Ένα διάνυσμα είναι μια φυσική ποσότητα που έχει τόσο μέγεθος όσο και κατεύθυνση (π.χ. ταχύτητα, επιτάχυνση και μετατόπιση), σε αντίθεση με μια κλίμακα που αποτελείται μόνο από μέγεθος (π.χ. ταχύτητα, απόσταση ή ενέργεια). Εάν μπορούν να προστεθούν κλιμάκωση προσθέτοντας μεγέθη (π.χ. εργασία 5 kJ συν 6 kJ εργασία ισούται με εργασία 11 kJ), τα διανύσματα είναι λίγο δύσκολο να προστεθούν ή να αφαιρεθούν. Δείτε το Βήμα 1 παρακάτω για να μάθετε μερικούς τρόπους για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε διανύσματα.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 3: Προσθήκη και αφαίρεση διανυσμάτων των οποίων τα συστατικά είναι γνωστά
Βήμα 1. Γράψτε τα διαστατικά στοιχεία του διανύσματος σε διανυσματική σημειογραφία
Δεδομένου ότι τα διανύσματα έχουν μέγεθος και κατεύθυνση, μπορούν συνήθως να χωριστούν σε μέρη με βάση τις διαστάσεις x, y και/ή z. Αυτές οι διαστάσεις συνήθως γράφονται με παρόμοιο συμβολισμό για να περιγράψουν ένα σημείο σε ένα σύστημα συντεταγμένων (π.χ. και άλλα). Εάν γνωρίζετε αυτό το μέρος, η προσθήκη ή η αφαίρεση διανυσμάτων είναι πολύ εύκολη, απλά προσθέστε ή αφαιρέστε τις συντεταγμένες x, y και z.
- Παρατηρήστε εάν οι διαστάσεις του διανύσματος είναι 1, 2 ή 3. Έτσι, το διάνυσμα μπορεί να έχει συστατικά x, x και y, ή x, y και z. Το παρακάτω παράδειγμα μας χρησιμοποιεί ένα τρισδιάστατο διάνυσμα, αλλά η διαδικασία είναι σαν ένα διάνυσμα 1 ή 2 διαστάσεων.
- Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο τρισδιάστατα διανύσματα, το διάνυσμα Α και το διάνυσμα Β. Μπορούμε να γράψουμε αυτά τα διανύσματα χρησιμοποιώντας διανυσματικά σημειώματα όπως Α = και Β =, όπου τα α1 και α2 είναι x συστατικά, τα β1 και β2 είναι συστατικά y, και τα c1 και c2 είναι συστατικά z.
Βήμα 2. Για να προσθέσετε τα δύο διανύσματα, προσθέστε τα συστατικά τους
Εάν τα δύο συστατικά ενός διανύσματος είναι γνωστά, μπορείτε να προσθέσετε τα διανύσματα προσθέτοντας τα συστατικά του καθενός. Με άλλα λόγια, προσθέστε το συστατικό x του πρώτου διανύσματος στο συστατικό x του δεύτερου φορέα και κάντε το ίδιο για y και z. Η απάντηση που λαμβάνετε από την πρόσθεση των συστατικών x, y και z αυτών των διανυσμάτων είναι τα συστατικά x, y και z του νέου σας διανύσματος.
- Σε γενικές γραμμές, Α+Β =.
- Ας προσθέσουμε δύο διανύσματα Α και Β. Α = και Β =. Α + Β =, ή.
Βήμα 3. Για να αφαιρέσετε και τα δύο διανύσματα, αφαιρέστε τα συστατικά τους
Όπως θα συζητήσουμε αργότερα, αφαιρώντας ένα διάνυσμα από ένα άλλο, μπορεί να θεωρηθεί ότι προσθέτει τα αμοιβαία διανύσματά του. Εάν τα συστατικά και των δύο διανυσμάτων είναι γνωστά, είναι δυνατόν να αφαιρέσουμε ένα διάνυσμα από ένα άλλο αφαιρώντας το πρώτο συστατικό από το δεύτερο συστατικό (ή προσθέτοντας τα αρνητικά συστατικά και των δύο).
- Σε γενικές γραμμές, Α-Β =
- Ας αφαιρέσουμε δύο διανύσματα Α και Β. Α = και Β =. Α - Β =, ή.
