Πώς να λύσετε προβλήματα τετραγωνικής ρίζας (με εικόνες)

2024 Συγγραφέας: Jason Gerald | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-15 08:12

Ενώ μερικές φορές μπορεί να φαίνεται τρομακτικό, το πρόβλημα της τετραγωνικής ρίζας δεν είναι στην πραγματικότητα τόσο δύσκολο να επιλυθεί. Τα απλά προβλήματα τετραγωνικής ρίζας μπορούν συνήθως να επιλυθούν τόσο εύκολα όσο τα βασικά προβλήματα πολλαπλασιασμού και διαίρεσης. Για πιο σύνθετες ερωτήσεις, χρειάζεται λίγη επιπλέον προσπάθεια. Αλλά με τη σωστή προσέγγιση, κάθε δύσκολο πρόβλημα μπορεί να λυθεί. Μέσω αυτού του άρθρου θα σας βοηθήσουμε να λύσετε προβλήματα τετραγωνικής ρίζας σε μερικά απλά βήματα.

Βήμα

Μέρος 1 από 3: Κατανόηση τετραγώνων και τετραγωνικών ριζών

Βήμα 1. Το τετράγωνο είναι ο αριθμός πολλαπλασιασμένος με τον ίδιο τον αριθμό

Για να καταλάβετε την τετραγωνική ρίζα, καλό είναι να κατανοήσετε πρώτα την έννοια του τετραγώνου. Με απλά λόγια, ένα τετράγωνο είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος με τον ίδιο τον αριθμό. Για παράδειγμα, 3 τετράγωνα είναι 3 φορές 3 = 9 και 9 τετράγωνα είναι 9 φορές 9 = 81. Το τετράγωνο αντιπροσωπεύεται από το μικρό 2 στην επάνω δεξιά γωνία του αριθμού στο τετράγωνο - έτσι: 3², 9², 100², και τα λοιπά.

Δοκιμάστε να τετραγωνίσετε μερικούς άλλους αριθμούς για να δοκιμάσετε αυτήν την έννοια. Θυμηθείτε, ο τετραγωνισμός ενός αριθμού πολλαπλασιάζει έναν αριθμό από μόνο του. Μπορείτε ακόμη και να τετραγωνίσετε αρνητικούς αριθμούς. Το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός. Για παράδειγμα, -8² = -8 × -8 = 64.

Βήμα 2. Η τετραγωνική ρίζα είναι η αντίστροφη του τετραγώνου

Το σύμβολο για την τετραγωνική ρίζα (√, γνωστό και ως «ριζικό» σύμβολο) είναι ουσιαστικά το αντίθετο του συμβόλου ²Το Όταν βρείτε ένα ριζικό, αναρωτηθείτε: ποιος αριθμός, αν τετραγωνιστεί, θα είχε ως αποτέλεσμα τον αριθμό μέσα στο ριζικό; Για παράδειγμα, αν κοιτάξετε το √ (9), βρείτε τον αριθμό που όταν τετραγωνιστεί είναι εννέα. Έτσι, η απάντηση είναι "τρία", γιατί 3² = 9.

• Ως άλλο παράδειγμα, ας προσπαθήσουμε να βρούμε την τετραγωνική ρίζα του 25 ((25)). Δηλαδή, ψάχνουμε έναν αριθμό που όταν τετραγωνιστεί, το αποτέλεσμα είναι 25. Επειδή 5² = 5 × 5 = 25, τότε (25) =

  Βήμα 5..

• Η τετραγωνική ρίζα μπορεί επίσης να θεωρηθεί ότι «αναιρεί» το τετράγωνο. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε (64), την τετραγωνική ρίζα του 64, τότε σκεφτείτε το 64 ως 8²Το Δεδομένου ότι το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας ουσιαστικά «αναιρεί» το τετράγωνο σύμβολο, επομένως (64) = (8²) =

  Βήμα 8..

