Η δυαδική διαίρεση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μακράς διαίρεσης, η οποία είναι μια μέθοδος που μπορεί να σας διδάξει τη διαδικασία διαίρεσης μόνοι σας καθώς και να δημιουργήσετε απλά προγράμματα υπολογιστών. Επιπλέον, οι συμπληρωματικές μέθοδοι επαναληπτικής αφαίρεσης μπορούν να παρέχουν προσεγγίσεις που ίσως δεν γνωρίζετε, παρόλο που δεν χρησιμοποιούνται συνήθως για προγραμματισμό. Οι γλώσσες μηχανών χρησιμοποιούν συνήθως αλγόριθμους προσέγγισης για να είναι πιο αποτελεσματικοί, αλλά αυτό δεν περιγράφεται σε αυτό το άρθρο.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 2: Χρήση Long Division
Βήμα 1. Ξαναμάθετε δεκαδική μακρά διαίρεση
Εάν δεν έχετε χρησιμοποιήσει μακρά διαίρεση στο κανονικό δεκαδικό (βάση δέκα) σύστημα αριθμών εδώ και πολύ καιρό, επανεξετάστε τα βασικά χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του προβλήματος 172 διαιρούμενο με το 4. Διαφορετικά, παραλείψτε αυτό το βήμα και προχωρήστε κατευθείαν στο επόμενο βήμα για να εξερευνήσετε μια παρόμοια διαδικασία με δυαδικούς αριθμούς.
- Αριθμητής διαιρείται με παρονομαστής, και το αποτέλεσμα είναι πηλίκο.
- Συγκρίνετε τον παρονομαστή με τον πρώτο αριθμό στον αριθμητή. Εάν ο παρονομαστής είναι μεγαλύτερος, συνεχίστε να προσθέτετε αριθμούς στον αριθμητή έως ότου ο παρονομαστής είναι μικρότερος. (Για παράδειγμα, αν υπολογίσουμε το 172 διαιρούμενο με το 4, συγκρίνουμε το 4 με το 1, γνωρίζουμε ότι το 4 είναι μεγαλύτερο από το 1, οπότε προχωρήστε στη σύγκριση του 4 με το 17.)
- Γράψτε το πρώτο ψηφίο του πηλίκου πάνω από τον τελευταίο αριθμητή που χρησιμοποιήθηκε στη σύγκριση. Όταν συγκρίνουμε το 4 με το 17, βλέπουμε ότι το 4 καλύπτεται από το 17 τέσσερις φορές, οπότε γράφουμε το 4 ως τον πρώτο αριθμό του πηλίκου, πάνω από το 7.
- Πολλαπλασιάστε και αφαιρέστε για να πάρετε το υπόλοιπο. Πολλαπλασιάστε το πηλίκο με τον παρονομαστή, που σημαίνει 4 × 4 = 16. Γράψτε 16 κάτω από το 17, στη συνέχεια αφαιρέστε το 17 επί 16 για να πάρετε το υπόλοιπο, το οποίο είναι 1.
- Επαναλάβετε τη διαδικασία. Συγκρίνουμε ξανά τον παρονομαστή, ο οποίος είναι 4, με τον επόμενο αριθμό, που είναι 1, παρατηρούμε ότι το 4 είναι μεγαλύτερο από 1, στη συνέχεια "αφαιρούμε" τον επόμενο αριθμό από τον αριθμητή, συνεχίζουμε συγκρίνοντας το 4 με το 12. Βλέπουμε ότι το 4 καλύπτεται από 12 τρεις φορές χωρίς υπόλοιπο, οπότε γράφουμε 3 ως τον επόμενο αριθμό του πηλίκου. Η απάντηση είναι 43.
Βήμα 2. Προετοιμάστε ένα πρόβλημα μακράς διαίρεσης στο δυαδικό
Ας πάρουμε το 10101 11. Γράψτε ως πρόβλημα για μεγάλη διαίρεση, χρησιμοποιώντας το 10101 ως αριθμητή και το 11 ως παρονομαστή. Αφήστε χώρο πάνω του ως μέρος για να γράψετε το πηλίκο και από κάτω ως μέρος για να γράψετε υπολογισμούς.
