Ο καθοριστικός παράγοντας των πινάκων χρησιμοποιείται συχνά σε λογισμό, γραμμική άλγεβρα και γεωμετρία σε υψηλότερο επίπεδο. Εκτός ακαδημαϊκού χώρου, οι μηχανικοί γραφικών υπολογιστών και οι προγραμματιστές χρησιμοποιούν πίνακες και τους καθοριστικούς παράγοντες τους συνεχώς. Εάν γνωρίζετε ήδη πώς να καθορίσετε τον καθοριστικό πίνακα της τάξης των 2x2, απλά πρέπει να μάθετε πότε να χρησιμοποιείτε την πρόσθεση, την αφαίρεση και τους χρόνους για να καθορίσετε τον καθοριστικό ενός πίνακα τάξης 3x3.
Βήμα
Μέρος 1 από 2: Προσδιορισμός των Καθοριστικών
Γράψτε τον πίνακα παραγγελίας 3 x 3. Θα ξεκινήσουμε με έναν πίνακα Α τάξης 3x3 και θα προσπαθήσουμε να βρούμε τον καθοριστικό | A |. Παρακάτω είναι η γενική μορφή σημειογραφίας μήτρας που θα χρησιμοποιήσουμε και ένα παράδειγμα της μήτρας μας:
| ένα11 | ένα12 | ένα13 | 1 | 5 | 3 | |||
| Μ | = | ένα21 | ένα22 | ένα23 | = | 2 | 4 | 7 |
| ένα31 | ένα32 | ένα33 | 4 | 6 | 2 |
Βήμα 1. Επιλέξτε μια γραμμή ή στήλη
Κάντε την επιλογή σας τη γραμμή ή τη στήλη αναφοράς. Όποιο κι αν επιλέξετε, θα έχετε την ίδια απάντηση. Επιλέξτε προσωρινά την πρώτη σειρά. Θα σας δώσουμε μερικές προτάσεις για την επιλογή της πιο εύκολης στον υπολογισμό επιλογής στην επόμενη ενότητα.
Επιλέξτε την πρώτη σειρά του δείγματος μήτρας Α. Κυκλώστε τον αριθμό 1 5 3. Σε κοινή συμβολική παράσταση, κυκλώστε το α11 ένα12 ένα13.
Βήμα 2. Διαγράψτε τη γραμμή και τη στήλη του πρώτου σας στοιχείου
Κοιτάξτε τη γραμμή ή τη στήλη που έχετε κυκλώσει και επιλέξτε το πρώτο στοιχείο. Διαγράψτε τις γραμμές και τις στήλες. Θα μείνουν μόνο 4 νούμερα άθικτα. Κάντε αυτούς τους 4 αριθμούς πίνακα τάξης 2 x 2.
- Στο παράδειγμά μας, η γραμμή αναφοράς μας είναι 1 5 3. Το πρώτο στοιχείο βρίσκεται στην 1η σειρά και την 1η στήλη. Διαγράψτε ολόκληρη την 1η σειρά και την 1η στήλη. Γράψτε τα υπόλοιπα στοιχεία σε έναν πίνακα 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Βήμα 3. Προσδιορίστε τον καθοριστικό του πίνακα τάξης 2 x 2
Θυμηθείτε, καθορίστε τον καθοριστικό παράγοντα της μήτρας [έναντο σιρε] με ad - π. Χ Το Μπορεί επίσης να έχετε μάθει να καθορίζετε τον καθοριστικό ενός πίνακα σχεδιάζοντας ένα Χ μεταξύ ενός πίνακα 2 x 2. Πολλαπλασιάστε τους δύο αριθμούς που συνδέονται με τη γραμμή / του Χ. Στη συνέχεια, αφαιρέστε τον αριθμό των φορών που συνδέονται οι δύο αριθμοί με τη γραμμή / είναι. Χρησιμοποιήστε αυτόν τον τύπο για να υπολογίσετε τον καθοριστικό ενός πίνακα 2 x 2.
- Στο παράδειγμα, ο καθοριστικός παράγοντας της μήτρας [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Αυτός ο προσδιοριστής ονομάζεται ανήλικος των στοιχείων που επιλέξατε στον αρχικό πίνακα. Σε αυτή την περίπτωση, μόλις βρήκαμε το ανήλικο του α11.
Βήμα 4. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό που βρέθηκε με το στοιχείο που επιλέξατε
Θυμηθείτε, έχετε επιλέξει στοιχεία από τη γραμμή αναφοράς (ή τη στήλη) όταν αποφασίσατε ποιες γραμμές και στήλες θα επισημανθούν. Πολλαπλασιάστε αυτό το στοιχείο με τον καθοριστικό του πίνακα 2 x 2 που έχετε βρει.
