Η απόσταση, που συχνά δίνεται στη μεταβλητή "s", είναι μια μέτρηση του χώρου που είναι μια ευθεία γραμμή μεταξύ δύο σημείων. Η απόσταση μπορεί να αναφέρεται στο διάστημα μεταξύ δύο ακίνητων σημείων (για παράδειγμα, το ύψος ενός ατόμου είναι η απόσταση από το κάτω μέρος των ποδιών έως το πάνω μέρος του κεφαλιού) ή μπορεί να αναφέρεται στο διάστημα μεταξύ της τρέχουσας θέσης ενός αντικειμένου σε κίνηση και η αρχική θέση όπου το αντικείμενο άρχισε να κινείται. Τα περισσότερα προβλήματα απόστασης μπορούν να λυθούν με την εξίσωση s = v × t, όπου s είναι η απόσταση, v είναι η μέση ταχύτητα και t είναι ο χρόνος ή η χρήση s = ((x2 - Χ1)2 + (y2 - y1)2), όπου (x1, y1) και (x2, y2) είναι οι συντεταγμένες x και y των δύο σημείων.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 2: Υπολογισμός απόστασης με μέση ταχύτητα και χρόνο
Βήμα 1. Βρείτε τις μέσες τιμές ταχύτητας και χρόνου
Όταν προσπαθείτε να υπολογίσετε την απόσταση που έχει διανύσει ένα κινούμενο αντικείμενο, υπάρχουν δύο πληροφορίες που είναι σημαντικές για αυτόν τον υπολογισμό: Ταχύτητα (ή ταχύτητα) και χρόνος ότι το κινούμενο αντικείμενο έχει ταξιδέψει. Με αυτές τις πληροφορίες, είναι δυνατό να υπολογίσετε την απόσταση που διανύει το αντικείμενο χρησιμοποιώντας τον τύπο s = v × t.
Για να κατανοήσουμε καλύτερα τη διαδικασία χρήσης του τύπου απόστασης, ας λύσουμε ένα παράδειγμα προβλήματος σε αυτήν την ενότητα. Ας πούμε ότι ταξιδεύουμε σε ένα δρόμο με ταχύτητα 120 μίλια την ώρα (περίπου 193 χλμ. Την ώρα) και θέλουμε να γνωρίζουμε πόσο μακριά θα έχουμε διανύσει σε μισή ώρα. Χρήση 120 μίλια την ώρα ως τιμή της μέσης ταχύτητας και 0,5 ώρες ως αξία του χρόνου, θα λύσουμε αυτό το πρόβλημα στο επόμενο βήμα.
Βήμα 2. Πολλαπλασιάστε τη μέση ταχύτητα κατά το χρόνο
Αφού γνωρίζουμε τη μέση ταχύτητα ενός κινούμενου αντικειμένου και τον χρόνο που έχει διανύσει, ο υπολογισμός της διανυθείσας απόστασης είναι σχετικά εύκολος. Απλώς πολλαπλασιάστε τις δύο τιμές για να βρείτε την απάντηση.
- Ωστόσο, σημειώστε ότι εάν η μονάδα χρόνου που χρησιμοποιείται στη μέση τιμή ταχύτητας είναι διαφορετική από αυτήν που χρησιμοποιείται στην τιμή χρόνου, θα πρέπει να αλλάξετε μία για να ταιριάζει. Για παράδειγμα, αν είχαμε μια μέση τιμή ταχύτητας μετρημένη σε χιλιόμετρα την ώρα και μια τιμή χρόνου μετρημένη σε λεπτά, θα χρειαστεί να διαιρέσετε την τιμή χρόνου με 60 για να τη μετατρέψετε σε ώρες.
- Ας τελειώσουμε το πρόβλημα του παραδείγματος μας. 120 μίλια/ώρα × 0,5 ώρες = 60 μίλια Το Σημειώστε ότι οι μονάδες στην τιμή χρόνου (ώρες) παραλείπουν τον παρονομαστή της μέσης ταχύτητας (ώρες) αφήνοντας μόνο τις μονάδες απόστασης (μίλια).
Βήμα 3. Αλλάξτε την εξίσωση για να υπολογίσετε μια άλλη μεταβλητή
Η απλότητα της βασικής εξίσωσης απόστασης (s = v × t) διευκολύνει τη χρήση της εξίσωσης για να βρούμε την τιμή μιας μεταβλητής διαφορετικής από την απόσταση. Απλώς απομονώστε τη μεταβλητή που θέλετε να βρείτε σύμφωνα με τους βασικούς κανόνες της άλγεβρας και, στη συνέχεια, εισαγάγετε τις τιμές των άλλων δύο μεταβλητών για να βρείτε την τιμή της τρίτης μεταβλητής. Με άλλα λόγια, για να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα του αντικειμένου, χρησιμοποιήστε την εξίσωση v = s/t και για να υπολογίσετε το χρόνο που πέρασε από το αντικείμενο, χρησιμοποιήστε την εξίσωση t = s/v.