Βήμα 3. Συγκρίνετε τον παρονομαστή με το πρώτο ψηφίο του αριθμητή
Λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο όπως η μακρά διαίρεση σε δεκαδικό, αλλά στην πραγματικότητα είναι πολύ πιο εύκολο στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Στο δυαδικό υπάρχουν μόνο δύο επιλογές, είτε δεν μπορείτε να διαιρέσετε τον αριθμό με τον παρονομαστή (σημαίνει 0) είτε ο παρονομαστής περιλαμβάνεται μόνο μία φορά (σημαίνει 1):
11> 1, οπότε το 11 δεν "καλύπτεται" 1. Γράψτε τον αριθμό 0 ως τον πρώτο αριθμό του πηλίκου (πάνω από το πρώτο ψηφίο του αριθμητή)
Βήμα 4. Εργαστείτε στον επόμενο αριθμό και επαναλάβετε μέχρι να λάβετε τον αριθμό 1
Ακολουθούν τα επόμενα βήματα στο παράδειγμά μας:
- Εξάγετε τον επόμενο αριθμό από τον αριθμητή. 11> 10. Γράψτε 0 στο πηλίκο.
- Χαμηλώστε τον επόμενο αριθμό. 11 <101. Γράψτε τον αριθμό 1 στο πηλίκο.
Βήμα 5. Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης
Όπως και με τα δεκαδικά δεκαδικά διαίρεση, πολλαπλασιάστε τον αριθμό που μόλις πήραμε (1) με τον παρονομαστή (11) και, στη συνέχεια, γράψτε το αποτέλεσμα κάτω από τον αριθμητή παράλληλα με τον αριθμό που μόλις υπολογίσαμε. Στο δυαδικό σύστημα αριθμών, μπορούμε να συνοψίσουμε αυτήν τη διαδικασία, επειδή 1 x ο παρονομαστής είναι πάντα ο ίδιος με τον παρονομαστή:
- Γράψτε τον παρονομαστή κάτω από τον αριθμητή. Εδώ, γράψτε 11 παράλληλα με τα τρία πρώτα ψηφία του αριθμητή (101).
- Μετρήστε 101 - 11 για να λάβετε το υπόλοιπο της διαίρεσης, το οποίο είναι 10. Δείτε πώς να αφαιρέσετε δυαδικούς αριθμούς εάν χρειάζεται να ξαναμάθετε.
Βήμα 6. Επαναλάβετε μέχρι να λυθεί το πρόβλημα
Μειώστε τον επόμενο αριθμό από τον παρονομαστή στο υπόλοιπο της διαίρεσης για να πάρετε το 100. Από το 11 <100, γράψτε το 1 ως επόμενο αριθμό στη διαίρεση. Συνεχίστε τον υπολογισμό όπως πριν:
- Γράψτε 11 κάτω από 100 και στη συνέχεια αφαιρέστε για να πάρετε 1.
- Χαμηλώστε το τελευταίο ψηφίο του αριθμητή στο 11.
- 11 = 11, οπότε γράψτε το 1 ως το τελευταίο ψηφίο του πηλίκου (απάντηση).
- Δεδομένου ότι δεν υπάρχει υπόλοιπο, ο υπολογισμός έχει ολοκληρωθεί. Η απάντηση είναι 00111, ή μόνο 111.
Βήμα 7. Προσθέστε σημεία βάσης εάν είναι απαραίτητο
Μερικές φορές, το αποτέλεσμα ενός υπολογισμού δεν είναι ακέραιος αριθμός. Εάν έχετε ακόμα διαίρεση μετά τη χρήση του τελευταίου ψηφίου, προσθέστε ".0" στον αριθμητή και "." στο πηλίκο, ώστε να μπορείτε να εξαγάγετε έναν ακόμη αριθμό και να συνεχίσετε τον υπολογισμό. Επαναλάβετε μέχρι να φτάσετε στην επιθυμητή ακρίβεια και στη συνέχεια στρογγυλοποιήστε το αποτέλεσμα. Σε χαρτί, μπορείτε να στρογγυλοποιήσετε αφαιρώντας το τελευταίο 0, ή εάν το τελευταίο είναι 1, απορρίψτε το και προσθέστε τον πιο πρόσφατο τελευταίο αριθμό στο 1. Στον προγραμματισμό, ακολουθήστε έναν από τους πολλούς τυπικούς αλγόριθμους στρογγυλοποίησης για να αποφύγετε σφάλματα κατά τη μετατροπή δυαδικών αριθμών στο δεκαδικό και αντίστροφα.
