Το Πυθαγόρειο θεώρημα περιγράφει τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου με έναν κομψό και πρακτικό τρόπο, οπότε αυτό το θεώρημα εξακολουθεί να χρησιμοποιείται ευρέως σήμερα. Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι για κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των μη γωνιακών πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Με άλλα λόγια, για ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές a και b και υποτείνουσα c, ένα2 + β2 = γ2.
Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ένας από τους βασικούς πυλώνες της στοιχειώδους γεωμετρίας. Υπάρχουν αμέτρητες εφαρμογές που χρησιμοποιούν αυτό το θεώρημα, για παράδειγμα, για να είναι εύκολο να βρεθεί η απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο συντεταγμένων.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 2: Εύρεση των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου
Βήμα 1. Βεβαιωθείτε ότι το τρίγωνό σας είναι ορθογώνιο τρίγωνο
Το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει μόνο για ορθογώνια τρίγωνα, οπότε, πριν προχωρήσετε, είναι πολύ σημαντικό να βεβαιωθείτε ότι τα τρίγωνα σας συμμορφώνονται με τις ιδιότητες των ορθογώνιων τριγώνων. Ευτυχώς, υπάρχει ένας παράγοντας που μπορεί να δείξει ότι το τρίγωνό σας είναι ορθογώνιο τρίγωνο. Το τρίγωνό σας πρέπει να έχει μία γωνία 90 μοιρών.
Ως σημάδι, τα ορθογώνια τρίγωνα συχνά σημειώνονται με μικρά τετράγωνα για να σημειώσουν γωνίες 90 μοιρών, χωρίς να χρησιμοποιούν καμπύλες "καμπύλες". Αναζητήστε αυτό το συγκεκριμένο σημάδι στη γωνία του τριγώνου σας
Βήμα 2. Δώστε τις μεταβλητές a, b και c για τις πλευρές του τριγώνου σας
Στο Πυθαγόρειο Θεώρημα, οι μεταβλητές a και b αντιπροσωπεύουν τις πλευρές που συναντώνται στο ορθογώνιο τρίγωνο, ενώ η μεταβλητή c αντιπροσωπεύει την υποτείνουσα - τη μεγάλη πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία. Έτσι, για αρχή, σημειώστε τις κοντές πλευρές του τριγώνου σας με τις μεταβλητές a και b (δεν έχει σημασία αν τις αλλάξετε) και σημειώστε την υποτείνουσα με τη μεταβλητή c.
Βήμα 3. Αποφασίστε ποια πλευρά του τριγώνου θέλετε να λύσετε
Το Πυθαγόρειο θεώρημα επιτρέπει στους μαθηματικούς να βρουν το μήκος οποιασδήποτε πλευράς ενός ορθογώνιου τριγώνου αρκεί να γνωρίζουν τα μήκη των άλλων δύο πλευρών. Προσδιορίστε ποια πλευρά είναι άγνωστη - a, b και/ή c. Εάν το μήκος μιας πλευράς σας είναι άγνωστο, είστε έτοιμοι να προχωρήσετε.
- Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι το μήκος της υποτείνουσας ενός τριγώνου είναι 5 και το μήκος μιας από τις άλλες πλευρές είναι 3, αλλά δεν είμαστε σίγουροι για το μήκος της τρίτης πλευράς. Σε αυτή την περίπτωση, γνωρίζουμε ότι ψάχνουμε για το μήκος της τρίτης πλευράς και αφού γνωρίζουμε τα μήκη των άλλων δύο, μπορούμε να το λύσουμε! Θα εργαστούμε για αυτό το πρόβλημα με τα ακόλουθα βήματα.
- Εάν δεν γνωρίζετε τα μήκη δύο πλευρών, πρέπει να γνωρίζετε μία από τις πλευρές για να μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να σας βοηθήσουν εάν γνωρίζετε τη μία πλευρά ενός τριγώνου που δεν είναι κεκλιμένη.
Βήμα 4. Συνδέστε τις τιμές διπλής όψης που γνωρίζετε ήδη στην εξίσωση
Συνδέστε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου σας στην εξίσωση α2 + β2 = γ2Το Θυμηθείτε ότι το α και το β δεν είναι κεκλιμένες πλευρές, ενώ το γ είναι η υποτείνουσα.