Βήμα 3. Γνωρίστε τη διαφορά μεταξύ τέλειων και ατελών τετραγώνων

Μέχρι τώρα, τα αποτελέσματα των υπολογισμών τετραγωνικής ρίζας ήταν ακέραιοι αριθμοί. Οι ερωτήσεις που θα αντιμετωπίσετε αργότερα δεν θα είναι τόσο εύκολες, θα υπάρχουν ερωτήσεις με δεκαδικούς αριθμούς απαντήσεων με μερικά ψηφία πίσω από το κόμμα. Οι αριθμοί που στρογγυλοποιούνται μετά το τετραγωνισμό (δηλαδή όχι κλασματικοί ή δεκαδικοί αριθμοί) αναφέρονται επίσης ως "τέλεια τετράγωνα". Όλα τα προηγούμενα παραδείγματα (9, 25 και 64) είναι τέλεια τετράγωνα γιατί αν τετραγωνιστούν, το αποτέλεσμα είναι ένας ακέραιος αριθμός (3, 5 και 8).

Από την άλλη πλευρά, οι αριθμοί που δεν στρογγυλοποιούνται αφού τετραγωνιστούν, είναι "ατελή τετράγωνα". Συνήθως, μετά τον τετραγωνισμό, το αποτέλεσμα είναι κλασματικός ή δεκαδικός αριθμός. Μερικές φορές ακόμη και οι αριθμοί φαίνονται πολύ περίπλοκοι, όπως (13) = 3, 605551275464…

Βήμα 4. Απομνημονεύστε το τετράγωνο των αριθμών 1-12

Όπως ήδη γνωρίζετε, ο τετραγωνισμός ενός τέλειου τετραγωνικού αριθμού είναι πολύ εύκολο. Η απομνημόνευση των τετραγώνων των αριθμών 1-12 μπορεί να είναι πολύ χρήσιμη επειδή αυτοί οι αριθμοί θα εμφανιστούν πολύ στο πρόβλημα. Έτσι, θα εξοικονομήσετε χρόνο ενώ εργάζεστε στις ερωτήσεις. Οι πρώτοι 12 αριθμοί σε τετράγωνο είναι::

• 1² = 1 × 1 =

  Βήμα 1.

• 2² = 2 × 2 =

  Βήμα 4.

• 3² = 3 × 3 =

  Βήμα 9.

• 4² = 4 × 4 =

  Βήμα 16.

• 5² = 5 × 5 =

  Βήμα 25.

• 6² = 6 × 6 = 36
• 7² = 7 × 7 = 49
• 8² = 8 × 8 = 64
• 9² = 9 × 9 = 81
• 10² = 10 × 10 = 100
• 11² = 11 × 11 = 121
• 12² = 12 × 12 = 144

Βήμα 5. Απλοποιήστε την τετραγωνική ρίζα αφαιρώντας τα τέλεια τετράγωνα

Η εύρεση της τετραγωνικής ρίζας ενός ατελούς τετραγωνικού αριθμού μπορεί να είναι δύσκολη, ειδικά αν δεν χρησιμοποιείτε αριθμομηχανή. Ωστόσο, ο αριθμός που θα τετραγωνιστεί μπορεί να απλοποιηθεί για να είναι ευκολότερος ο υπολογισμός. Για να το κάνετε αυτό, απλώς διαχωρίστε τον αριθμό μέσα στη ρίζα σε διάφορους παράγοντες, στη συνέχεια αφαιρέστε την τετραγωνική ρίζα των τέλειων τετραγωνικών αριθμών και γράψτε την απάντηση έξω από τη ρίζα. Αυτή η μέθοδος είναι πολύ εύκολο να γίνει - για να έχετε καλύτερη κατανόηση, εδώ είναι περισσότερη εξήγηση:

• Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα του 900. Έτσι, απλά χωρίστε το 900 σε συντελεστές του. Οι «παράγοντες» είναι αριθμοί που μπορούν να πολλαπλασιαστούν μαζί για να παράγουν έναν άλλο αριθμό. Για παράδειγμα, ο αριθμός 6 μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας και 1 × 6 και 2 × 3, οπότε οι συντελεστές του 6 είναι 1, 2, 3 και 6.
• Έχοντας αυτή την αρχή κατά νου, ας αναλύσουμε το 900 στους συντελεστές του. Αρχικά, γράφουμε το 900 ως 9 × 100. Δεδομένου ότι το 9 είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορούμε να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα του 100 ξεχωριστά. (9 × 100) = (9) (100) = 3 × (100). Με άλλα λόγια, (900) = 3√(100).