Μέθοδος 2 από 3: Προσθήκη και αφαίρεση με εικόνες χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Head and Tail
Βήμα 1. Συμβολίστε το διάνυσμα σχεδιάζοντάς το χρησιμοποιώντας το κεφάλι και την ουρά
Δεδομένου ότι τα διανύσματα έχουν τόσο μέγεθος όσο και κατεύθυνση, μπορούμε να πούμε ότι έχουν ουρά και κεφάλι. Με άλλα λόγια, ένα διάνυσμα έχει ένα σημείο εκκίνησης και ένα τελικό σημείο που δείχνει την κατεύθυνση του φορέα του οποίου η απόσταση από το σημείο εκκίνησης είναι ίση με το μέγεθος του διανύσματος. Όταν σχεδιάζεται, το διάνυσμα παίρνει τη μορφή βέλους. Η άκρη του βέλους είναι η κεφαλή του διανύσματος και το άκρο της διανυσματικής γραμμής είναι η ουρά.
Εάν δημιουργείτε ένα διανυσματικό σχέδιο με διαστάσεις, θα πρέπει να μετρήσετε και να σχεδιάσετε όλες τις γωνίες με ακρίβεια. Η λάθος γωνία της εικόνας θα επηρεάσει το αποτέλεσμα όταν προστεθούν ή αφαιρεθούν δύο διανύσματα χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο
Βήμα 2. Για να προσθέσετε, να σχεδιάσετε ή να μετακινήσετε το δεύτερο διάνυσμα έτσι ώστε η ουρά να συναντά την κεφαλή του πρώτου διανύσματος
Αυτό ονομάζεται συνδυασμός διανυσμάτων κεφαλής σε ουρά. Εάν προσθέτετε δύο διανύσματα, δείτε τι πρέπει να κάνετε πριν βρείτε το διάνυσμα που προκύπτει.
Σημειώστε ότι η σειρά με την οποία προσθέτετε διανύσματα δεν έχει σημασία, αν υποθέσουμε ότι χρησιμοποιείτε το ίδιο σημείο εκκίνησης. Διάνυσμα Α + Διάνυσμα Β = Διάνυσμα Β + Βέλτορ Α
Βήμα 3. Για να αφαιρέσετε, προσθέστε ένα αρνητικό πρόσημο στο διάνυσμα
Η μείωση των διανυσμάτων χρησιμοποιώντας εικόνες είναι πολύ απλή. Αντιστρέψτε την κατεύθυνση του διανύσματος, αλλά διατηρήστε το μέγεθος το ίδιο και προσθέστε το διάνυσμα κεφαλή και ουρά ως συνήθως. Με άλλα λόγια, για να αφαιρέσετε ένα διάνυσμα, περιστρέψτε το διάνυσμα 180ο και αθροίστε
Βήμα 4. Εάν προσθέσετε ή αφαιρέσετε περισσότερα από δύο διανύσματα, συνδυάστε όλα τα διανύσματα με σειρά κεφαλής προς ουρά
Η σειρά συγχώνευσης δεν έχει σημασία. Αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί ανεξάρτητα από τον αριθμό των διανυσμάτων.
Βήμα 5. Σχεδιάστε ένα νέο διάνυσμα από την ουρά του πρώτου διανύσματος στο κεφάλι του τελευταίου διανύσματος
Είτε προσθέτετε/αφαιρείτε δύο διανύσματα είτε εκατό, το διάνυσμα που εκτείνεται από το αρχικό σας σημείο εκκίνησης (η ουρά του πρώτου διανύσματος) έως το τελικό σημείο του τελευταίου σας διανύσματος (το κεφάλι του τελευταίου σας διανύσματος) είναι το διάνυσμα που προκύπτει ή το άθροισμα όλων των διανυσμάτων σας. Σημειώστε ότι αυτό το διάνυσμα είναι ακριβώς το ίδιο με το διάνυσμα που λαμβάνεται προσθέτοντας όλα τα x, y και/ή z στοιχεία.
- Εάν σχεδιάσετε όλα τα διανύσματά σας σε μέγεθος, μετρώντας σωστά όλες τις γωνίες, μπορείτε να προσδιορίσετε το μέγεθος του διανύσματος που προκύπτει μετρώντας το μήκος. Μπορείτε επίσης να μετρήσετε τη γωνία μεταξύ του προκύπτοντος και οποιουδήποτε διανύσματος οριζόντια ή κάθετα για να καθορίσετε την κατεύθυνσή του.
