Τα παράγωγα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εξαγωγή χρήσιμων χαρακτηριστικών από ένα γράφημα, όπως οι τιμές μέγιστης, ελάχιστης, κορυφής, κατώτερης και κλίσης. Μπορείτε ακόμη να το χρησιμοποιήσετε για να γράψετε πολύπλοκες εξισώσεις χωρίς αριθμομηχανή γραφικών παραστάσεων! Δυστυχώς, η εργασία σε παράγωγα είναι συχνά κουραστική, αλλά αυτό το άρθρο θα σας βοηθήσει με μερικές συμβουλές και κόλπα.
Βήμα
Βήμα 1. Κατανοήστε την παράγωγη σημειογραφία
Οι ακόλουθες δύο σημειώσεις είναι οι πιο συνηθισμένες, αν και πολλές άλλες μπορούν να βρεθούν εδώ στη Βικιπαίδεια.
- Σημείωση Leibniz Αυτός ο συμβολισμός είναι ο πιο συχνά χρησιμοποιούμενος συμβολισμός όταν η εξίσωση περιλαμβάνει y και x. dy/dx σημαίνει κυριολεκτικά το παράγωγο του y σε σχέση με το x. Θα μπορούσε να είναι χρήσιμο να το σκεφτούμε ως y/Δx για πολύ διαφορετικές τιμές x και y. Αυτή η εξήγηση οδηγεί στον ορισμό του ορίου παραγώγων: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/h Όταν χρησιμοποιείτε αυτόν τον συμβολισμό για το δεύτερο παράγωγο, θα πρέπει να γράψετε: d2y/dx2.
- Σημείωση Lagrange Η παράγωγος της συνάρτησης f γράφεται επίσης ως f '(x). Αυτός ο συμβολισμός γράφει f με έμφαση x. Αυτός ο συμβολισμός είναι μικρότερος από τον συμβολισμό του Leibniz και είναι χρήσιμος όταν βλέπετε παράγωγα ως συναρτήσεις. Για να σχηματίσετε μεγαλύτερο βαθμό παραγώγου, απλώς προσθέστε «στο f, οπότε η δεύτερη παράγωγος θα είναι f» »(x).
Βήμα 2. Κατανοήστε την έννοια του παραγώγου και τους λόγους για την κάθοδο
Πρώτον, για να βρείτε την κλίση ενός γραμμικού γραφήματος, λαμβάνονται δύο σημεία στη γραμμή και οι συντεταγμένες τους εισάγονται στην εξίσωση (y2 - y1)/(Χ2 - Χ1). Ωστόσο, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για γραμμικά γραφήματα. Για τετραγωνικές εξισώσεις και υψηλότερες, η γραμμή θα είναι καμπύλη, οπότε η εύρεση της διαφοράς μεταξύ δύο σημείων δεν είναι πολύ ακριβής. Για να βρείτε την κλίση της εφαπτομένης σε ένα γράφημα καμπύλης, δύο σημεία λαμβάνονται και τοποθετούνται στη γενική εξίσωση για να βρείτε την κλίση του γραφήματος καμπύλης: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Το Dx δηλώνει το δέλτα x, το οποίο είναι η διαφορά μεταξύ δύο συντεταγμένων x σε δύο σημεία του γραφήματος. Σημειώστε ότι αυτή η εξίσωση είναι η ίδια με (y2 - y1)/(Χ2 - Χ1), μόνο σε διαφορετική μορφή. Δεδομένου ότι ήταν γνωστό ότι τα αποτελέσματα θα ήταν ανακριβή, εφαρμόστηκε μια έμμεση προσέγγιση. Για να βρείτε την κλίση της εφαπτομένης στο (x, f (x)), το dx πρέπει να είναι κοντά στο 0, έτσι ώστε τα δύο συρμένα σημεία να συγχωνεύονται σε ένα σημείο. Ωστόσο, δεν μπορείτε να διαιρέσετε το 0, οπότε μόλις εισαγάγετε τις τιμές δύο σημείων, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε το factoring και άλλες μεθόδους για να αφαιρέσετε το dx από το κάτω μέρος της εξίσωσης. Μόλις το κάνετε αυτό, κάντε το dx 0 και τελειώστε. Αυτή είναι η κλίση της εφαπτομένης στο (x, f (x)). Το παράγωγο μιας εξίσωσης είναι η γενική εξίσωση για την εύρεση της κλίσης οποιασδήποτε εφαπτομένης σε ένα γράφημα. Αυτό μπορεί να φαίνεται πολύ περίπλοκο, αλλά υπάρχουν μερικά παραδείγματα παρακάτω, τα οποία θα σας βοηθήσουν να εξηγήσετε πώς να αποκτήσετε το παράγωγο.