Στο παράδειγμά μας, γνωρίζουμε το μήκος μιας από τις πλευρές και την υποτείνουσα (3 & 5), οπότε η εξίσωση γίνεται 3² + b² = 5²
Βήμα 5. Πλατεία
Για να λύσετε την εξίσωση σας, ξεκινήστε τετραγωνίζοντας τις γνωστές πλευρές. Εναλλακτικά, αν το βρείτε πιο εύκολο, μπορείτε να αφήσετε τα μήκη των πλευρών σας σε τετράγωνο και να τα τετραγωνίσετε αργότερα.
-
Στο παράδειγμά μας, θα τετραγωνίσουμε 3 και 5 έτσι ώστε να πάρουμε
Βήμα 9. ντα
Βήμα 25. Το Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση ως 9 + b² = 25.
Βήμα 6. Μετακινήστε την άγνωστη μεταβλητή στην άλλη πλευρά της εξίσωσης
Εάν χρειάζεται, χρησιμοποιήστε βασικές αλγεβρικές πράξεις για να μετακινήσετε την άγνωστη μεταβλητή στην άλλη πλευρά της εξίσωσης και το τετράγωνο των άλλων δύο μεταβλητών στην άλλη πλευρά. Εάν θέλετε να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας, το c βρίσκεται ήδη στην άλλη πλευρά της εξίσωσης, οπότε δεν χρειάζεται να κάνετε τίποτα για να το μετακινήσετε.
Στο παράδειγμά μας, η τρέχουσα εξίσωση είναι 9 + b² = 25. Για να μετακινήσετε b², αφαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης κατά 9, οπότε το αποτέλεσμα είναι b² = 16
Βήμα 7. Τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης
Τώρα μόνο μία μεταβλητή τετραγωνίζεται στη μία πλευρά και αριθμός στην άλλη. Τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών για να βρείτε το μήκος της άγνωστης πλευράς.
-
Στο παράδειγμά μας, b² = 16, παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών δίνει b = 4. Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι το μήκος της άγνωστης πλευράς του τριγώνου είναι
Βήμα 4..
Βήμα 8. Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα για να βρείτε τις πλευρές ενός αληθινού ορθογώνιου τριγώνου
Ο λόγος που το Πυθαγόρειο Θεώρημα χρησιμοποιείται ευρέως σήμερα είναι ότι μπορεί να εφαρμοστεί σε αμέτρητες πρακτικές καταστάσεις. Μάθετε να γνωρίζετε ορθογώνια τρίγωνα στην πραγματική ζωή - σε κάθε περίπτωση όπου δύο αντικείμενα ή ευθείες συναντούν ορθή γωνία και το τρίτο αντικείμενο ή γραμμή ενώνει τα δύο αντικείμενα ή γραμμές διαγώνια, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρείτε το μήκος της πλευράς την άλλη, αν είναι γνωστά τα μήκη των άλλων δύο πλευρών.
-
Ας δοκιμάσουμε ένα πραγματικό παράδειγμα που είναι λίγο πιο δύσκολο. Μια σκάλα ακουμπάει σε ένα κτίριο. Η απόσταση από το κάτω μέρος της σκάλας στον τοίχο είναι 5 μέτρα. Το ύψος των σκαλοπατιών φτάνει τα 20 μέτρα. Πόσο είναι η σκάλα;
-
5 μέτρα από τον τοίχο και 20 μέτρα ύψος μας λέει τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. Δεδομένου ότι ο τοίχος και το έδαφος (υποτίθεται) σχηματίζουν ορθή γωνία και η σκάλα στηρίζεται διαγώνια στον τοίχο, αυτή η διάταξη μπορεί να θεωρηθεί ορθογώνιο τρίγωνο με μήκος πλευρών a = 5 και b = 20. Το μήκος της σκάλας είναι η υποτείνουσα, οπότε η τιμή του c δεν είναι γνωστή. Ας χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- ρίζα (425) = γ
- c = 20,6. Το κατά προσέγγιση μήκος της σκάλας είναι 20,6 μέτρα.
-
Μέθοδος 2 από 2: Υπολογισμός της απόστασης μεταξύ δύο σημείων στο αεροπλάνο Χ-Υ
Βήμα 1. Βρείτε δύο σημεία στο επίπεδο Χ-Υ
Το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί εύκολα για τον υπολογισμό της ευθείας απόστασης μεταξύ δύο σημείων στο επίπεδο Χ-Υ. Το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζετε είναι οι συντεταγμένες x και y των δύο σημείων. Συνήθως, αυτές οι συντεταγμένες γράφονται μαζί με τη μορφή (x, y).