• Μπορούμε να το απλοποιήσουμε περαιτέρω διαχωρίζοντας το 100 στους συντελεστές του, δηλαδή 25 και 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Επομένως, μπορεί να υπολογιστεί (900) = 3 (10) =

  Βήμα 30..

Βήμα 6. Χρησιμοποιήστε έναν φανταστικό αριθμό για την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού

Σκεφτείτε, τι αριθμός αν τετραγωνιστεί το αποτέλεσμα είναι -16; Η απάντηση, όχι. Όλοι οι αριθμοί σε τετράγωνο το αποτέλεσμα είναι πάντα θετικό, επειδή είναι αρνητικό (-), όταν πολλαπλασιάζεται με αρνητικό το αποτέλεσμα είναι θετικό (+). Έτσι, για να τετραγωνίσουμε έναν αρνητικό αριθμό, πρέπει να αντικαταστήσουμε τον αρνητικό αριθμό με έναν φανταστικό αριθμό (συνήθως με τη μορφή γραμμάτων ή συμβόλων). Για παράδειγμα, η μεταβλητή "i" χρησιμοποιείται γενικά για την τετραγωνική ρίζα του -1. Ένας φανταστικός αριθμός βρίσκεται πάντα στην τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού.

Πρέπει να σημειωθεί ότι παρόλο που οι φανταστικοί αριθμοί δεν αντιπροσωπεύονται ποτέ με αριθμούς, μπορούν ακόμα να αντιμετωπίζονται ως αριθμοί με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού μπορεί να τετραγωνιστεί, για να αφαιρεθεί η τετραγωνική ρίζα. Για παράδειγμα, i² = - 1

Μέρος 2 από 3: Χρησιμοποιήστε τον αλγόριθμο ύφους μακράς διαίρεσης

Βήμα 1. Λύστε προβλήματα τετραγωνικής ρίζας όπως προβλήματα μακράς διαίρεσης

Αν και χρονοβόρα, δύσκολα προβλήματα τετραγωνικής ρίζας μπορούν να λυθούν χωρίς αριθμομηχανή. Για να γίνει αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε μια μέθοδο (ή αλγόριθμο) παρόμοια με τη διαίρεση μακράς στοίβας.

• Ξεκινήστε γράφοντας το πρόβλημα της τετραγωνικής ρίζας όπως θα κάνατε ένα πρόβλημα διαίρεσης. Ως παράδειγμα προβλήματος, βρείτε τη ρίζα του 6, 45, που δεν είναι ακέραιος αριθμός. Αρχικά, γράφουμε το ριζικό σύμβολο (√), μετά κάτω γράφουμε τον αριθμό που θέλουμε να πάρουμε το τετράγωνο. Στη συνέχεια, σχεδιάστε μια γραμμή πάνω από τους αριθμούς, ακριβώς όπως το διαχωρισμό μακράς στοίβαξης. Τώρα, το σύμβολο "" μοιάζει με ουρά με τον αριθμό 6.45 στο κάτω μέρος.
• Θα γράψουμε τους αριθμούς πάνω από το πρόβλημα, οπότε βεβαιωθείτε ότι έχετε αφήσει κενό χώρο.

Βήμα 2. Ομαδοποιήστε τα ψηφία του αριθμού σε ζεύγη

Αρχικά, ομαδοποιήστε τα ψηφία του αριθμού κάτω από τη ρίζα σε ζεύγη, ξεκινώντας από το δεκαδικό σημείο. Δημιουργήστε κάποιο είδος δείκτη (τελεία, κόμμα, γραμμή κ.λπ.) μεταξύ ζευγαριών για εύκολη παρακολούθηση.