- Εάν δεν σχεδιάσετε όλα τα διανύσματά σας στο μέγεθος, ίσως χρειαστεί να υπολογίσετε το μέγεθος του προκύπτοντος χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία. Maybeσως οι κανόνες Sine and Cosine να βοηθήσουν. Εάν προσθέσετε περισσότερα από δύο διανύσματα, είναι χρήσιμο να προσθέσετε το πρώτο διάνυσμα κατά το δεύτερο, στη συνέχεια προσθέστε το αποτέλεσμα του δεύτερου στο τρίτο και ούτω καθεξής. Δείτε τις παρακάτω ενότητες για περισσότερες πληροφορίες.
Βήμα 6. Σχεδιάστε το διάνυσμα που προκύπτει χρησιμοποιώντας το μέγεθος και την κατεύθυνσή του
Ένα διάνυσμα ορίζεται από το μήκος και την κατεύθυνσή του. Όπως παραπάνω, αν υποθέσουμε ότι σχεδιάσατε το διάνυσμά σας με ακρίβεια, το μέγεθος του νέου σας διανύσματος είναι το μήκος του και η κατεύθυνσή του είναι η γωνία σε σχέση με την κάθετη ή την οριζόντια διεύθυνση. Χρησιμοποιήστε τα διανύσματα μονάδων που προσθέτετε ή αφαιρείτε για να προσδιορίσετε τις μονάδες για το μέγεθος του διανύσματος που προκύπτει.
Για παράδειγμα, εάν τα προστιθέμενα διανύσματα αντιπροσωπεύουν ταχύτητα σε ms-1, τότε το διάνυσμα που προκύπτει μπορεί να οριστεί ως "ταχύτητα x ms-1 εναντίον y ο προς την οριζόντια κατεύθυνση.
Μέθοδος 3 από 3: Προσθήκη και αφαίρεση διανυσμάτων καθορίζοντας διανυσματικά συστατικά διαστάσεων
Βήμα 1. Χρησιμοποιήστε τριγωνομετρία για να προσδιορίσετε τα συστατικά ενός διανύσματος
Για να βρείτε τα συστατικά ενός διανύσματος, συνήθως πρέπει να γνωρίζετε το μέγεθος και την κατεύθυνσή του σε σχέση με την οριζόντια ή κάθετη κατεύθυνση και να κατανοήσετε την τριγωνομετρία. Υποθέτοντας ένα διδιάστατο διάνυσμα, σκεφτείτε πρώτα το διάνυσμά σας ως την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου του οποίου οι δύο πλευρές είναι παράλληλες με τις κατευθύνσεις x και y. Αυτές οι δύο πλευρές μπορούν να θεωρηθούν ως συστατικά ενός φορέα από κεφαλή σε ουρά που συγκεντρώνονται για να σχηματίσουν το διάνυσμά σας.
- Τα μήκη και των δύο πλευρών είναι ίσα με τα συστατικά x και y του διανύσματος και μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία. Εάν το x είναι ένα μέγεθος διανύσματος, η γειτονική πλευρά της γωνίας του διανύσματος (σε σχέση με την οριζόντια, κάθετη και άλλες κατευθύνσεις) είναι xcos (θ), ενώ η αντίθετη πλευρά είναι xsin (θ).
- Είναι επίσης πολύ σημαντικό να σημειώσετε την κατεύθυνση των εξαρτημάτων σας. Εάν το συστατικό δείχνει αρνητική συντεταγμένη, του δίνεται αρνητικό πρόσημο. Για παράδειγμα, σε ένα δισδιάστατο επίπεδο, εάν ένα στοιχείο δείχνει προς τα αριστερά ή προς τα κάτω, είναι αρνητικό.
- Για παράδειγμα, ας πούμε ότι έχουμε ένα διάνυσμα με μέγεθος 3 και διεύθυνση 135ο σε σχέση με το οριζόντιο. Με αυτές τις πληροφορίες, μπορούμε να καθορίσουμε ότι το στοιχείο x είναι 3cos (135) = - 2, 12 και το συστατικό y είναι 3sin (135) = 2, 12
Βήμα 2. Προσθέστε ή αφαιρέστε δύο ή περισσότερα σχετικά διανύσματα
Αφού βρείτε τα συστατικά όλων των διανυσμάτων σας, προσθέστε τα για να βρείτε τα συστατικά του διανύσματος που προκύπτει. Αρχικά, αθροίστε όλα τα μεγέθη των οριζόντιων στοιχείων (τα οποία είναι παράλληλα με την κατεύθυνση x). Ξεχωριστά, προσθέστε όλα τα μεγέθη των κατακόρυφων συνιστωσών (τα οποία είναι παράλληλα με την κατεύθυνση y). Εάν ένα συστατικό είναι αρνητικό (-), το μέγεθός του αφαιρείται και δεν προστίθεται. Η απάντηση που παίρνετε είναι το συστατικό του διανύσματος που προκύπτει.