- Για παράδειγμα, ας πούμε ότι γνωρίζουμε ότι ένα αυτοκίνητο έχει διανύσει 60 μίλια σε 50 λεπτά, αλλά δεν έχουμε τιμή για τη μέση ταχύτητα καθώς το αντικείμενο κινείται. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να απομονώσουμε τη μεταβλητή v στην εξίσωση της βασικής απόστασης για να πάρουμε v = d/t, και στη συνέχεια να διαιρέσουμε 60 μίλια/50 λεπτά για να πάρουμε την απάντηση 1,2 μίλια/λεπτό.
- Σημειώστε ότι στο παράδειγμα, η απάντηση για την ταχύτητα έχει μια ασυνήθιστη μονάδα (μίλια/λεπτό). Για να λάβετε μια απάντηση στα πιο συνηθισμένα μίλια/ώρα, πολλαπλασιάστε με 60 λεπτά/ώρα για να πάρετε το αποτέλεσμα 72 μίλια/ώρα.
Βήμα 4. Σημειώστε ότι η μεταβλητή "v" στον τύπο απόστασης αναφέρεται στη μέση ταχύτητα
Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι ο βασικός τύπος απόστασης προσφέρει μια απλοποιημένη εικόνα της κίνησης ενός αντικειμένου. Ο τύπος απόστασης υποθέτει ότι ένα αντικείμενο σε κίνηση έχει σταθερή ταχύτητα - με άλλα λόγια, υποθέτει ότι ένα αντικείμενο σε κίνηση έχει μια ενιαία, αμετάβλητη ταχύτητα. Για αφηρημένα μαθηματικά προβλήματα, όπως αυτά που μπορεί να συναντήσετε σε ένα ακαδημαϊκό περιβάλλον, μερικές φορές είναι ακόμα δυνατό να μοντελοποιήσετε την κίνηση ενός αντικειμένου χρησιμοποιώντας αυτήν την υπόθεση. Ωστόσο, στην πραγματική ζωή, αυτά τα παραδείγματα συχνά δεν αντικατοπτρίζουν με ακρίβεια την κίνηση των κινούμενων αντικειμένων, η οποία στην πραγματικότητα μπορεί να επιταχύνει, να επιβραδύνει, να σταματήσει και να αντιστραφεί με την πάροδο του χρόνου.
- Για παράδειγμα, στο παραπάνω πρόβλημα, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι για να διανύσουμε 60 μίλια σε 50 λεπτά, θα χρειαστεί να ταξιδέψουμε με ταχύτητα 72 μιλίων την ώρα. Ωστόσο, αυτό ισχύει μόνο εάν ταξιδεύετε με μια ταχύτητα καθ 'όλη τη διάρκεια του ταξιδιού. Για παράδειγμα, ταξιδεύοντας με 80 μίλια/ώρα για το μισό ταξίδι και 64 μίλια/ώρα για το υπόλοιπο μισό, θα καλύψουμε ακόμα 60 μίλια σε 50 λεπτά - 72 μίλια/ώρα = 60 μίλια/50 λεπτά = ?????
- Οι λύσεις που βασίζονται στον λογισμό που χρησιμοποιούν παράγωγα είναι συχνά καλύτερη επιλογή από τους τύπους απόστασης για τον καθορισμό της ταχύτητας ενός αντικειμένου σε πραγματικές καταστάσεις επειδή είναι δυνατές αλλαγές στην ταχύτητα.
Μέθοδος 2 από 2: Υπολογισμός της απόστασης μεταξύ δύο σημείων
Βήμα 1. Βρείτε τις δύο χωρικές συντεταγμένες των δύο σημείων
Τι γίνεται αν, αντί να υπολογίσετε την απόσταση που έχει διανύσει ένα κινούμενο αντικείμενο, πρέπει να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ δύο ακινήτων αντικειμένων; Σε μια τέτοια περίπτωση, ο τύπος απόστασης που βασίζεται στην ταχύτητα που περιγράφεται παραπάνω δεν θα λειτουργήσει. Ευτυχώς, μπορούν να χρησιμοποιηθούν διαφορετικοί τύποι απόστασης για τον εύκολο υπολογισμό της απόστασης μεταξύ δύο σημείων. Ωστόσο, για να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον τύπο, θα πρέπει να γνωρίζετε τις συντεταγμένες των δύο σημείων. Εάν χειρίζεστε μονοδιάστατες αποστάσεις (όπως σε μια αριθμητική γραμμή), οι συντεταγμένες θα αποτελούνται από δύο αριθμούς, x1 και x2Το Εάν χειρίζεστε αποστάσεις σε δύο διαστάσεις, θα χρειαστείτε δύο τιμές (x, y), (x1, y1) και (x2, y2). Τέλος, για τρεις διαστάσεις, θα χρειαστείτε την τιμή (x1, y1, z1) και (x2, y2, z2).