Στο παράδειγμα του προβλήματος, 6, 45 θα χωριστούν σε 6-, 45-00 Το Θυμηθείτε ότι υπάρχουν "υπόλοιπα" ψηφία στα αριστερά - αυτό δεν είναι πρόβλημα.

Βήμα 3. Βρείτε τον μεγαλύτερο αριθμό του οποίου η τετραγωνική τιμή είναι μικρότερη ή ίση με την πρώτη ομάδα

Ξεκινήστε με τον πρώτο αριθμό στην ομάδα στα αριστερά. Επιλέξτε τον μεγαλύτερο αριθμό του οποίου η τετραγωνική τιμή είναι μικρότερη ή ίση στην ομάδα. Για παράδειγμα, εάν η ομάδα είναι 37, τότε επιλέξτε 6 επειδή 6² = 36 <37 αλλά 7² = 49> 37. Γράψτε αυτόν τον αριθμό πάνω από την πρώτη ομάδα. Αυτός ο αριθμός είναι το πρώτο ψηφίο της απάντησής σας.

• Στο παράδειγμα του προβλήματος, η πρώτη ομάδα των 6, 45-00 είναι 6. Ο μεγαλύτερος αριθμός που είναι μικρότερος ή ίσος με 6 όταν τετραγωνιστεί είναι

  Βήμα 2. - 2² = 4. Γράψτε τον αριθμό "2" πάνω από 6 και η ουρά είναι ριζική.

Βήμα 4. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό που μόλις γράψατε, στη συνέχεια χαμηλώστε τον και αφαιρέστε τον

Πάρτε το πρώτο ψηφίο της απάντησής σας (γραμμένο πάνω από το ριζικό) και πολλαπλασιάστε το. Γράψτε την απάντηση κάτω από την πρώτη ομάδα και αφαιρέστε για να βρείτε τη διαφορά. Αποθέστε την επόμενη ομάδα στα δεξιά της διαφοράς που μόλις υπολογίσατε. Τέλος, γράψτε το τελευταίο ψηφίο πολλαπλασιασμού του πρώτου ψηφίου της απάντησής σας στα αριστερά και αφήστε κενό χώρο στα δεξιά.

Στο παράδειγμα του προβλήματος, ο αριθμός που διπλασιάζεται είναι 2 (το πρώτο ψηφίο της προηγούμενης απάντησης). 2 × 2 = 4. Στη συνέχεια, αφαιρέστε το 4 επί 6 (από την πρώτη ομάδα). 6 - 4 το αποτέλεσμα είναι 2. Στη συνέχεια, κατεβάστε την επόμενη ομάδα (45) και παίρνουμε 245. Τέλος, γράψτε ξανά τον αριθμό 4 στα αριστερά και αφήστε λίγο χώρο στα δεξιά, ως εξής: 4_

Βήμα 5. Συμπληρώστε το κενό διάστημα

Προσθέστε τα ψηφία στα δεξιά του αριθμού που γράψατε στα αριστερά. Επιλέξτε το ψηφίο που δίνει τη μεγαλύτερη τιμή όταν πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον νέο αριθμό, αλλά εξακολουθεί να είναι μικρότερο ή ίσο με τον "παράγωγο αριθμό". Για παράδειγμα, εάν ο "παράγωγος αριθμός" είναι 1700 και ο αριθμός στα αριστερά σας είναι 40_, ο αριθμός που πρέπει να εισαχθεί είναι "4" επειδή 404 × 4 = 1616 <1700, ενώ 405 × 5 = 2025. Ο αριθμός που βρέθηκε στο αυτό το βήμα είναι το δεύτερο ψηφίο της απάντησής σας, οπότε γράψτε το πάνω από το ριζικό σύμβολο.

• Στο παράδειγμα του προβλήματος, θα αναζητήσουμε τον αριθμό δίπλα στο 4_ × _ του οποίου η απάντηση είναι ο μεγαλύτερος αριθμός αλλά είναι μικρότερος ή ίσος με 245. Η απάντηση είναι

  Βήμα 5. Το 45 × 5 = 225, ενώ 46 × 6 = 276.

