στο γράφημα μας, φροντίζοντας να σημειώσουμε τις συντεταγμένες.
• Στο παράδειγμα φόρμας κορυφής, η κορυφή μας είναι (5, 12). Πρέπει να τραβήξουμε ένα σημείο 5 βήματα προς τα δεξιά και 12 βήματα παραπάνω (0, 0).

Βήμα 6. Σχεδιάστε τον άξονα της παραβολής (προαιρετικό)

Ο άξονας συμμετρίας μιας παραβολής είναι μια γραμμή που διέρχεται από το κέντρο της, χωρίζοντάς την ακριβώς στη μέση. Σε αυτόν τον άξονα, η αριστερή πλευρά της παραβολής θα αντανακλά τη δεξιά πλευρά. Για τετραγωνικές εξισώσεις στη μορφή ax² + bx + c ή a (x - h)² + k, ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία που είναι παράλληλη με τον άξονα y (με άλλα λόγια, ακριβώς κάθετη) και διέρχεται από την κορυφή.

Στην περίπτωση του γενικού μας παραδείγματος μορφής, ο άξονας είναι η ευθεία παράλληλη προς τον άξονα y και που διέρχεται από το σημείο (-4, 7). Παρόλο που δεν είναι μέρος της παραβολής, η λεπτή σήμανση αυτής της γραμμής στο γράφημα σας θα σας βοηθήσει τελικά να δείτε το συμμετρικό σχήμα της καμπύλης της παραβολής

Βήμα 7. Βρείτε την κατεύθυνση του ανοίγματος της παραβολής

Αφού γνωρίζουμε την κορυφή και τον άξονα της παραβολής, στη συνέχεια πρέπει να γνωρίζουμε εάν η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Ευτυχώς, αυτό είναι εύκολο. Εάν η τιμή του a είναι θετική, η παραβολή θα ανοίξει προς τα πάνω, ενώ αν η τιμή ενός είναι αρνητική, η παραβολή θα ανοίξει προς τα κάτω (δηλαδή η παραβολή θα αντιστραφεί).

• Για τη γενική μας μορφή παράδειγμα (f (x) = 2x² + 16x + 39), γνωρίζουμε ότι έχουμε μια παραβολή που ανοίγει επειδή, στην εξίσωση μας, a = 2 (θετικό).
• Για το σχήμα της κορυφής μας παράδειγμα (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), γνωρίζουμε ότι έχουμε επίσης μια παραβολή που ανοίγει επειδή a = 4 (θετικό).

Βήμα 8. Εάν χρειάζεται, βρείτε και σχεδιάστε το x-intercept

Συχνά, στις σχολικές εργασίες, θα σας ζητηθεί να βρείτε το x-intercept στην παραβολή (που είναι ένα ή δύο σημεία όπου η παραβολή συναντά τον άξονα x). Ακόμα κι αν δεν βρείτε ένα, αυτά τα δύο σημεία είναι πολύ σημαντικά για να σχεδιάσετε μια ακριβή παραβολή. Ωστόσο, δεν έχουν όλες οι παραβολές x-intercept. Εάν η παραβολή σας έχει μια κορυφή που ανοίγει και η κορυφή της είναι πάνω από τον άξονα x ή εάν ανοίγει προς τα κάτω και η κορυφή της είναι κάτω από τον άξονα x, η παραβολή δεν θα έχει x-intercept Το Διαφορετικά, λύστε το x-intercept σας με έναν από τους ακόλουθους τρόπους:

• Απλώς φτιάξτε f (x) = 0 και λύστε την εξίσωση. Αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για απλές τετραγωνικές εξισώσεις, ειδικά σε μορφή αιχμής, αλλά θα είναι πολύ δύσκολη για πολύπλοκες εξισώσεις. Δείτε παρακάτω ένα παράδειγμα

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Ρίζα (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 και 13 είναι το x-intercept στην παραβολή.

• Προσδιορίστε την εξίσωση σας. Μερικές εξισώσεις στη μορφή ax² + bx + c μπορεί εύκολα να ληφθεί υπόψη στη μορφή (dx + e) (fx + g), όπου dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, και e × g = c Σε αυτήν την περίπτωση, οι παρεμβολές σας x είναι τιμές x που θα κάνουν οποιονδήποτε όρο σε παρένθεση = 0. Για παράδειγμα:

  • Χ² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Σε αυτήν την περίπτωση, η μόνη παρεμβολή x είναι -1 επειδή το x ίσο -1 θα κάνει κάθε παράγοντα όρο στις παρενθέσεις ίσο με 0.

• Χρησιμοποιήστε τον τετραγωνικό τύπο. Εάν δεν μπορείτε να λύσετε εύκολα την παρεμβολή x ή να συντελέσετε την εξίσωση, χρησιμοποιήστε μια ειδική εξίσωση που ονομάζεται τετραγωνικός τύπος που δημιουργήθηκε για αυτόν τον σκοπό. Εάν δεν έχει λυθεί ακόμη, μετατρέψτε την εξίσωση σας στο άξονα φόρμας² + bx + c, στη συνέχεια εισάγετε a, b και c στον τύπο x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. Σημειώστε ότι αυτή η μέθοδος συχνά σας δίνει δύο απαντήσεις για την τιμή x, η οποία είναι εντάξει-σημαίνει απλώς ότι η παραβολή σας έχει δύο παρεμβολές x. Δείτε παρακάτω ένα παράδειγμα:

  • -5x² + 1x + 10 μπαίνει στον τετραγωνικό τύπο ως εξής:
  • x = (-1 +/- Ρίζα (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Ρίζα (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Ρίζα (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) και (-15, 18/-10). Η παρεμβολή x στην παραβολή είναι x = - 1, 318 και 1, 518
  • Το προηγούμενο παράδειγμα της γενικής φόρμας, 2x² Το+16x+39 μπαίνει στον τετραγωνικό τύπο ως εξής:
  • x = (-16 +/- Ρίζα (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Ρίζα (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Ρίζα (-56)/-10
  • Δεδομένου ότι είναι αδύνατο να βρεθεί η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού, γνωρίζουμε ότι αυτή η παραβολή δεν έχει x-intercept.