Μέθοδος 1 από 4: ρητά παράγωγα
Βήμα 1. Χρησιμοποιήστε ένα ρητό παράγωγο εάν η εξίσωση σας έχει ήδη το y στη μία πλευρά
Βήμα 2. Συνδέστε την εξίσωση στην εξίσωση [f (x + dx) - f (x)]/dx
Για παράδειγμα, αν η εξίσωση είναι y = x2, η παράγωγος θα είναι [(x + dx)2 - Χ2]/dx
Βήμα 3. Αναπτύξτε και αφαιρέστε το dx για να σχηματίσετε την εξίσωση [dx (2x + dx)]/dx
Τώρα, μπορείτε να μεταδώσετε δύο dx στο επάνω και στο κάτω μέρος. Το αποτέλεσμα είναι 2x + dx και καθώς το dx πλησιάζει το μηδέν, το παράγωγο είναι 2x. Αυτό σημαίνει ότι η κλίση οποιασδήποτε εφαπτομένης του γραφήματος y = x2 είναι 2x Απλώς εισάγετε την τιμή x για το σημείο για το οποίο θέλετε να βρείτε την κλίση.
Βήμα 4. Μάθετε μοτίβα για την παραγωγή παρόμοιων εξισώσεων
Να μερικά παραδείγματα.
- Οποιοσδήποτε εκθέτης είναι η ισχύς επί την τιμή, αυξημένη σε ισχύ μικρότερη από 1. Για παράδειγμα, το παράγωγο του x5 είναι 5x4, και το παράγωγο του x3, 5 iis3, 5x2, 5Το Εάν υπάρχει ήδη ένας αριθμός μπροστά από το x, απλά πολλαπλασιάστε τον με την ισχύ. Για παράδειγμα το παράγωγο του 3x4 είναι 12x3.
- Το παράγωγο οποιασδήποτε σταθεράς είναι μηδέν. Άρα, το παράγωγο του 8 είναι 0.
- Το παράγωγο του αθροίσματος είναι το άθροισμα των αντίστοιχων παραγώγων. Για παράδειγμα, το παράγωγο του x3 + 3x2 είναι 3x2 + 6x
- Το παράγωγο του προϊόντος είναι ο πρώτος παράγοντας επί του παραγώγου του δεύτερου συντελεστή συν ο δεύτερος παράγοντας επί το παράγωγο του πρώτου παράγοντα. Για παράδειγμα, το παράγωγο του x3(2x + 1) είναι x3(2) + (2x + 1) 3x2, το οποίο είναι ίσο με 8x3 + 3x2.
- Το παράγωγο του πηλίκου (ας πούμε, f/g) είναι [g (παράγωγο του f) - f (παράγωγο του g)]/g2Το Για παράδειγμα, το παράγωγο του (χ2 + 2x - 21)/(x - 3) είναι (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Μέθοδος 2 από 4: Σιωπηρά παράγωγα
Βήμα 1. Χρησιμοποιήστε σιωπηρά παράγωγα εάν η εξίσωση σας δεν μπορεί ήδη να γραφτεί με y στη μία πλευρά
Στην πραγματικότητα, αν γράφατε το y από τη μία πλευρά, ο υπολογισμός του dy/dx θα ήταν κουραστικός. Ακολουθεί ένα παράδειγμα για το πώς μπορείτε να λύσετε αυτόν τον τύπο εξίσωσης.