Για παράδειγμα, το διάνυσμα από το προηγούμενο βήμα,, προστίθεται στο διάνυσμα. Σε αυτή την περίπτωση, το διάνυσμα που προκύπτει γίνεται ή
Βήμα 3. Υπολογίστε το μέγεθος του διανύσματος που προκύπτει χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα
Πυθαγόρειο Θεώρημα γ2= α2+β2, χρησιμοποιείται για τον εντοπισμό του μήκους της πλευράς ενός ορθογώνιου τριγώνου. Δεδομένου ότι το τρίγωνο που σχηματίζεται από το διάνυσμα που προκύπτει και τα συστατικά του είναι ορθογώνιο τρίγωνο, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε το μήκος και το μέγεθος του διανύσματος. Με το c ως το μέγεθος του διανύσματος που προκύπτει, το οποίο αναζητάτε, ας υποθέσουμε ότι το a είναι το μέγεθος του x συστατικού και το b είναι το μέγεθος του συστατικού y. Λύστε χρησιμοποιώντας άλγεβρα.
-
Για να βρείτε το μέγεθος του διανύσματος των οποίων τα συστατικά αναζητούσαμε στο προηγούμενο βήμα, χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Λύστε ως εξής:
- ντο2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- ντο2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Βήμα 4. Υπολογίστε την κατεύθυνση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση εφαπτομένης
Τέλος, βρείτε το προκύπτον διάνυσμα της κατεύθυνσης. Χρησιμοποιήστε τον τύπο = μαύρισμα-1(b/a), όπου είναι το μέγεθος της γωνίας που σχηματίζεται σε x ή οριζόντια κατεύθυνση, b είναι το μέγεθος του συστατικού y και a είναι το μέγεθος του συστατικού x.
-
Για να βρείτε την κατεύθυνση του φορέα μας, χρησιμοποιήστε = μαύρισμα-1(β/α).
- = μαύρισμα-1(-6, 88/3, 66)
- = μαύρισμα-1(-1, 88)
- = -61, 99ο
Βήμα 5. Σχεδιάστε το διάνυσμα που προκύπτει σύμφωνα με το μέγεθος και την κατεύθυνσή του
Όπως γράφτηκε παραπάνω, τα διανύσματα ορίζονται από το μέγεθος και την κατεύθυνσή τους. Βεβαιωθείτε ότι χρησιμοποιείτε τις κατάλληλες μονάδες για το μέγεθος του φορέα σας.
Για παράδειγμα, εάν το διανυσματικό μας παράδειγμα αντιπροσωπεύει μια δύναμη (σε Newtons), τότε μπορούμε να τη γράψουμε "δύναμη 7,79 Ν επί -61,99 ο στο οριζόντιο ".
Συμβουλές
- Το διάνυσμα διαφέρει από το μεγάλο.
- Διανύσματα με την ίδια κατεύθυνση μπορούν να προστεθούν ή να αφαιρεθούν προσθέτοντας ή αφαιρώντας τα μεγέθη τους. Αν εσύ συνοψίζω δύο διανύσματα που είναι αντίθετα, τα μεγέθη τους αφαιρούνται και δεν προστίθενται.
- Τα διανύσματα που παριστάνονται με τη μορφή x i + y j + z k μπορούν να προστεθούν ή να αφαιρεθούν προσθέτοντας ή αφαιρώντας τους συντελεστές των τριών μονάδων διανυσμάτων. Η απάντηση είναι επίσης με τη μορφή i, j και k.
- Μπορείτε να βρείτε το μέγεθος ενός τρισδιάστατου διανύσματος χρησιμοποιώντας τον τύπο α2= β2+γ2+δ2 όπου a είναι το μέγεθος του διανύσματος και b, c και d είναι τα συστατικά κάθε κατεύθυνσης.
- Τα διανύσματα στηλών μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν προσθέτοντας ή αφαιρώντας τις τιμές κάθε σειράς.
