Δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα αν έχουν την ίδια τιμή. Η γνώση του τρόπου μετατροπής των κλασμάτων σε ισοδύναμες μορφές τους είναι μια εξαιρετικά σημαντική μαθηματική δεξιότητα, που απαιτείται για όλες τις μορφές μαθηματικών από τη βασική άλγεβρα στον προχωρημένο λογισμό. Αυτό το άρθρο θα παρέχει διάφορους τρόπους υπολογισμού ισοδύναμων κλασμάτων από βασικό πολλαπλασιασμό και διαίρεση έως πιο πολύπλοκους τρόπους επίλυσης ισοδύναμων κλασματικών εξισώσεων.
Βήμα
Μέθοδος 1 από 5: Τακτοποίηση ισοδύναμων κλασμάτων
Βήμα 1. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό
Δύο διαφορετικά αλλά ισοδύναμα κλάσματα έχουν, εξ ορισμού, έναν αριθμητή και έναν παρονομαστή που είναι πολλαπλάσια του ενός. Με άλλα λόγια, ο πολλαπλασιασμός του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό παράγει ισοδύναμα κλάσματα. Αν και οι αριθμοί στο νέο κλάσμα θα είναι διαφορετικοί, τα κλάσματα θα έχουν την ίδια τιμή.
- Για παράδειγμα, αν πάρουμε το κλάσμα 4/8 και πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με 2, παίρνουμε (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Αυτά τα δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα.
- (4 × 2)/(8 × 2) είναι στην πραγματικότητα το ίδιο με 4/8 × 2/2. Θυμηθείτε ότι όταν πολλαπλασιάζουμε δύο κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε ευθεία, δηλαδή τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή.
- Σημειώστε ότι 2/2 ισούται με 1 αν κάνετε τη διαίρεση. Έτσι, είναι ευκολότερο να καταλάβουμε γιατί 4/8 και 8/16 είναι ισοδύναμα επειδή ο πολλαπλασιασμός 4/8 × (2/2) = παραμένει 4/8. Με τον ίδιο τρόπο, είναι το ίδιο με το να λες 4/8 = 8/16.
- Κάθε δεδομένο κλάσμα έχει άπειρο αριθμό ισοδύναμων κλασμάτων. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με οποιοδήποτε ακέραιο, ανεξάρτητα από το μέγεθος ή το μικρό, για να πάρετε ένα ισοδύναμο κλάσμα.
Βήμα 2. Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό
Όπως και ο πολλαπλασιασμός, η διαίρεση μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να βρείτε ένα νέο κλάσμα που ισοδυναμεί με το αρχικό σας κλάσμα. Απλώς διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό για να πάρετε το ισοδύναμο κλάσμα. Υπάρχει ένα μειονέκτημα σε αυτή τη διαδικασία - το τελικό κλάσμα πρέπει να έχει ακέραιους αριθμούς τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή για να είναι αληθινός.
Για παράδειγμα, ας ανατρέξουμε στα 4/8. Αν, αντί να πολλαπλασιάζουμε, διαιρούμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 2, παίρνουμε (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 και 4 είναι ακέραιοι, οπότε αυτά τα ισοδύναμα κλάσματα είναι αληθινά
Μέθοδος 2 από 5: Χρήση βασικού πολλαπλασιασμού για τον προσδιορισμό της ισότητας
Βήμα 1. Βρείτε τον αριθμό που πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον μικρότερο παρονομαστή για να πάρετε τον μεγαλύτερο παρονομαστή
Πολλά προβλήματα σχετικά με τα κλάσματα περιλαμβάνουν τον προσδιορισμό εάν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα. Υπολογίζοντας αυτόν τον αριθμό, μπορείτε να αρχίσετε να εξισώνετε τους κλασματικούς όρους για να προσδιορίσετε την ισότητα.
- Για παράδειγμα, επαναχρησιμοποιήστε τα κλάσματα 4/8 και 8/16. Ο μικρότερος παρονομαστής είναι 8 και πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό επί 2 για να πάρουμε τον μεγαλύτερο παρονομαστή, που είναι 16. Άρα ο αριθμός σε αυτή την περίπτωση είναι 2.