Στο παράδειγμα, επιλέγουμε ένα11 που είναι 1. Πολλαπλασιάστε αυτόν τον αριθμό επί -34 (ο καθοριστικός παράγοντας του πίνακα 2 x 2) για να πάρετε 1*-34 = - 34.
Βήμα 5. Προσδιορίστε το σύμβολο της απάντησής σας
Το επόμενο βήμα είναι ότι πρέπει να πολλαπλασιάσετε την απάντησή σας με 1 ή -1 για να λάβετε συμπαράγοντας του στοιχείου που επιλέξατε. Το σύμβολο που χρησιμοποιείτε εξαρτάται από το πού βρίσκονται τα στοιχεία στον πίνακα 3 x 3. Θυμηθείτε, αυτός ο πίνακας συμβόλων χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του πολλαπλασιαστή του στοιχείου σας:
- + - +
- - + -
- + - +
- Επειδή επιλέγουμε ένα11 που σημειώνεται με +, θα πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με +1 (ή με άλλα λόγια, μην τον αλλάξετε). Η απάντηση που εμφανίζεται θα είναι η ίδια, δηλαδή - 34.
- Ένας άλλος τρόπος για να ορίσετε ένα σύμβολο είναι να χρησιμοποιήσετε τον τύπο (-1) i+j όπου i και j είναι στοιχεία γραμμής και στήλης.
Βήμα 6. Επαναλάβετε αυτήν τη διαδικασία για το δεύτερο στοιχείο της γραμμής ή της στήλης αναφοράς
Επιστρέψτε στον αρχικό πίνακα 3 x 3 που περιλάβατε τη σειρά ή τη στήλη νωρίτερα. Επαναλάβετε την ίδια διαδικασία με το στοιχείο:
-
Διαγράψτε τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου.
Σε αυτήν την περίπτωση, επιλέξτε το στοιχείο a12 (που αξίζει 5). Διαγράψτε την 1η σειρά (1 5 3) και τη 2η στήλη (5 4 6).
-
Μετατρέψτε τα υπόλοιπα στοιχεία σε μήτρα 2x2.
Στο παράδειγμά μας, ο πίνακας παραγγελίας 2x2 για το δεύτερο στοιχείο είναι [24 72].
-
Καθορίστε τον καθοριστικό αυτής της μήτρας 2x2.
Χρησιμοποιήστε τον τύπο ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
-
Πολλαπλασιάστε με τα στοιχεία της μήτρας 3x3 που έχετε επιλέξει.
-24 * 5 = -120
-
Αποφασίστε αν θα πολλαπλασιάσετε το παραπάνω αποτέλεσμα με -1 ή όχι.
Χρησιμοποιήστε έναν πίνακα συμβόλων ή τύπων (-1)ijΤο Επιλέξτε στοιχείο α12 συμβολίζεται - στον πίνακα συμβόλων. Αντικαταστήστε το σύμβολο απάντησης με: (-1)*(-120) = 120.
Βήμα 7. Επαναλάβετε την ίδια διαδικασία για το τρίτο στοιχείο
Έχετε έναν ακόμη συμπαράγοντα για να καθορίσετε τον καθοριστικό παράγοντα. Μετρήστε i για το τρίτο στοιχείο στη γραμμή ή στη στήλη αναφοράς. Ακολουθεί ένας γρήγορος τρόπος υπολογισμού του συμπαράγοντα α13 στο παράδειγμά μας:
- Διαγράψτε την 1η σειρά και την 3η στήλη για να πάρετε [24 46].
- Ο καθοριστικός παράγοντας είναι 2*6 - 4*4 = -4.
- Πολλαπλασιάστε με το στοιχείο α13: -4 * 3 = -12.
- Στοιχείο α13 σύμβολο + στον πίνακα συμβόλων, οπότε η απάντηση είναι - 12.
Βήμα 8. Προσθέστε τα αποτελέσματα των τριών μετρήσεων σας
Αυτό είναι το τελευταίο βήμα. Έχετε υπολογίσει τρεις συμπαράγοντες, έναν για κάθε στοιχείο σε μια σειρά ή στήλη. Προσθέστε αυτά τα αποτελέσματα και θα βρείτε τον καθοριστικό ενός πίνακα 3 x 3.
Στο παράδειγμα, ο καθοριστικός παράγοντας της μήτρας είναι - 34 + 120 + - 12 = 74.