Βήμα 6. Συνεχίστε να χρησιμοποιείτε τους αριθμούς "κενό διάστημα" για να βρείτε την απάντησή σας

Συνεχίστε το μοτίβο διαίρεσης μακράς στοίβας έως ότου η διαφορά μεταξύ των αφαιρέσεων των αριθμών που προκύπτουν είναι μηδενική, ή αν έχει ληφθεί ένας αρκετά ακριβής αριθμός. Όταν τελειώσετε, οι αριθμοί που χρησιμοποιήσατε για να συμπληρώσετε τα κενά σε κάθε βήμα (συν τον πρώτο αριθμό που χρησιμοποιήσατε) αποτελούν κάθε ψηφίο της απάντησής σας.

• Στο παράδειγμα του προβλήματος, αφαιρέστε το 245 με 220 για να πάρετε 20. Στη συνέχεια, θα χαμηλώσουμε την επόμενη ομάδα ψηφίων, 00 και θα πάρουμε το 2000. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό πάνω από το ριζικό σύμβολο και παίρνουμε 25 × 2 = 50. Για να συμπληρώσετε στα κενά στα 50_ × _ =/<2, 000, παίρνουμε τον αριθμό

  Βήμα 3. Το Τώρα, έχουμε το "253" πάνω από το ριζικό σύμβολο - επαναλάβετε αυτήν τη διαδικασία ξανά και λάβετε 9 στο επόμενο ψηφίο.

Βήμα 7. Αφαιρέστε το δεκαδικό πρόσημο από την προέλευση

Για να λάβετε την τελική απάντηση, βάλτε το δεκαδικό στη σωστή θέση. Είναι εύκολο - απλά βάλτε το δεκαδικό σημείο σε ευθεία με το δεκαδικό σημείο κάτω από το ριζικό σύμβολο. Για παράδειγμα, ο αριθμός κάτω από τη ριζική είναι 49, 8, οπότε βάλτε ένα δεκαδικό σημείο μεταξύ των αριθμών πάνω από 8 και 9.

Στο παράδειγμα του προβλήματος, εάν ο αριθμός κάτω από τη ρίζα είναι 6, 45, τότε το δεκαδικό σημείο θα ευθυγραμμιστεί μεταξύ των ψηφίων 2 και 5. Αυτό σημαίνει ότι η τελική απάντηση είναι 2, 539.

Μέρος 3 από 3: Γρήγορη εκτίμηση ατελών τετραγώνων

Βήμα 1. Βρείτε το ατελές τετράγωνο χρησιμοποιώντας προσέγγιση

Μόλις απομνημονεύσετε τέλεια τετράγωνα, η εύρεση ατελών τετραγώνων θα είναι πολύ πιο εύκολη. Το κόλπο είναι να βρείτε ένα τέλειο τετράγωνο πριν και μετά τον αριθμό που ψάχνετε. Στη συνέχεια, καθορίστε ποιο από τα δύο τέλεια τετράγωνα είναι πιο κοντά στον αριθμό που αναζητάτε.

Για παράδειγμα, θέλουμε να βρούμε την τετραγωνική ρίζα του 40. Ο τέλειος τετραγωνικός αριθμός πριν και μετά το 40 είναι 6² και 7², που είναι 36 και 49. Δεδομένου ότι το 40 είναι μεγαλύτερο από 36 και μικρότερο από 49, η τετραγωνική ρίζα του 40 πρέπει να είναι μεταξύ 6 και 7. Ο αριθμός 40 είναι πιο κοντά στο 36 από το 49, οπότε η τετραγωνική ρίζα του 40 είναι πιο κοντά στο 6 Εδώ είναι μερικά βήματα για να βρείτε μια ακριβή απάντηση.