- Για πιο δύσκολους αριθμούς, μπορείτε να διαιρέσετε τον μεγαλύτερο παρονομαστή με τον μικρότερο παρονομαστή. Σε αυτήν την περίπτωση, το 16 διαιρείται με το 8, το οποίο εξακολουθεί να δίνει 2.
- Ο αριθμός δεν είναι πάντα ακέραιος. Για παράδειγμα, αν οι παρονομαστές είναι 2 και 7, τότε ο αριθμός είναι 3, 5.
Βήμα 2. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος που έχει τον μικρότερο όρο με τον αριθμό από το πρώτο βήμα
Δύο διαφορετικά αλλά ισοδύναμα κλάσματα έχουν, εξ ορισμού, αριθμητής και παρονομαστής που είναι πολλαπλάσια του ενός Το Με άλλα λόγια, ο πολλαπλασιασμός του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό παράγει ένα ισοδύναμο κλάσμα. Αν και οι αριθμοί σε αυτό το νέο κλάσμα θα είναι διαφορετικοί, αυτά τα κλάσματα θα έχουν την ίδια τιμή.
Για παράδειγμα, αν χρησιμοποιήσουμε το κλάσμα 4/8 από το πρώτο βήμα και πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον αριθμό που ορίσαμε νωρίτερα, που είναι 2, παίρνουμε (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16 Το Αυτό το αποτέλεσμα αποδεικνύει ότι αυτά τα δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα.
Μέθοδος 3 από 5: Χρήση της βασικής διαίρεσης για τον προσδιορισμό της ισότητας
Βήμα 1. Μετρήστε κάθε κλάσμα ως δεκαδικό αριθμό
Για απλά κλάσματα χωρίς μεταβλητές, μπορείτε να αναπαραστήσετε κάθε κλάσμα ως δεκαδικό αριθμό για να προσδιορίσετε την ισότητα. Δεδομένου ότι κάθε κλάσμα είναι στην πραγματικότητα πρόβλημα διαίρεσης, αυτός είναι ο απλούστερος τρόπος για να προσδιοριστεί η ισότητα.
- Για παράδειγμα, χρησιμοποιήστε το κλάσμα που χρησιμοποιήσαμε νωρίτερα, 4/8. Το κλάσμα 4/8 ισοδυναμεί με το να πούμε 4 διαιρούμενο με 8, το οποίο είναι 4/8 = 0,5. Μπορείτε επίσης να λύσετε το άλλο παράδειγμα, το οποίο είναι 8/16 = 0,5. Ανεξάρτητα από τους όρους σε ένα κλάσμα, το κλάσμα είναι ισοδύναμο αν και οι δύο αριθμοί είναι ίδιοι όταν παριστάνονται με δεκαδικό.
- Λάβετε υπόψη ότι οι δεκαδικές εκφράσεις μπορούν να έχουν πολλαπλά ψηφία προτού η ισότητα είναι προφανής. Ως βασικό παράδειγμα, 1/3 = 0,333 επαναλαμβάνεται ενώ 3/10 = 0,3. Χρησιμοποιώντας περισσότερα από ένα ψηφία, βλέπουμε ότι αυτά τα δύο κλάσματα δεν είναι ισοδύναμα.
Βήμα 2. Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό για να πάρετε ένα ισοδύναμο κλάσμα
Για πιο πολύπλοκα κλάσματα, η μέθοδος διαίρεσης απαιτεί επιπλέον βήματα. Ενώ με τον πολλαπλασιασμό, μπορείτε να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό για να πάρετε ένα ισοδύναμο κλάσμα. Υπάρχει ένα μειονέκτημα σε αυτή τη διαδικασία. Το τελικό κλάσμα πρέπει να έχει ακέραιους αριθμούς τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή για να είναι αληθινός.
Για παράδειγμα, ας ανατρέξουμε στα 4/8. Αν, αντί να πολλαπλασιάσουμε, διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 2, παίρνουμε (4 2)/(8 2) = 2/4 Το 2 και 4 είναι ακέραιοι, οπότε αυτά τα ισοδύναμα κλάσματα είναι αληθινά.
