Η ταχύτητα ορίζεται ως η ταχύτητα ενός αντικειμένου προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Σε πολλές περιπτώσεις, για να βρούμε ταχύτητα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση v = s/t, όπου v ισούται με ταχύτητα, s ισούται με τη συνολική απόσταση που έχει μετακινηθεί το αντικείμενο από την αρχική του θέση και t ισούται με χρόνο. Ωστόσο, αυτή η μέθοδος δίνει μόνο τη "μέση" τιμή ταχύτητας του αντικειμένου κατά τη μετατόπιση του. Χρησιμοποιώντας τον υπολογισμό, μπορείτε να υπολογίσετε την ταχύτητα ενός αντικειμένου σε οποιοδήποτε σημείο κατά μήκος της μετατόπισης του. Αυτή η τιμή ονομάζεται "άμεση ταχύτητα" και μπορεί να υπολογιστεί με την εξίσωση v = (ds)/(dt), ή, με άλλα λόγια, είναι το παράγωγο της εξίσωσης για τη μέση ταχύτητα του αντικειμένου.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 3: Υπολογισμός στιγμιαίας ταχύτητας
Βήμα 1. Ξεκινήστε με την εξίσωση για την ταχύτητα μετατόπισης του αντικειμένου
Για να λάβουμε την τιμή της στιγμιαίας ταχύτητας ενός αντικειμένου, πρέπει πρώτα να έχουμε μια εξίσωση που περιγράφει τη θέση του (ως προς την μετατόπιση του) σε μια δεδομένη χρονική στιγμή. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει να έχει μεταβλητή μικρό (που στέκεται μόνο του) στη μία πλευρά, και τ από την άλλη πλευρά (αλλά όχι απαραίτητα αυτόνομο), όπως αυτό:
s = -1,5t2+10t+4
-
Στην εξίσωση, οι μεταβλητές είναι:
-
-
Μετατόπιση = s Το Αυτή είναι η απόσταση που διανύει το αντικείμενο από το σημείο εκκίνησής του. Για παράδειγμα, εάν ένα αντικείμενο ταξιδεύει 10 μέτρα μπροστά και 7 μέτρα πίσω, τότε η συνολική απόσταση που διανύθηκε είναι 10 - 7 = 3 μέτρα (όχι 10 + 7 = 17 μέτρα).
-
Χρόνος = t Το Αυτή η μεταβλητή είναι αυτονόητη. Συνήθως εκφράζεται σε δευτερόλεπτα. # Πάρτε το παράγωγο της εξίσωσης. Το παράγωγο μιας εξίσωσης είναι μια άλλη εξίσωση που μπορεί να δώσει την τιμή κλίσης από ένα συγκεκριμένο σημείο. Για να βρείτε το παράγωγο του τύπου για την μετατόπιση ενός αντικειμένου, αντλήστε τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο γενικό κανόνα: Αν y = a*x , Παράγωγο = a*n*xn-1 Το Αυτός ο κανόνας ισχύει για οποιοδήποτε στοιχείο που βρίσκεται στην πλευρά "t" της εξίσωσης.
Υπολογισμός στιγμιαίας ταχύτητας Βήμα 2
-
-
- Με άλλα λόγια, ξεκινήστε κατεβαίνοντας την πλευρά "t" της εξίσωσης από αριστερά προς τα δεξιά. Κάθε φορά που φτάνετε στην τιμή "t", αφαιρείτε το 1 από την τιμή του εκθέτη και πολλαπλασιάζετε το σύνολο με τον αρχικό εκθέτη. Οποιεσδήποτε σταθερές (μεταβλητές που δεν περιέχουν "t") θα χαθούν επειδή πολλαπλασιάζονται με 0. Αυτή η διαδικασία δεν είναι τόσο δύσκολη όσο θα νόμιζε κανείς, ας εξάγουμε την εξίσωση στο παραπάνω βήμα ως παράδειγμα:
s = -1,5t2+10t+4
(2) -1,5t(2-1)+ (1) 10τ1 - 1 + (0) 4t0
-3t1 + 10τ0
- 3t + 10
Βήμα 2. Αντικαταστήστε τη μεταβλητή "s" με "ds/dt
"Για να δείξετε ότι η νέα σας εξίσωση είναι παράγωγο της προηγούμενης εξίσωσης, αντικαταστήστε το" s "με" ds/dt ". Τεχνικά, αυτός ο συμβολισμός σημαίνει" παράγωγο του s σε σχέση με το t. "Ένας πιο απλός τρόπος για να το καταλάβετε αυτό είναι ότι ds /dt είναι η τιμή της κλίσης (κλίση) σε οποιοδήποτε σημείο της πρώτης εξίσωσης, για παράδειγμα, για τον προσδιορισμό της κλίσης μιας γραμμής που εξάγεται από την εξίσωση s = -1.5t2 + 10t + 4 στο t = 5, μπορούμε να συνδέσουμε την τιμή "5" στην παράγωγη εξίσωση.