Για να βρούμε την απόσταση μεταξύ αυτών των δύο σημείων, θα θεωρήσουμε κάθε σημείο ως μία από τις μη ορθές γωνίες ενός ορθογώνιου τριγώνου. Με αυτόν τον τρόπο θα είναι εύκολο να βρεθούν τα μήκη των πλευρών a και b και, στη συνέχεια, να υπολογιστεί η υποτείνουσα c, η οποία είναι η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων
Βήμα 2. Σχεδιάστε τα δύο σημεία σας στην εικόνα
Σε ένα κανονικό επίπεδο X-Y, κάθε σημείο (x, y), το x αντιπροσωπεύει μια οριζόντια συντεταγμένη και το y αντιπροσωπεύει μια κάθετη συντεταγμένη. Μπορείτε να βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων χωρίς να το σχεδιάσετε, αλλά αυτό θα σας δώσει μια οπτική εικόνα που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για να δείτε αν η απάντησή σας είναι σωστή.
Βήμα 3. Βρείτε το μήκος της μη κεκλιμένης πλευράς του τριγώνου σας
Χρησιμοποιώντας τα δύο σημεία ως γωνίες του τριγώνου δίπλα στην υποτείνουσα, βρείτε τα μήκη των πλευρών α και β του τριγώνου. Μπορείτε να το κάνετε αυτό χρησιμοποιώντας μια εικόνα ή χρησιμοποιώντας τον τύπο | x1 - Χ2| για την οριζόντια πλευρά και | y1 - y2| για την κάθετη πλευρά, με (x1, y1) ως πρώτο σημείο και (x2, y2) ως δεύτερο σημείο.
-
Αφήστε τα δύο σημεία μας να είναι (6, 1) και (3, 5). Το μήκος της οριζόντιας πλευράς του τριγώνου μας είναι:
- | x1 - Χ2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Βήμα 3.
-
Το μήκος της κάθετης πλευράς είναι:
- | y1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Βήμα 4.
- Έτσι, στο ορθογώνιο τρίγωνό μας, πλευρά a = 3 και πλευρά b = 4.
Βήμα 4. Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα για να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας
Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι το μήκος της υποτείνουσας του τριγώνου του οποίου τις δύο πλευρές μόλις βρήκατε. Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα για να βρείτε την υποτείνουσα, όπου a είναι το μήκος της πρώτης πλευράς και b είναι το μήκος της δεύτερης πλευράς.
-
Στο παράδειγμά μας, χρησιμοποιούμε τα σημεία (3, 5) και (6, 1) των οποίων τα μήκη πλευρών είναι 3 και 4, οπότε μπορούμε να βρούμε την υποτείνουσα ως εξής:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = ρίζα (9+16)
- c = ρίζα (25)
-
c = 5. Η απόσταση μεταξύ (3, 5) και (6, 1) είναι
Βήμα 5..
-
Συμβουλές
-
Η υποτείνουσα είναι πάντα:
- απέναντι από τη σωστή γωνία (χωρίς να αγγίζετε τη σωστή γωνία)
- η μεγαλύτερη πλευρά σε ορθογώνιο τρίγωνο
- που ονομάζεται γ στο Πυθαγόρειο θεώρημα
- ρίζα (x) σημαίνει την τετραγωνική ρίζα του x.
- Θυμηθείτε να ελέγχετε πάντα τις απαντήσεις σας. Εάν η απάντησή σας φαίνεται λάθος, δοκιμάστε ξανά και προσπαθήστε ξανά.
- Εάν το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο τρίγωνο, χρειάζεστε πρόσθετες πληροφορίες, όχι μόνο τα μήκη των άλλων δύο πλευρών.
- Ένας άλλος τρόπος ελέγχου - η μεγαλύτερη πλευρά είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία και η μικρότερη πλευρά απέναντι από τη μικρότερη γωνία.
- Τα σχήματα είναι το κλειδί για την καταγραφή των σωστών τιμών για τα α, β και γ. Εάν εργάζεστε σε ένα πρόβλημα ιστορίας, φροντίστε να το γράψετε πρώτα σε μορφή εικόνας.
- Εάν γνωρίζετε μόνο το μήκος μιας πλευράς, το Πυθαγόρειο θεώρημα δεν λειτουργεί. Δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρία (sin, cos, tan) ή αναλογίες 30-60-90 / 45-45-90.