Βήμα 2. Υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα σε ένα ψηφίο μετά το κόμμα

Όταν έχετε καθορίσει δύο τέλειους τετραγωνικούς αριθμούς πριν και μετά τον αριθμό που αναζητάτε, το υπόλοιπο είναι η διαδικασία εύρεσης του αριθμού πίσω από το κόμμα που είναι πιο κοντά στην απάντηση. Ξεκινήστε με τον εκτιμώμενο μονοψήφιο αριθμό μετά το κόμμα. Αυτή η διαδικασία θα επαναλαμβάνεται μέχρι να λάβετε μια απάντηση με την ακρίβεια που θέλετε.

Στο παράδειγμα του προβλήματος, η λογική προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του 40 είναι 6, 4, επειδή η απάντηση είναι πιθανότατα πιο κοντά στο 6 παρά στο 7.

Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τον εκτιμώμενο αριθμό σας με τον ίδιο τον αριθμό

Με άλλα λόγια, τετραγωνίστε τον κατά προσέγγιση αριθμό σας. Εάν είστε τυχεροί, το αποτέλεσμα θα είναι ο αριθμός στο πρόβλημα. Εάν όχι, συνεχίστε να προσθέτετε ή να αφαιρείτε τους αριθμούς μετά το κόμμα μέχρι να βρείτε το πλησιέστερο τετράγωνο στον αριθμό στο πρόβλημα.

• Πολλαπλασιάστε 6, 4 επί 6, 4 για να πάρετε 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, το οποίο είναι ελαφρώς πάνω από 40.
• Δεδομένου ότι το αρχικό πείραμα ήταν περιττό, αφαιρέστε την προσέγγισή σας κατά ένα δεκαδικό ψηφίο, το οποίο είναι 6, 3 × 6, 3 = 39, 69 Το Αυτό το αποτέλεσμα είναι ελαφρώς κάτω από τον αριθμό στο πρόβλημα. Αυτό σημαίνει ότι η τετραγωνική ρίζα του 40 είναι μεταξύ 6, 3 και 6, 4. Στη συνέχεια, αφού το 39,69 είναι πιο κοντά στο 40, η τετραγωνική ρίζα του 40 είναι επίσης πιο κοντά στο 6, 3.

Βήμα 4. Προώθηση πρόβλεψης όπως απαιτείται

Χρησιμοποιήστε την απάντησή σας εάν πιστεύετε ότι είναι αρκετά ακριβής. Εάν όχι, απλώς συνεχίστε το κατά προσέγγιση μοτίβο παραπάνω μέχρι να βρείτε μια απάντηση με τρία ή τέσσερα ψηφία μετά το κόμμα - ούτως ή άλλως, μέχρι να φτάσετε στο επίπεδο ακρίβειας που θέλετε.

Στο παράδειγμα του προβλήματος, ας προσπαθήσουμε να επιλέξουμε 6, 33 ως δύο κατά προσέγγιση ψηφία πίσω από το κόμμα. Πλατεία 6, 33 και το αποτέλεσμα είναι 6, 33 × 6, 33 = 40, 0689. Δεδομένου ότι το αποτέλεσμα είναι πάνω από τον αριθμό στο πρόβλημα, προσπαθούμε να μειώσουμε τον δεύτερο αριθμό μετά το κόμμα σε 6, 32. 6, 32 × 6, 32 = 39, 9424. Αυτό το αποτέλεσμα είναι ελαφρώς κάτω από τον αριθμό στο πρόβλημα. Έτσι, η τετραγωνική ρίζα του 40 είναι μεταξύ 6, 33 και 6, 32 Το Εάν θέλετε μια πιο ακριβή απάντηση, συνεχίστε με τρία ή τέσσερα ή και πέντε ψηφία μετά το κόμμα.

Συμβουλές

Χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή για την ταχύτερη λύση. Οι σύγχρονοι υπολογιστές μπορούν τώρα να βρουν την τετραγωνική ρίζα γρήγορα. Συνήθως, απλώς εισάγετε τον αριθμό που αναζητάτε και, στη συνέχεια, πατήστε το κουμπί με το ριζικό σύμβολο. Για παράδειγμα, για να βρείτε την τετραγωνική ρίζα του 841 απλά πατήστε 8, 4, 1, (√) και θα εμφανιστεί η απάντηση 39.