Μέρος 2 από 2: Εύκολη επίλυση προβλημάτων
Βήμα 1. Επιλέξτε τη γραμμή ή τη στήλη αναφορών που έχουν τα περισσότερα 0
Θυμηθείτε, μπορείτε να επιλέξετε οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη θέλετε. Όποιο κι αν επιλέξετε, η απάντηση θα είναι η ίδια. Εάν επιλέξετε μια γραμμή ή στήλη με τον αριθμό 0, χρειάζεται μόνο να υπολογίσετε τον συμπαράγοντα με στοιχεία που δεν είναι 0 επειδή:
- Για παράδειγμα, επιλέξτε τη 2η σειρά που έχει το στοιχείο a21, ένα22, ταμείο23Το Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, θα χρησιμοποιήσουμε 3 διαφορετικούς πίνακες 2 x 2, ας πούμε Α21, ΕΝΑ22, Εσείς23.
- Ο καθοριστικός παράγοντας της μήτρας 3x3 είναι α21| Α21| - ένα22| Α22| + α23| Α23|.
- Αν ένα22 κεφάλαιο23 τιμή 0, ο υπάρχων τύπος θα είναι α21| Α21| - 0*| Α22| + 0*| Α23| = α21| Α21| - 0 + 0 = α21| Α21|. Επομένως, θα υπολογίσουμε μόνο τον συμπαράγοντα μόνο ενός στοιχείου.
Βήμα 2. Χρησιμοποιήστε επιπλέον γραμμές για να διευκολύνετε τα προβλήματα μήτρας
Εάν πάρετε τις τιμές από μια σειρά και τις προσθέσετε σε άλλη σειρά, ο καθοριστικός παράγοντας του πίνακα δεν θα αλλάξει. Το ίδιο ισχύει για τις στήλες. Μπορείτε να το κάνετε επανειλημμένα ή να πολλαπλασιάσετε με μια σταθερά πριν την προσθέσετε για να πάρετε όσο το δυνατόν περισσότερα 0 στη μήτρα. Αυτό μπορεί να εξοικονομήσει πολύ χρόνο.
- Για παράδειγμα, έχετε έναν πίνακα με 3 σειρές: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Για να εξαλείψετε τον αριθμό 9 που βρίσκεται στη θέση α11, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε την τιμή στη 2η σειρά με -3 και να προσθέσετε το αποτέλεσμα στην πρώτη σειρά. Τώρα, η νέα πρώτη γραμμή είναι [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Η νέα μήτρα έχει σειρές [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Χρησιμοποιήστε το ίδιο κόλπο στις στήλες για να δημιουργήσετε ένα12 να είναι ο αριθμός 0.
Βήμα 3. Χρησιμοποιήστε τη γρήγορη μέθοδο για τριγωνικούς πίνακες
Σε αυτήν την ειδική περίπτωση, ο καθοριστικός παράγοντας είναι το γινόμενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, του α11 πάνω αριστερά σε α33 κάτω δεξιά στο πλέγμα. Αυτός ο πίνακας εξακολουθεί να είναι μήτρα 3x3, αλλά ο πίνακας "τρίγωνο" έχει ένα ειδικό μοτίβο αριθμών που δεν είναι 0:
- Πάνω τριγωνική μήτρα: Όλα τα στοιχεία που δεν είναι 0 βρίσκονται πάνω ή πάνω από την κύρια διαγώνιο. Όλοι οι αριθμοί κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι 0.
- Κάτω τριγωνική μήτρα: Όλα τα στοιχεία που δεν είναι 0 βρίσκονται πάνω ή κάτω από την κύρια διαγώνιο.
- Διαγώνιος πίνακας: Όλα τα στοιχεία που δεν είναι 0 βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο (το υποσύνολο των παραπάνω τύπων πινάκων).
Συμβουλές
- Εάν όλα τα στοιχεία σε μια γραμμή ή στήλη είναι 0, ο καθοριστικός παράγοντας του πίνακα είναι 0.
- Αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για όλα τα μεγέθη τετραγωνικών πινάκων. Για παράδειγμα, εάν χρησιμοποιείτε αυτήν τη μέθοδο για έναν πίνακα τάξης 4x4, η "απεργία" σας θα αφήσει έναν πίνακα τάξης 3x3, του οποίου ο καθοριστικός παράγοντας μπορεί να προσδιοριστεί ακολουθώντας τα παραπάνω βήματα. Θυμηθείτε, αυτό μπορεί να είναι βαρετό!