- Η δυαδική διαίρεση οδηγεί συχνά σε επαναλαμβανόμενα κλασματικά μέρη, συχνότερα από την ίδια διαδικασία στο δεκαδικό σύστημα.
- Αυτό ονομάζεται συχνότερα "σημείο βάσης", το οποίο ισχύει για οποιαδήποτε βάση, επειδή ο όρος "δεκαδικό σημείο" ισχύει μόνο στο δεκαδικό σύστημα.
Μέθοδος 2 από 2: Χρήση της συμπληρωματικής μεθόδου
Βήμα 1. Κατανοήστε τη βασική έννοια
Ένας τρόπος επίλυσης του προβλήματος της διαίρεσης - σε οποιαδήποτε βάση - είναι να αφαιρείτε συνεχώς τον παρονομαστή από τον αριθμητή και στη συνέχεια τον υπόλοιπο, μετρώντας πόσες φορές μπορεί να επαναληφθεί αυτή η διαδικασία πριν λάβετε έναν αρνητικό αριθμό. Το ακόλουθο παράδειγμα είναι ένας υπολογισμός στη βάση δέκα, υπολογίζοντας 26 7:
- 26 - 7 = 19 (αφαιρέστε 1 φορά)
- 19 - 7 = 12 (2)
- 12 - 7 = 5 (3)
- 5 - 7 = -2. Αρνητικοί αριθμοί, οπότε κάντε ένα βήμα πίσω. Το αποτέλεσμα είναι 3 και το υπόλοιπο διαιρείται με 5. Σημειώστε ότι αυτή η μέθοδος δεν υπολογίζει το κλασματικό μέρος της απάντησης.
Βήμα 2. Μάθετε πώς να αφαιρείτε με συμπληρώματα
Ενώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την παραπάνω μέθοδο σε ένα δυαδικό σύστημα εύκολα, μπορούμε επίσης να μειώσουμε τη χρήση μιας πιο αποτελεσματικής μεθόδου, η οποία εξοικονομεί χρόνο κατά τον προγραμματισμό του υπολογιστή για να κάνει δυαδική διαίρεση. Αυτό είναι αφαίρεση με τη μέθοδο του συμπληρώματος σε δυαδικό. Ακολουθούν τα βασικά, υπολογίζοντας 111 - 011 (βεβαιωθείτε ότι οι δύο αριθμοί έχουν το ίδιο μήκος):
- Βρείτε το συμπλήρωμα του δεύτερου αριθμού, αφαιρώντας κάθε ψηφίο από 1. Αυτό το βήμα είναι εύκολο να γίνει στο δυαδικό σύστημα αλλάζοντας κάθε 1 σε 0 και κάθε 0 σε 1. Σε αυτό το παράδειγμα, 011 σε 100.
- Προσθέστε 1 στο αποτέλεσμα του υπολογισμού: 100 + 1 = 101. Αυτός ο αριθμός καλείται συμπλήρωμα δύο, οπότε η αφαίρεση μπορεί να λυθεί ως πρόσθεση. Στην ουσία, το αποτέλεσμα αυτού του υπολογισμού είναι σαν να προσθέτουμε αρνητικούς αριθμούς και όχι να αφαιρούμε θετικούς αριθμούς, αφού ολοκληρωθεί αυτή η διαδικασία.
- Προσθέστε το αποτέλεσμα στον πρώτο αριθμό. Γράψτε και λύστε το πρόβλημα της προσθήκης: 111 + 101 = 1100.
- Αφαιρέστε περισσότερους αριθμούς. Αφαιρέστε τον πρώτο αριθμό από το αποτέλεσμα υπολογισμού για να πάρετε το τελικό αποτέλεσμα. 1100 100.