Βήμα 3. Απλοποιήστε τα κλάσματα στους απλούστερους όρους τους
Τα περισσότερα κλάσματα γράφονται συνήθως με τους απλούστερους όρους τους και μπορείτε να μετατρέψετε τα κλάσματα στην απλούστερη μορφή τους διαιρώντας με τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα (GCF). Αυτό το βήμα γίνεται με την ίδια λογική με την εγγραφή ισοδύναμων κλασμάτων, τη μετατροπή τους στον ίδιο παρονομαστή, αλλά αυτή η μέθοδος προσπαθεί να απλοποιήσει κάθε κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους.
- Όταν ένα κλάσμα βρίσκεται στην απλούστερη μορφή του, ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν τις μικρότερες δυνατές τιμές. Και τα δύο δεν μπορούν να διαιρεθούν με κανένα ακέραιο για να πάρουν τη μικρότερη τιμή. Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα που δεν είναι στην απλούστερη μορφή του στην απλούστερη ισοδύναμη μορφή του, διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα τους.
-
Ο μεγαλύτερος κοινός συντελεστής (GCF) του αριθμητή και του παρονομαστή είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που τους διαιρεί για να δώσει ένα ακέραιο αποτέλεσμα. Έτσι, στο 4/8 παράδειγμα μας, γιατί
Βήμα 4. είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρείται με 4 και 8, θα διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος μας με το 4 για να πάρουμε τους απλούστερους όρους. (4 4)/(8 4) = 1/2 Το Για το άλλο μας παράδειγμα, 8/16, το GCF είναι 8, το οποίο επίσης επιστρέφει την τιμή 1/2 ως την απλούστερη έκφραση ενός κλάσματος.
Μέθοδος 4 από 5: Χρήση Cross προϊόντων για εύρεση μεταβλητών
Βήμα 1. Τακτοποιήστε τα δύο κλάσματα έτσι ώστε να είναι ίσα μεταξύ τους
Χρησιμοποιούμε σταυρωτό πολλαπλασιασμό για μαθηματικά προβλήματα όπου γνωρίζουμε ότι τα κλάσματα είναι ισοδύναμα, αλλά ένας από τους αριθμούς έχει αντικατασταθεί από μια μεταβλητή (συνήθως x) που πρέπει να λύσουμε. Σε τέτοιες περιπτώσεις, γνωρίζουμε ότι αυτά τα κλάσματα είναι ισοδύναμα επειδή είναι οι μόνοι όροι στην άλλη πλευρά του σημείου ίσων, αλλά συχνά ο τρόπος για να βρεθεί η μεταβλητή δεν είναι προφανής. Ευτυχώς, με τον σταυρωτό πολλαπλασιασμό, η επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι εύκολη.
Βήμα 2. Πάρτε δύο ισοδύναμα κλάσματα και πολλαπλασιάστε τα με σχήμα "Χ"
Με άλλα λόγια, πολλαπλασιάζετε τον αριθμητή ενός κλάσματος με τον παρονομαστή ενός άλλου κλάσματος και αντίστροφα, στη συνέχεια τακτοποιείτε τις δύο απαντήσεις ώστε να ταιριάζουν μεταξύ τους και να λύνουν.
Πάρτε τα δύο παραδείγματά μας, 4/8 και 8/16. Κανένα δεν έχει μεταβλητή, αλλά μπορούμε να αποδείξουμε την έννοια επειδή γνωρίζουμε ήδη ότι είναι ισοδύναμα. Με πολλαπλασιασμό σταυρού, παίρνουμε 4/16 = 8 x 8 ή 64 = 64, πράγμα που ισχύει. Εάν αυτοί οι δύο αριθμοί δεν είναι ίσοι, τότε τα κλάσματα δεν είναι ισοδύναμα
Βήμα 3. Προσθέστε μεταβλητές
Δεδομένου ότι ο πολλαπλασιασμός είναι ο ευκολότερος τρόπος για να προσδιορίσετε ισοδύναμα κλάσματα όταν πρέπει να βρείτε μεταβλητές, ας προσθέσουμε μεταβλητές.
-
Για παράδειγμα, ας χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση 2/x = 10/13. Για να διασταυρώσουμε πολλαπλασιάζουμε, πολλαπλασιάζουμε το 2 επί 13 και το 10 με x, και στη συνέχεια θέτουμε τις απαντήσεις μας ίσες μεταξύ τους:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Από εδώ, η εύρεση της απάντησης στη μεταβλητή μας είναι ένα απλό πρόβλημα άλγεβρας. x = 26/10 = 2, 6, κάνοντας το αρχικό ισοδύναμο κλάσμα 2/2, 6 = 10/13.