Βήμα 2. Σε αυτό το παράδειγμα, x2y + 2y3 = 3x + 2y, αντικαταστήστε το y με f (x), έτσι θα θυμάστε ότι το y είναι στην πραγματικότητα μια συνάρτηση.
Η εξίσωση τότε γίνεται x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Βήμα 3. Για να βρείτε το παράγωγο αυτής της εξίσωσης, βγάλτε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε σχέση με το x
Η εξίσωση τότε γίνεται x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Βήμα 4. Αντικαταστήστε ξανά το f (x) με το y
Προσέξτε να μην αντικαταστήσετε το f '(x), το οποίο είναι διαφορετικό από το f (x).
Βήμα 5. Βρείτε f '(x)
Η απάντηση για αυτό το παράδειγμα γίνεται (3 - 2xy)/(x2 + 6ε2 - 2).
Μέθοδος 3 από 4: Παράγωγα υψηλότερης τάξης
Βήμα 1. Η εξαγωγή μιας συνάρτησης υψηλότερης τάξης σημαίνει ότι παράγετε το παράγωγο (κατά σειρά 2)
Για παράδειγμα, εάν το πρόβλημα σας ζητά να παράγετε τρίτη τάξη, τότε απλά πάρτε το παράγωγο του παραγώγου του παραγώγου. Για ορισμένες εξισώσεις, το παράγωγο υψηλότερης τάξης θα είναι 0.
Μέθοδος 4 από 4: Κανόνας αλυσίδας
Βήμα 1. Εάν το y είναι μια διαφορική συνάρτηση του z και το z είναι μια διαφορική συνάρτηση του x, το y είναι μια σύνθετη συνάρτηση του x και το παράγωγο του y σε σχέση με το x (dy/dx) είναι (dy/du)* (du/dx)
Ο κανόνας της αλυσίδας μπορεί επίσης να είναι ένας συνδυασμός εξισώσεων ισχύος, όπως αυτό: (2x4 - Χ)3Το Για να βρείτε το παράγωγο, σκεφτείτε το σαν τον κανόνα του πολλαπλασιασμού. Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με την ισχύ και μειώστε κατά 1 στην ισχύ. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε την εξίσωση με το παράγωγο της εξίσωσης σε παρένθεση που αυξάνει την ισχύ (στην περίπτωση αυτή, 2x^4 - x). Η απάντηση σε αυτήν την ερώτηση είναι 3 (2x4 - Χ)2(8x3 - 1).
Συμβουλές
- Κάθε φορά που βλέπετε ένα δύσκολο πρόβλημα να λύσετε, μην ανησυχείτε. Απλώς προσπαθήστε να το διασπάσετε σε όσο το δυνατόν περισσότερα μικρότερα μέρη εφαρμόζοντας τους κανόνες του πολλαπλασιασμού, του πηλίκου κ.λπ. Στη συνέχεια, χαμηλώστε κάθε μέρος.
- Εξασκηθείτε με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού, τον κανόνα του πηλίκου, τον κανόνα της αλυσίδας και ιδιαίτερα, τα σιωπηρά παράγωγα, επειδή αυτοί οι κανόνες είναι πολύ πιο δύσκολοι στο λογισμό.
- Κατανοήστε καλά τον υπολογιστή σας. δοκιμάστε τις διάφορες λειτουργίες της αριθμομηχανής σας για να μάθετε πώς να τις χρησιμοποιείτε. Είναι πολύ χρήσιμο να γνωρίζετε πώς να χρησιμοποιείτε εφαπτομένες και συναρτήσεις συναρτήσεων στον υπολογιστή σας εάν είναι διαθέσιμες.
- Θυμηθείτε τα βασικά τριγωνομετρικά παράγωγα και τον τρόπο χρήσης τους.