Βήμα 9. Εάν χρειαστεί, βρείτε και σχεδιάστε το y-intercept

Ενώ συχνά δεν είναι απαραίτητο να αναζητήσετε το y-intercept στις εξισώσεις (το σημείο όπου η παραβολή περνάει από τον άξονα y), ίσως τελικά να χρειαστεί να το βρείτε, ειδικά αν είστε στο σχολείο. Η διαδικασία είναι αρκετά απλή-απλά κάντε x = 0, στη συνέχεια λύστε την εξίσωση σας για f (x) ή y, η οποία δίνει την τιμή του y όπου η παραβολή σας περνάει από τον άξονα y. Σε αντίθεση με το x-intercept, μια κανονική παραβολή μπορεί να έχει μόνο ένα y-intercept. Σημείωση-για εξισώσεις γενικής μορφής, η διακοπή y είναι στο y = c.

• Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι η τετραγωνική μας εξίσωση είναι 2x² Το + 16x + 39 έχει μια παρεμβολή y στο y = 39, αλλά μπορεί επίσης να βρεθεί με τον ακόλουθο τρόπο:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Η y-τομή της παραβολής είναι στο y = 39.

    Όπως σημειώθηκε παραπάνω, η διακοπή y είναι στο y = c.

• Η μορφή της εξίσωσης κορυφής μας είναι 4 (x - 5)² Το + 12 έχει μια παρεμβολή y που μπορεί να βρεθεί με τον ακόλουθο τρόπο:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Η διακοπή y της παραβολής είναι στο y = 112.

Βήμα 10. Αν χρειαστεί, σχεδιάστε επιπλέον σημεία και στη συνέχεια σχεδιάστε ένα γράφημα

Τώρα έχετε την κορυφή, την κατεύθυνση, την παρεμβολή x και, ενδεχομένως, το y-intercept στην εξίσωση σας. Σε αυτό το στάδιο, μπορείτε να προσπαθήσετε να σχεδιάσετε την παραβολή σας χρησιμοποιώντας τα σημεία που έχετε ως οδηγό ή να αναζητήσετε άλλα σημεία για να συμπληρώσετε την παραβολή σας έτσι ώστε η καμπύλη που σχεδιάζετε να είναι πιο ακριβής. Ο ευκολότερος τρόπος για να γίνει αυτό είναι απλά να εισαγάγετε μερικές τιμές x σε οποιαδήποτε πλευρά της κορυφής σας και, στη συνέχεια, να σχεδιάσετε αυτά τα σημεία χρησιμοποιώντας τις τιμές y που θα λάβετε. Συχνά, οι δάσκαλοι σας ζητούν να αναζητήσετε πολλά σημεία πριν σχεδιάσετε την παραβολή σας.

• Ας επανεξετάσουμε την εξίσωση x² + 2x + 1. Γνωρίζουμε ήδη ότι η διασταύρωση x είναι μόνο στο x = -1. Δεδομένου ότι η καμπύλη αγγίζει μόνο το σημείο παρεμβολής x σε ένα σημείο, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η κορυφή είναι η παρεμβολή του x, πράγμα που σημαίνει ότι η κορυφή είναι (-1, 0). Έχουμε ουσιαστικά μόνο ένα σημείο για αυτήν την παραβολή - όχι αρκετό για να αντλήσουμε μια καλή παραβολή. Ας αναζητήσουμε κάποια άλλα σημεία για να βεβαιωθούμε ότι σχεδιάζουμε ένα λεπτομερές γράφημα.

  • Ας βρούμε τις τιμές y για τις ακόλουθες τιμές x: 0, 1, -2 και -3.
  • Για 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Το σημείο μας είναι (0, 1).

  • Για 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Το σημείο μας είναι (1, 4).

  • Για -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Το σημείο μας είναι (-2, 1).

  • Για -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Το σημείο μας είναι (-3, 4).

  • Σχεδιάστε αυτά τα σημεία στο γράφημα και σχεδιάστε την καμπύλη σας σε σχήμα U. Σημειώστε ότι η παραβολή είναι απόλυτα συμμετρική - όταν τα σημεία σας στη μία πλευρά της παραβολής είναι ακέραιοι, μπορείτε συνήθως να μειώσετε το έργο της απλής αντανάκλασης ενός δεδομένου σημείου στον άξονα συμμετρίας της παραβολής για να βρείτε το ίδιο σημείο στην άλλη πλευρά της παραβολής Το

Συμβουλές

• Στρογγυλοποιήστε αριθμούς ή χρησιμοποιήστε κλάσματα σύμφωνα με το αίτημα του δασκάλου άλγεβρας. Αυτό θα σας βοηθήσει να γράψετε καλύτερα την τετραγωνική εξίσωση.
• Σημειώστε ότι στο f (x) = ax² + bx + c, αν b ή c είναι ίσο με το μηδέν, αυτοί οι αριθμοί θα εξαφανιστούν. Για παράδειγμα, 12x² + 0x + 6 γίνεται 12x² + 6 γιατί το 0x είναι 0.