Βήμα 4. Χρησιμοποιήστε σταυρωτό πολλαπλασιασμό για κλάσματα πολλαπλών μεταβλητών ή μεταφράσεις μεταβλητών
Ένα από τα καλύτερα πράγματα για τον πολλαπλασιασμό είναι ότι λειτουργεί στην πραγματικότητα με τον ίδιο τρόπο, είτε εργάζεστε με δύο απλά κλάσματα (όπως παραπάνω) είτε με πιο πολύπλοκα κλάσματα. Για παράδειγμα, εάν και τα δύο κλάσματα έχουν μεταβλητές, χρειάζεται μόνο να εξαλείψετε αυτές τις μεταβλητές στη διαδικασία επίλυσης. Ομοίως, εάν ο αριθμητής ή ο παρονομαστής του κλάσματος σας έχει μεταβλητή έκφραση (όπως x + 1), απλώς "πολλαπλασιάστε" χρησιμοποιώντας την ιδιότητα διανομής και λύστε ως συνήθως.
-
Για παράδειγμα, ας χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). Σε αυτήν την περίπτωση, όπως παραπάνω, θα το λύσουμε με διασταυρούμενο προϊόν:
- (x + 3) 4 = 4x + 12
- (x + 1) 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, τότε μπορούμε να απλοποιήσουμε το κλάσμα αφαιρώντας 2x και από τις δύο πλευρές
- 2 = 2x + 12, τότε απομονώνουμε τη μεταβλητή αφαιρώντας το 12 και από τις δύο πλευρές
- -10 = 2x και διαιρέστε με το 2 για να βρείτε το x
- - 5 = x
Μέθοδος 5 από 5: Χρήση τετραγωνικών τύπων για εύρεση μεταβλητών
Βήμα 1. Σταυρώστε τα δύο κλάσματα
Για προβλήματα ισότητας που απαιτούν έναν τετραγωνικό τύπο, εξακολουθούμε να ξεκινάμε χρησιμοποιώντας διασταυρούμενο προϊόν. Ωστόσο, κάθε διασταυρούμενο προϊόν που περιλαμβάνει τον πολλαπλασιασμό των όρων μιας μεταβλητής με τους όρους μιας άλλης μεταβλητής είναι πιθανό να οδηγήσει σε μια έκφραση που δεν μπορεί να λυθεί εύκολα χρησιμοποιώντας την άλγεβρα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, μπορεί να χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε τεχνικές όπως το factoring και/ή οι τετραγωνικοί τύποι.
-
Για παράδειγμα, ας δούμε την εξίσωση ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Αρχικά, ας πολλαπλασιάσουμε σταυρωτά:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Βήμα 2. Γράψτε την εξίσωση ως τετραγωνική εξίσωση
Σε αυτήν την ενότητα, θέλουμε να γράψουμε αυτήν την εξίσωση σε τετραγωνική μορφή (ax2 + bx + c = 0), το οποίο κάνουμε ρυθμίζοντας την εξίσωση ίση με μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, αφαιρούμε 12 και από τις δύο πλευρές για να πάρουμε 2x2 - 14 = 0.
Ορισμένες τιμές μπορεί να είναι ίσες με 0. Παρόλο που 2x2 - 14 = 0 είναι η απλούστερη μορφή της εξίσωσης μας, η πραγματική τετραγωνική εξίσωση είναι 2x2 + 0x + (-14) = 0. Μπορεί να είναι χρήσιμο στην αρχή να γράψετε τη μορφή της τετραγωνικής εξίσωσης, ακόμη και αν ορισμένες τιμές είναι ίσες με 0.
Βήμα 3. Λύστε συνδέοντας τους αριθμούς από την τετραγωνική σας εξίσωση στον τετραγωνικό τύπο
Τετραγωνικός τύπος (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) θα μας βοηθήσει να βρούμε την τιμή x σε αυτήν την ενότητα. Μην φοβάστε το μήκος της φόρμουλας. Απλώς παίρνετε τις τιμές από την τετραγωνική σας εξίσωση στο δεύτερο βήμα και τις τοποθετείτε στις σωστές θέσεις πριν τις λύσετε.