- Στο παράδειγμα που χρησιμοποιήθηκε, η πρώτη εξίσωση παραγώγων θα μοιάζει τώρα με αυτήν:
ds/sec = -3t + 10
Βήμα 3. Συνδέστε την τιμή του t στη νέα εξίσωση για να λάβετε την τιμή της στιγμιαίας ταχύτητας
Τώρα που έχετε την παράγωγη εξίσωση, είναι εύκολο να βρείτε τη στιγμιαία ταχύτητα σε οποιοδήποτε σημείο. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να επιλέξετε μια τιμή για το t και να την συνδέσετε στην παράγωγη εξίσωση. Για παράδειγμα, εάν θέλετε να βρείτε τη στιγμιαία ταχύτητα στο t = 5, μπορείτε να αντικαταστήσετε την τιμή t με "5" στην παράγωγη εξίσωση ds/dt = -3 + 10. Στη συνέχεια λύστε την εξίσωση ως εξής:
ds/sec = -3t + 10
ds/sec = -3 (5) + 10
ds/sec = -15 + 10 = - 5 μέτρα/δευτερόλεπτο
Σημειώστε ότι η μονάδα που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω είναι "μετρητής/δευτερόλεπτο". Επειδή αυτό που υπολογίζουμε είναι μετατόπιση σε μέτρα και χρόνος σε δευτερόλεπτα (δευτερόλεπτα) και η ταχύτητα γενικά είναι μετατόπιση σε συγκεκριμένο χρόνο, αυτή η μονάδα είναι κατάλληλη για χρήση
Μέθοδος 2 από 3: Γραφική εκτίμηση στιγμιαίας ταχύτητας
Βήμα 1. Σχεδιάστε ένα γράφημα της μετατόπισης του αντικειμένου με την πάροδο του χρόνου
Στο παραπάνω τμήμα, το παράγωγο αναφέρεται ως ο τύπος για τον εντοπισμό της κλίσης σε ένα δεδομένο σημείο για την εξίσωση που παράγετε. Στην πραγματικότητα, εάν αναπαριστάτε τη μετατόπιση ενός αντικειμένου ως γραμμή σε ένα γράφημα, "η κλίση της γραμμής σε όλα τα σημεία είναι ίση με την τιμή της στιγμιαίας ταχύτητάς του σε εκείνο το σημείο".
- Για να περιγράψετε τη μετατόπιση ενός αντικειμένου, χρησιμοποιήστε το x για να αναπαραστήσετε το χρόνο και το y για να αναπαραστήσετε την μετατόπιση. Στη συνέχεια, σχεδιάστε τα σημεία, συνδέοντας την τιμή t στην εξίσωση, παίρνοντας έτσι την τιμή s για το γράφημα σας, σημειώστε t, s στο γράφημα ως (x, y).
- Λάβετε υπόψη ότι το γράφημα σας μπορεί να εκτείνεται κάτω από τον άξονα x. Εάν η γραμμή που αντιπροσωπεύει την κίνηση του αντικειμένου σας φτάνει κάτω από τον άξονα x, σημαίνει ότι το αντικείμενο έχει μετακινηθεί προς τα πίσω από την αρχική του θέση. Γενικά, το γράφημα σας δεν θα φτάσει στο πίσω μέρος του άξονα y - επειδή δεν μετράμε την ταχύτητα ενός αντικειμένου που κινείται παρελθόν!