Βήμα 2. Υπολογίστε την μονοδιάστατη απόσταση αφαιρώντας τις τιμές συντεταγμένων δύο σημείων
Ο υπολογισμός της μονοδιάστατης απόστασης μεταξύ δύο σημείων όταν γνωρίζετε ήδη την τιμή κάθε σημείου είναι εύκολος. Απλώς χρησιμοποιήστε τον τύπο s = | x2 - Χ1| Το Σε αυτόν τον τύπο, αφαιρείτε το x1 από x2, τότε πάρτε την απόλυτη τιμή της απάντησής σας για να βρείτε την απόσταση μεταξύ x1 και x2Το Συνήθως, θα θέλετε να χρησιμοποιήσετε τον μονοδιάστατο τύπο απόστασης όταν τα δύο σημεία βρίσκονται σε μια γραμμή ή έναν άξονα αριθμών.
- Σημειώστε ότι αυτός ο τύπος χρησιμοποιεί απόλυτες τιμές (σύμβολο " | |"). Απόλυτη τιμή σημαίνει μόνο ότι η τιμή μέσα στο σύμβολο γίνεται θετική αν είναι αρνητική.
-
Για παράδειγμα, ας πούμε ότι σταματάμε στην άκρη του δρόμου σε έναν απόλυτα ευθύγραμμο αυτοκινητόδρομο. Εάν υπάρχει μια πόλη 5 μίλια μπροστά μας και μια άλλη πόλη 1 μίλι πίσω μας, πόσο μακριά είναι οι δύο πόλεις; Αν ορίσουμε την πόλη 1 ως x1 = 5 και η πόλη 2 ως x1 = -1, μπορούμε να υπολογίσουμε s, την απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων, με τον ακόλουθο τρόπο:
- s = | x2 - Χ1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 μίλια.
Βήμα 3. Υπολογίστε τη δισδιάστατη απόσταση χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα
Ο υπολογισμός της απόστασης μεταξύ δύο σημείων σε δισδιάστατο χώρο είναι πιο περίπλοκος από ό, τι σε μονοδιάστατο, αλλά όχι δύσκολο. Απλώς χρησιμοποιήστε τον τύπο s = ((x2 - Χ1)2 + (y2 - y1)2) Το Σε αυτόν τον τύπο, αφαιρέστε τις δύο συντεταγμένες x, υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα, αφαιρέστε τις δύο συντεταγμένες y, υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα, στη συνέχεια προσθέστε τα δύο αποτελέσματα μαζί και υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα για να βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων. Αυτός ο τύπος ισχύει για ένα δισδιάστατο επίπεδο - για παράδειγμα, σε ένα κανονικό γράφημα x/y.
- Ο δισδιάστατος τύπος απόστασης χρησιμοποιεί το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο δηλώνει ότι το μήκος της υποτείνουσας του τριγώνου στα δεξιά είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του τετραγώνου στις άλλες δύο πλευρές.
- Για παράδειγμα, ας πούμε ότι έχουμε δύο σημεία στο επίπεδο x -y: (3, -10) και (11, 7), τα οποία αντιπροσωπεύουν το κέντρο ενός κύκλου και ένα σημείο του κύκλου, αντίστοιχα. Για να βρούμε την απόσταση της ευθείας μεταξύ δύο σημείων, μπορούμε να την υπολογίσουμε με τον ακόλουθο τρόπο:
- s = ((x2 - Χ1)2 + (y2 - y1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Βήμα 4. Υπολογίστε την τρισδιάστατη απόσταση αλλάζοντας τον τύπο της δισδιάστατης απόστασης
Σε τρεις διαστάσεις, τα σημεία έχουν συντεταγμένες z εκτός από τις συντεταγμένες x και y. Για να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε τρισδιάστατο χώρο, χρησιμοποιήστε s = ((x2 - Χ1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2) Το Αυτή είναι μια τροποποιημένη μορφή του τρισδιάστατου τύπου απόστασης που περιγράφεται παραπάνω και περιλαμβάνει τη συντεταγμένη z. Η αφαίρεση των δύο συντεταγμένων z, ο υπολογισμός της τετραγωνικής ρίζας και η συνέχιση με τον υπόλοιπο τύπο διασφαλίζει ότι η τελική απάντησή σας θα αντιπροσωπεύει την τρισδιάστατη απόσταση μεταξύ των δύο σημείων.
- Για παράδειγμα, ας πούμε ότι είμαστε αστροναύτες που επιπλέουν στο διάστημα μεταξύ δύο αστεροειδών. Ο ένας αστεροειδής είναι περίπου 8 χιλιόμετρα μπροστά, 2 χλμ. Δεξιά και 5 χλμ κάτω από εμάς, ενώ ο άλλος είναι περίπου 3 χλμ πίσω, 3 χλμ. Αριστερά και 4 χλμ. Πάνω μας. Αν αναπαραστήσουμε τις θέσεις των δύο αστεροειδών με τις συντεταγμένες (8, 2, -5) και (-3, -3, 4), μπορούμε να υπολογίσουμε την απόσταση μεταξύ τους με τον ακόλουθο τρόπο:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 χλμ