- x = (-b +/- (β2 - 4ac))/2a. Στην εξίσωση μας, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 και c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10.58/4)
- x = +/- 2, 64
Βήμα 4. Ελέγξτε την απάντησή σας εισάγοντας ξανά την τιμή του x στην τετραγωνική σας εξίσωση
Συνδέοντας την υπολογιζόμενη τιμή x στην τετραγωνική εξίσωση από το δεύτερο βήμα, μπορείτε εύκολα να προσδιορίσετε αν πήρατε σωστά την απάντηση. Σε αυτό το παράδειγμα, θα συνδέσετε τα 2, 64 και -2, 64 στην αρχική τετραγωνική εξίσωση.
Συμβουλές
- Η μετατροπή ενός κλάσματος στο ισοδύναμό του είναι στην πραγματικότητα μια μορφή πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος κατά 1. Κατά τη μετατροπή 1/2 σε 2/4, ο πολλαπλασιασμός του αριθμητή και του παρονομαστή με 2 είναι το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό του 1/2 επί 2/2, που ισούται με 1 Το
-
Εάν θέλετε, μετατρέψτε τον μεικτό αριθμό σε κοινό κλάσμα για να διευκολύνετε τη μετατροπή. Φυσικά, δεν θα είναι όλα τα κλάσματα που θα συναντήσετε τόσο εύκολα όσο η μετατροπή του παραδείγματος 4/8 παραπάνω. Για παράδειγμα, μικτοί αριθμοί (όπως 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 κ.λπ.) μπορούν να κάνουν τη διαδικασία μετατροπής λίγο πιο περίπλοκη. Εάν πρέπει να μετατρέψετε έναν μεικτό αριθμό σε ένα κοινό κλάσμα, μπορείτε να το κάνετε με δύο τρόπους: μετατρέποντας τον μικτό αριθμό σε ένα κοινό κλάσμα και στη συνέχεια μετατρέποντάς τον ως συνήθως, ή διατηρώντας τη μορφή μικτών αριθμών και παίρνοντας απαντήσεις με τη μορφή μικτών αριθμών.
- Για να μετατραπεί σε κοινό κλάσμα, πολλαπλασιάστε το ακέραιο συστατικό του μικτού αριθμού με τον παρονομαστή του κλασματικού συστατικού και, στη συνέχεια, προσθέστε στον αριθμητή. Για παράδειγμα, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Στη συνέχεια, εάν το επιθυμείτε, μπορείτε να το αλλάξετε ανάλογα με τις ανάγκες. Για παράδειγμα, 5/3 × 2/2 = 10/6, το οποίο παραμένει ίσο με 1 2/3.
- Ωστόσο, δεν χρειάζεται να το μετατρέψουμε σε ένα κοινό κλάσμα όπως παραπάνω. Διαφορετικά, αφήνουμε το ακέραιο συστατικό μόνο του, αλλάζουμε μόνο το κλασματικό συστατικό και προσθέτουμε το ακέραιο συστατικό αμετάβλητο. Για παράδειγμα, για 3 4/16, βλέπουμε μόνο 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Έτσι, προσθέτοντας τα ακέραια στοιχεία μας πίσω, παίρνουμε έναν νέο μεικτό αριθμό, 3 1/4.
Προειδοποίηση
- Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πάρουμε ισοδύναμα κλάσματα επειδή ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση με την κλασματική μορφή του αριθμού 1 (2/2, 3/3, κ.λπ.) δίνει μια απάντηση που ισοδυναμεί με το αρχικό κλάσμα, εξ ορισμού. Η προσθήκη και η αφαίρεση δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν.
-
Παρόλο που πολλαπλασιάζετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές όταν πολλαπλασιάζετε κλάσματα, δεν προσθέτετε ή αφαιρείτε τους παρονομαστές όταν προσθέτετε ή αφαιρείτε κλάσματα.
Για παράδειγμα, παραπάνω, γνωρίζουμε ότι 4/8 4/4 = 1/2. Αν αθροίσουμε έως τα 4/4, παίρνουμε μια εντελώς διαφορετική απάντηση. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 ή 3/2, δεν είναι ίσα με 4/8.