Βήμα 2. Επιλέξτε ένα παρακείμενο σημείο P και Q στη γραμμή
Για να πάρουμε την κλίση της γραμμής σε ένα σημείο Ρ, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα τέχνασμα που ονομάζεται "λήψη του ορίου". Η λήψη του ορίου περιλαμβάνει δύο σημεία (P και Q, ένα κοντινό σημείο) στην καμπύλη γραμμή και εύρεση της κλίσης της γραμμής συνδέοντάς τα πολλές φορές έως ότου οι αποστάσεις P και Q πλησιάσουν.
Ας πούμε ότι η γραμμή μετατόπισης του αντικειμένου περιέχει τις τιμές (1, 3) και (4, 7). Σε αυτή την περίπτωση, αν θέλουμε να βρούμε την κλίση στο σημείο (1, 3), μπορούμε να καθορίσουμε (1, 3) = Ρ και (4, 7) = Q.
Βήμα 3. Βρείτε την κλίση μεταξύ P και Q
Η κλίση μεταξύ P και Q είναι η διαφορά στις τιμές y για P και Q κατά μήκος της διαφοράς τιμής του άξονα x για P και Q. Με άλλα λόγια, H = (yΕΡ - yΠ)/(ΧΕΡ - ΧΠ), όπου H είναι η κλίση μεταξύ των δύο σημείων. Στο παράδειγμά μας, η τιμή της κλίσης μεταξύ P και Q είναι
H = (yΕΡ- yΠ)/(ΧΕΡ- ΧΠ)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Βήμα 4. Επαναλάβετε αρκετές φορές, μετακινώντας το Q πιο κοντά στο P
Ο στόχος σας είναι να μειώσετε την απόσταση μεταξύ P και Q ώστε να μοιάζει με τελεία. Όσο πιο κοντά είναι η απόσταση μεταξύ P και Q, τόσο πιο κοντά είναι η κλίση της γραμμής στο σημείο P. Κάντε αυτό αρκετές φορές με την εξίσωση που χρησιμοποιείται ως παράδειγμα, χρησιμοποιώντας σημεία (2, 4.8), (1.5, 3.95) και (1.25, 3.49) ως Q και το σημείο εκκίνησης (1, 3) ως P:
Q = (2, 4.8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
Η = (1,8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
Η = (.95)/(. 5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
Η = (.49)/(. 25) = 1.96
Βήμα 5. Υπολογίστε την κλίση της γραμμής για πολύ μικρή απόσταση
Καθώς το Q πλησιάζει το P, το H πλησιάζει όλο και περισσότερο την τιμή της κλίσης του σημείου P. Τελικά, όταν φτάσει σε μια πολύ μικρή τιμή, το H ισούται με την κλίση του P. Δεδομένου ότι δεν μπορούμε να μετρήσουμε ή να υπολογίσουμε πολύ μικρές αποστάσεις, μπορούμε να εκτιμήσουμε την κλίση στο Ρ μόνο αφού είναι ξεκάθαρη από το σημείο που προσπαθούμε.
- Στο παράδειγμα, καθώς πλησιάζουμε το Q πιο κοντά στο P, παίρνουμε τιμές 1,8, 1,9 και 1,96 για το H. Δεδομένου ότι αυτοί οι αριθμοί είναι κοντά στο 2, μπορούμε να πούμε ότι το 2 είναι η κατά προσέγγιση κλίση του Ρ.
- Θυμηθείτε ότι η κλίση σε οποιοδήποτε σημείο της ευθείας είναι ίση με το παράγωγο της εξίσωσης της ευθείας. Δεδομένου ότι η γραμμή που χρησιμοποιείται δείχνει την μετατόπιση ενός αντικειμένου με την πάροδο του χρόνου, και επειδή όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα, η στιγμιαία ταχύτητα ενός αντικειμένου είναι παράγωγο της μετατόπισης του σε ένα δεδομένο σημείο, μπορούμε επίσης να δηλώσουμε ότι "2 μέτρα/δευτερόλεπτο "είναι η κατά προσέγγιση τιμή της στιγμιαίας ταχύτητας στο t = 1.