Βήμα 3. Συνδυάστε τις δύο έννοιες που περιγράφονται παραπάνω
Τώρα γνωρίζετε τη μέθοδο αφαίρεσης για την επίλυση προβλημάτων διαίρεσης, καθώς και τη μέθοδο συμπληρώματος των δύο για την επίλυση προβλημάτων αφαίρεσης. Χρησιμοποιώντας τα παρακάτω βήματα, μπορείτε να συνδυάσετε τα δύο σε μία μέθοδο για να λύσετε το πρόβλημα της διαίρεσης. Εάν θέλετε, δοκιμάστε να το λύσετε μόνοι σας πριν συνεχίσετε.
Βήμα 4. Αφαιρέστε τον παρονομαστή από τον αριθμητή, προσθέτοντας το συμπλήρωμα των δύο
Ας εργαστούμε για το πρόβλημα 100011 000101. Το πρώτο βήμα είναι να λύσουμε 100011 - 000101, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συμπληρώματος των δύο για να μετατρέψουμε αυτόν τον υπολογισμό σε άθροισμα:
- Το συμπλήρωμα δύο του 000101 = 111010 + 1 = 111011
- 100011 + 111011 = 1011110
- Αφαιρέστε τους επιπλέον αριθμούς → 011110
Βήμα 5. Προσθέστε 1 στο αποτέλεσμα της διαίρεσης
Σε ένα πρόγραμμα υπολογιστή, εδώ προσθέτετε 1 στο πηλίκο. Σε χαρτί, σημειώστε στις γωνίες για να μην μπερδευτούν με άλλες δουλειές. Καταφέραμε να αφαιρέσουμε μία φορά, οπότε το αποτέλεσμα της διαίρεσης μέχρι τώρα είναι 1.
Βήμα 6. Επαναλάβετε τη διαδικασία αφαιρώντας τον παρονομαστή από το υπόλοιπο του υπολογισμού
Το αποτέλεσμα του τελευταίου μας υπολογισμού είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης αφού ο παρονομαστής «καλυφθεί» μία φορά. Συνεχίστε να προσθέτετε το συμπλήρωμα των δύο του παρονομαστή σε κάθε επανάληψη και να αφαιρείτε επιπλέον ψηφία. Προσθέστε 1 στο πηλίκο σε κάθε επανάληψη, επαναλαμβάνοντας έως ότου λάβετε το υπόλοιπο του υπολογισμού ίσο ή μικρότερο από τον παρονομαστή:
- 011110 + 111011 = 1011001 → 011001 (πηλίκο 1 + 1 = 10)
- 0110001 + 111011 = 1010100 → 010100 (πηλίκο 10 + 1 = 11)
- 010100 + 111011 = 1001111 → 001111 (11+1=100)
- 001111 + 111011 = 1001010 → 001010 (100+1=101)
- 001010 + 111011 = 10000101 → 0000101 (101+1=110)
- 0000101 + 111011 = 1000000 → 000000 (110+1=111)
- 0 είναι λιγότερο από 101, οπότε σταματάμε εδώ. Η απάντηση σε αυτή τη διαδικασία διαίρεσης είναι 111 Το Ενώ το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι το τελικό αποτέλεσμα της διαδικασίας αφαίρεσης, στην περίπτωση αυτή 0 (χωρίς υπόλοιπο).
Συμβουλές
- Οδηγίες για την αύξηση (προσθήκη 1), μείωση (αφαίρεση 1) ή αφαίρεση από τη στοίβα (pop stack) θα πρέπει να ληφθούν υπόψη πριν από την εφαρμογή δυαδικών μαθηματικών σε ένα σύνολο οδηγιών μηχανής.
- Η μέθοδος συμπληρώματος των δύο για αφαίρεση δεν θα λειτουργήσει εάν οι αριθμοί έχουν διαφορετικό αριθμό ψηφίων. Για να το διορθώσετε, προσθέστε ένα μηδέν στην αρχή του αριθμού για έναν μικρότερο αριθμό.
- Αγνοήστε τους αρνητικούς αριθμούς σε αρνητικούς δυαδικούς αριθμούς πριν από τον υπολογισμό, παρά μόνο για να προσδιορίσετε εάν η απάντηση είναι θετική ή αρνητική.