Μέθοδος 3 από 3: Δείγματα ερωτήσεων
Βήμα 1. Βρείτε την τιμή της στιγμιαίας ταχύτητας σε t = 4, από την εξίσωση μετατόπισης s = 5t3 - 3τ2 +2t+9.
Αυτό το πρόβλημα είναι το ίδιο με το παράδειγμα στο πρώτο μέρος, με την διαφορά ότι αυτή η εξίσωση είναι εξίσωση κύβου, όχι εξίσωση ισχύος, οπότε μπορούμε να λύσουμε αυτό το πρόβλημα με τον ίδιο τρόπο.
- Αρχικά, παίρνουμε το παράγωγο της εξίσωσης:
- Στη συνέχεια, εισαγάγετε την τιμή t (4):
s = 5t3- 3τ2+2t+9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3τ(2 - 1) + (1) 2τ(1 - 1) + (0) 9τ0 - 1
15τ(2) - 6t(1) + 2τ(0)
15τ(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 μέτρα/δευτερόλεπτο
Βήμα 2. Χρησιμοποιήστε μια γραφική εκτίμηση για να βρείτε τη στιγμιαία ταχύτητα στο (1, 3) για την εξίσωση μετατόπισης s = 4t2 - τ
Για αυτό το πρόβλημα, θα χρησιμοποιήσουμε (1, 3) ως το σημείο P, αλλά πρέπει να ορίσουμε ένα άλλο σημείο δίπλα στο σημείο αυτό ως το σημείο Q. Τότε απλά πρέπει να προσδιορίσουμε την τιμή του H και να κάνουμε μια εκτίμηση.
- Αρχικά, βρείτε την τιμή του Q πρώτα στα t = 2, 1.5, 1.1 και 1.01.
- Στη συνέχεια, καθορίστε την τιμή του H:
- Δεδομένου ότι η τιμή του Η είναι πολύ κοντά στο 7, μπορούμε να το δηλώσουμε 7 μέτρα/δευτερόλεπτο είναι η κατά προσέγγιση στιγμιαία ταχύτητα στο (1, 3).
s = 4t2- τ
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, έτσι Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, έτσι Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4 (1.1)2 - (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, έτσι Q = (1,1, 3,74)
t = 1,01:
s = 4 (1.01)2 - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, έτσι Q = (1.01, 3.0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Βήμα 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
Η = (4,5)/(. 5) =
Βήμα 9.
Q = (1,1, 3,74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
Η = (.74)/(. 1) = 7.3
Q = (1.01, 3.0704):
H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
Η = (.0704)/(. 01) = 7.04
Συμβουλές
- Για να βρείτε την τιμή της επιτάχυνσης (αλλαγή ταχύτητας με την πάροδο του χρόνου), χρησιμοποιήστε τη μέθοδο στην πρώτη ενότητα για να λάβετε την εξίσωση για το παράγωγο της συνάρτησης μετατόπισης. Στη συνέχεια, δημιουργήστε ξανά την παραγόμενη εξίσωση, αυτή τη φορά από την εξίσωση που προέρχεται. Αυτό θα σας δώσει την εξίσωση για να βρείτε την επιτάχυνση ανά πάσα στιγμή, το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να εισαγάγετε την τιμή του χρόνου σας.
- Η εξίσωση που σχετίζει την τιμή του Y (μετατόπιση) προς το X (χρόνος) μπορεί να είναι πολύ απλή, για παράδειγμα Y = 6x + 3. Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή κλίσης είναι σταθερή και δεν χρειάζεται να βρεθεί η παράγωγος για να τον υπολογιστεί, όπου σύμφωνα με την εξίσωση μιας ευθείας, το Υ = mx + b θα ισούται με 6.
- Η μετατόπιση είναι παρόμοια με την απόσταση, αλλά έχει κατεύθυνση, οπότε η μετατόπιση είναι ένα διανυσματικό μέγεθος, ενώ η απόσταση είναι μια κλιμάκωση. Η τιμή μετατόπισης μπορεί να είναι αρνητική, αλλά η απόσταση θα είναι πάντα θετική.
